王 民，李占斌，崔靈周，李 鵬

(1. 河南省水利勘測(cè)設(shè)計(jì)研究有限公司，鄭州 450016；2.中國(guó)科學(xué)院水利部水土保持研究所黃土高原土壤侵蝕與旱地農(nóng)業(yè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 楊凌 7121002；3.溫州大學(xué)生命與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州 325027；4.西安理工大學(xué)西北水資源與環(huán)境生態(tài)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710048)

流域地貌形態(tài)特征量化研究一直是地貌學(xué)研究的熱點(diǎn)問題之一。數(shù)學(xué)物理方法首先被引入到流域地貌的形成、演化研究中，并在傳統(tǒng)地貌特征量化和流域水系定量關(guān)系的研究上得到了廣泛的應(yīng)用。流域地貌的定量研究始于R.E.Horton[1]，運(yùn)用地貌形態(tài)數(shù)量分析方法，對(duì)美國(guó)幾十個(gè)流域進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)流域水系的定量關(guān)系。S.A.Schumm[2]、A.N.Stranhler[3]和A.E.Scheidegger[4]等將數(shù)學(xué)物理方法在流域地貌以及整個(gè)地貌學(xué)研究中進(jìn)行了推廣應(yīng)用。陳浩、秦富倉(cāng)等[5,6]分別對(duì)黃土塬區(qū)及黃土丘陵區(qū)典型溝道小流域地貌形態(tài)要素之間的關(guān)系進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)各地貌形態(tài)要素之間存在著內(nèi)在聯(lián)系，且這種聯(lián)系的密切程度在各要素之間有明顯的差異。張麗萍等[7]建立了溝壑密度隨切割深度變化的理論極值模型和相應(yīng)地貌階段的函數(shù)關(guān)系。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)物理方法雖應(yīng)用廣泛，但是對(duì)流域地貌形態(tài)的整體性和綜合性特征量化存在一定的局限性。分形理論的引入則突破了流域地貌特征傳統(tǒng)量化方法的局限，開辟了新的研究思路。楊玉榮[8]對(duì)線維數(shù)、盒維數(shù)一、盒維數(shù)二等3種維數(shù)的性質(zhì)和在地貌中的特點(diǎn)進(jìn)行了分析。鄒寧等[9]將分形布朗運(yùn)動(dòng)模型FBM引入地貌分形研究。肖高逾等[10]運(yùn)用分形布朗運(yùn)動(dòng)模型對(duì)地貌形態(tài)模擬進(jìn)行了研究。崔靈周等[11,12]基于計(jì)盒法和GIS技術(shù)，對(duì)岔巴溝流域地貌形態(tài)分形特征進(jìn)行了量化研究。綜上所述，現(xiàn)有流域地貌量化參數(shù)各具特色，但流域地貌形態(tài)多重分形特征及其與傳統(tǒng)地貌要素之間的關(guān)系研究還很少涉及。

為此，本文以黃土高原丘陵溝壑區(qū)的典型流域杏子河為研究對(duì)象，采用流域地貌多重分形模型及其實(shí)現(xiàn)方法，利用杏子河流域的地貌數(shù)字高程DEM，對(duì)該流域中的12個(gè)子流域地貌多重分形典型參數(shù)地貌奇異指數(shù)分布范圍Δα進(jìn)行了計(jì)算并分析了其空間分異規(guī)律；分析了Δα與溝谷密度、平均坡度、相對(duì)高差、流域主溝比降、地表粗糙度和平均地形起伏度等傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)的關(guān)系。本研究對(duì)于有效地解決地貌學(xué)中的復(fù)雜性問題，全面掌握各種地貌現(xiàn)象的特征及規(guī)律具有非常重要的意義。

1 杏子河流域概況

杏子河發(fā)源于白于山南坡，為延河的一級(jí)支流，流域位置在北緯36°46′-37°12′，東經(jīng)108°41′-109°21′，全長(zhǎng)106 km，流域面積1 486.1 km2，流域高差776.0 m，溝壑密度4～6 km/km2，流域內(nèi)以梁峁?fàn)钋鹆隇橹?，地面切割破碎，丘陵起伏，為典型的黃土梁峁丘陵溝壑區(qū)。依據(jù)流域內(nèi)地貌的形態(tài)特征、水流狀態(tài)及物質(zhì)組成等特征，杏子河流域劃分為河源區(qū)、梁峁丘陵區(qū)、寬谷梁峁丘陵區(qū)等3個(gè)侵蝕地貌區(qū)。河源區(qū)位于杏子河上游，地勢(shì)高差大，地貌以寬梁大峁為主，梁頂平緩，峁坡陡峻、坡面長(zhǎng)，溝谷深窄。梁峁丘陵區(qū)位于杏子河中游，該區(qū)地貌層狀結(jié)構(gòu)明顯，河谷內(nèi)第2級(jí)階地寬闊平坦，梁峁坡的坡形以直形為主，在溝頭地段有復(fù)形坡分布，溝頭多掌地，坡面上淺溝發(fā)育。寬谷梁峁丘陵區(qū)位于杏子河流域下游，梁窄峁小，溝谷較中下游開闊，溝頭有掌狀凹形坡地分布，但規(guī)模較小。

2 研究方法

2.1 研究子流域選取

根據(jù)杏子河流域的地貌類型及空間分布特點(diǎn)，分別在杏子河流域的上游、中游和下游共選取了12個(gè)子流域作為研究對(duì)象，分別代表了河源區(qū)、梁峁丘陵區(qū)和寬谷梁峁丘陵區(qū)，子流域的選取具有一定的代表性。在上游河源區(qū)選擇了韓家畈和王克浪溝2個(gè)子流域，面積分別為143和129 km2；在中游梁峁丘陵區(qū)選擇牛寨子溝、陽(yáng)砭溝、李咀子溝、玉皇溝、岔路川溝和莊科溝等6個(gè)子流域，其中岔路川溝子流域面積最大為139 km2，李咀子溝子流域面積最小為12 km2；下游區(qū)寬谷梁峁丘陵區(qū)選擇了楊咀溝、謝屯溝、周屯溝和紙坊溝等4個(gè)子流域，謝屯溝子流域面積最大為74 km2，紙坊溝子流域面積最小，僅8 km2。杏子河12個(gè)子流域DEM和空間分布見圖1。

圖1 杏子河流域12個(gè)子流域DEM及空間分布Fig.1 Spatial distribution and DEM of 12 first-rank sub-watersheds in Xingzi River Watershed

2.2 流域地貌多重分形原理及參數(shù)意義

在分形理論中，對(duì)于許多具有非均勻和奇異性的分形體，一個(gè)維數(shù)無法描述其全部特征，因而需要用多重分形測(cè)度來表示。在研究分形體上的概率測(cè)度μ的分布時(shí)，可以把分形體劃分成尺度為r的若干個(gè)子單元，用μi表示第i個(gè)單元中的測(cè)度μ的平均值。每個(gè)單元的平均測(cè)度μi與尺度r之間存在如下的標(biāo)度關(guān)系：

μi∝rαi

(1)

式中：αi為奇異指數(shù)。

若干單元具有相同的奇異指數(shù)α，則它們的測(cè)度可用μ(α)表示。用Fα表示這些具有相同奇異指數(shù)α的單元所構(gòu)成的子集合，則Fα的s維Hausdorff測(cè)度定義為：

(3)

而且，s維Hausdorff測(cè)度Hs[Fα,μ(α)]滿足如下的關(guān)系：

(4)

式中：f(α)是子集合Fα的Hausdorff維數(shù)。若在區(qū)間[α,α+dα]內(nèi)，測(cè)度為μ(α)的單元的數(shù)目為N(α)時(shí)，則有：

Hs[Fα,μ(α)]=N(α)sr

(5)

從而：

(6)

根據(jù)式(4)和(6)，只有當(dāng)：

N(α)∝r-f(α)

(7)

時(shí)，才可使Hs[Fα,μ(α)]取有限值，由此可得：

(8)

α是不同子區(qū)域的奇異指數(shù)，其值大小由相應(yīng)子區(qū)域生成單元的測(cè)度分布決定。f(α)是具有相同奇異指數(shù)α的子區(qū)域所構(gòu)成子集的分維，由式(7)可以看出其大小與奇異指數(shù)為α的子區(qū)域數(shù)量有關(guān)。地貌奇異指數(shù)α表征了流域內(nèi)部各子區(qū)域地貌不規(guī)則、不均勻和復(fù)雜程度，即地貌形態(tài)差異性分布。多重分形指數(shù)分布范圍Δα[13]定量表征了分形體內(nèi)最大概率子集與最小概率子集的對(duì)比關(guān)系，即分形體內(nèi)部的差異性程度及變化范圍，Δα是這種差異性變化幅度的定量刻畫，其值愈大表明地貌內(nèi)部的差異性愈大，反之則愈小。

3 結(jié)果分析

根據(jù)文獻(xiàn)[14,15]中所述的多重分形計(jì)算模型和實(shí)現(xiàn)方法，計(jì)算出杏子河流域上游、中游和下游共12個(gè)子流域地貌奇異指數(shù)分布范圍Δα和上中下游Δα平均值(見表1)。以杏子河12個(gè)子流域的DEM作為數(shù)據(jù)源，通過ArcGIS軟件的空間分析、三維分析和屬性分析等功能，計(jì)算出12個(gè)子流域的溝谷密度、平均坡度、相對(duì)高差、流域主溝比降、地表粗糙度和平均地形起伏度等傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)(見表1)。

表1 杏子河流域地貌多重分形特征參數(shù)和傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.1 The parameters of multi-fractal feature of geomorphology and traditional geomorphology quantizationparameter of 12 typical sub-watershed in Xingzi River watershed

3.1 流域不同空間部位地貌奇異指數(shù)分布范圍Δα分析

從圖2中可以看出，流域地貌奇異指數(shù)分布范圍從上游到下游呈下降趨勢(shì)，即由上游的韓家畈0.168 8下降至紙坊溝的0.139 2，下降幅度為17.5%。地貌奇異指數(shù)分布范圍平均值以上游最大，為0.171 2，韓家畈到王克浪溝有小幅增加，增加幅度為2.9%；杏子河中游Δα平均值次之，為0.161 7，從牛寨子溝的0.163 9到莊科溝0.162 0呈下降趨勢(shì)，降幅為6.7%；下游Δα均值最小，為0.146 1，從楊咀溝的0.149 6到紙坊溝的0.139 2呈下降趨勢(shì)，降幅為7.0%。杏子河流域的Δα變化趨勢(shì)表明該流域地貌形態(tài)變化自上游向下游復(fù)雜性逐步減弱。

圖2 杏子河流域地貌奇異指數(shù)分布范圍Δα動(dòng)態(tài)變化Fig.2 The dynamic variation of the distribution range of singularity exponent of geomorphology of Xingzi River watershed

3.2 地貌奇異指數(shù)分布范圍Δα與傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)關(guān)系

從圖3中可以看出，地貌奇異指數(shù)分布范圍Δα與地表粗糙度、平均坡度、平均地形起伏度呈正相關(guān)，其關(guān)系可用線形函數(shù)描述，決定系數(shù)最大的是地表粗糙度，為0.880 7。地貌奇異指數(shù)分布范圍Δα與流域主溝比降表現(xiàn)出負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為0.553 3；與相對(duì)高差和溝谷密度之間沒表現(xiàn)出明顯的相關(guān)關(guān)系。

圖3 杏子河流域地貌奇異指數(shù)分布范圍與傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)關(guān)系圖Fig.3 The relationship between the distribution range of singularity exponent of geomorphology multi-fractal spectrum and different traditional geomorphology quantization parameters of XingziRiver watershed

3.3 地貌奇異指數(shù)分布范圍Δα與傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)組合關(guān)系

為了進(jìn)一步探討地貌奇異指數(shù)分布范圍Δα與各傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)組合的關(guān)系，以地貌奇異指數(shù)分布范圍Δα為因變量y，以溝谷密度x1、平均坡度x2、相對(duì)高差x3、流域主溝比降x4、地表粗糙度x5和平均地形起伏度x6等6個(gè)傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)為自變量，利用SPSS軟件進(jìn)行多元線性向后逐步回歸分析，建立了奇異指數(shù)分布范圍Δα和傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)回歸方程，見表2。

表2 杏子河流域地貌奇異指數(shù)分布范圍與傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)多元逐步回歸方程結(jié)果Tab.2 The results on the multiple stepwise regression equations between the distribution range of singularity exponent of geomorphology multi-fractal spectrum and different traditional geomorphology quantization parameters of XingziRiver watershed

從表2可以看出，奇異指數(shù)分布范圍Δα與平均地形起伏度和地表粗糙度的多元回歸方程，其決定系數(shù)為0.890，方差校驗(yàn)的F值為36.41，臨界方差的F值F0.05=4.26，計(jì)算F值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于臨界方差F值，表明該回歸方程具有比較好的顯著性。隨著逐步將平均坡度、相對(duì)高差、流域主溝比降和溝谷密度等傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)引入多元回歸方程，其決定系數(shù)呈現(xiàn)遞增的趨勢(shì)，即從相對(duì)高差引入時(shí)的0.910遞增至其他地貌量化參數(shù)全部引入時(shí)的0.944；方差校驗(yàn)的F值分別為27.07、21.01、15.53和14.14，均大于臨界方差F值，回歸方程均表現(xiàn)出較好的顯著性。這充分表明，與傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)揭示地貌形態(tài)某方面的特征相比，地貌奇異指數(shù)變化范圍Δα對(duì)流域地貌整體特征的量化更具有全面性、概括性和綜合性。

4 結(jié) 語(yǔ)

(1)杏子河流域地貌奇異指數(shù)分布范圍從上游到下游呈下降趨勢(shì)，表明該流域地貌形態(tài)變化自上游向下游復(fù)雜性逐步減弱。

(2)地貌奇異指數(shù)分布范圍Δα與地表粗糙度、平均坡度、平均地形起伏度呈正相關(guān)，其關(guān)系可用線型函數(shù)描述，決定系數(shù)最大的是地表粗糙度；與流域主溝比降表現(xiàn)出負(fù)相關(guān)；與相對(duì)高差和溝谷密度之間沒表現(xiàn)出明顯的相關(guān)關(guān)系。

(3)將平均地形起伏度、地表粗糙度、平均坡度、相對(duì)高差、流域主溝比降和溝谷密度等傳統(tǒng)地貌參數(shù)逐步引入多元回歸方程，其決定系數(shù)呈現(xiàn)遞增的趨勢(shì)，表明與傳統(tǒng)地貌量化參數(shù)揭示地貌形態(tài)某方面的特征相比，地貌奇異指數(shù)變化范圍Δα對(duì)揭示流域地貌整體特征的量化更具有全面性、概括性和綜合性。

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