談炳東 許進(jìn)升,2) 賈云飛 余家泉

?(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京210094)

?(中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院戰(zhàn)術(shù)武器事業(yè)部，北京100076)

短纖維增強(qiáng)EPDM包覆薄膜超彈性本構(gòu)模型1)

談炳東?許進(jìn)升?,2)賈云飛?余家泉?

?(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京210094)

?(中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院戰(zhàn)術(shù)武器事業(yè)部，北京100076)

短纖維增強(qiáng)三元乙丙橡膠(EPDM)包覆薄膜用于一種新型纏繞包覆工藝，主要解決復(fù)雜構(gòu)型自由裝填藥柱外表面可靠性包覆問題.為了描述其在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作過程中產(chǎn)生的大變形、非線性和各向異性等力學(xué)行為，根據(jù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，提出了各向異性超彈性本構(gòu)模型.該模型中單位體積的應(yīng)變能函數(shù)被解耦成兩部分：表征各向同性的橡膠基體應(yīng)變能和表征各向異性的纖維拉伸應(yīng)變能，通過引入纖維方向?qū)w維應(yīng)變能進(jìn)行修正，給出了通過單軸拉伸、偏軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取模型參數(shù)的具體方法.研究結(jié)果表明，該模型能夠很好地預(yù)測材料在纖維方向0°～45°時(shí)的各向異性力學(xué)特性，并將預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，誤差在5%以下.所建立的各向異性超彈性本構(gòu)模型準(zhǔn)確性高、易于實(shí)現(xiàn)數(shù)值開發(fā)，在一定程度上能夠?yàn)楣腆w火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的裝藥結(jié)構(gòu)完整性分析提供理論依據(jù).

EPDM，包覆層，各向異性，超彈性，本構(gòu)模型

引言

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單、工作可靠性高、推進(jìn)劑密度高等優(yōu)點(diǎn)，在各類戰(zhàn)術(shù)戰(zhàn)略導(dǎo)彈等武器中應(yīng)用廣泛.在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的裝藥過程中，需要包覆阻燃抗燃材料，三元乙丙橡膠(EPDM)具有熱解溫度高、耐老化、力學(xué)性能優(yōu)異等優(yōu)點(diǎn)，是當(dāng)前最理想的推進(jìn)劑絕熱包覆材料[1].通過在EPDM中加入芳綸短纖維進(jìn)行改性，可提高其拉伸強(qiáng)度、韌性和抗燒蝕性能，同時(shí)改善其界面黏合度，進(jìn)一步滿足發(fā)動(dòng)機(jī)的工作要求.隨著固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)向著遠(yuǎn)程化、高能裝藥、密集火力等方向發(fā)展，其裝藥結(jié)構(gòu)完整性問題備受重視[2].因此研究新型短纖維增強(qiáng)EPDM包覆薄膜的力學(xué)特性，從而建立表征其力學(xué)行為的本構(gòu)模型，在固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥結(jié)構(gòu)完整性分析中就顯得十分重要.

EPDM本身具有典型的超彈性和非線性大變形等特征，短纖維增強(qiáng)EPDM復(fù)合材料兼有短纖維的剛性和橡膠的高彈性，力學(xué)特性呈現(xiàn)各向異性[3].在制備加工過程中，短纖維有沿著膠料流動(dòng)方向取向的傾向，從而導(dǎo)致其平行于纖維方向上的剛度、模量等較高，垂直于纖維方向的延伸率較大，可將之簡化為橫觀各向同性材料[4].短纖維取向程度越高，復(fù)合材料的各向異性越明顯，而其取向程度又與纖維種類、長徑比和混煉加工方法有著密不可分的聯(lián)系.橡膠超彈本構(gòu)模型[5]包括熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)模型和唯象學(xué)本構(gòu)模型，其中應(yīng)用較為廣泛的是Neo-Hookean模型[6]、Yeoh模型[7]、Mooney-Rivlin模型[8]、Ogden模型[9]等，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行模型改進(jìn). Pierce等[10]在各向同性的基礎(chǔ)上，將模型發(fā)展到橫觀各向同性的條件下，可研究人體關(guān)節(jié)軟骨膠原纖維有限變形的力學(xué)性能.Peng等[11]把人體椎間盤纖維環(huán)單位體積能量函數(shù)解耦為基體、纖維和兩者的相互作用三部分，從而建立纖維增強(qiáng)各向異性超彈性本構(gòu)模型.郭國棟等[12]、孫書蕾等[13]、張必超等[14]和黃小雙等[15]在Peng等[11]的基礎(chǔ)上，分別考慮剪切作用、纖維彎曲剛度、雙拉耦合作用和應(yīng)變率效應(yīng)，對(duì)各向異性超彈性本構(gòu)模型進(jìn)行改進(jìn).近年來，一些學(xué)者對(duì)EPDM絕熱包覆材料在準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)沖擊下的力學(xué)行為進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究[16-19]，但都基于各向同性假設(shè)，不能準(zhǔn)確反映其真實(shí)的受力情況.

用于描述復(fù)合材料力學(xué)行為的方法可分為細(xì)觀力學(xué)和宏觀力學(xué)方法，本文從宏觀力學(xué)角度研究復(fù)合材料的力學(xué)行為.將短纖維增強(qiáng)EPDM當(dāng)成連續(xù)非彈性體，不考慮基體與增強(qiáng)體之間的相互作用，根據(jù)Spencer提出的各向異性纖維增強(qiáng)復(fù)合材料理論，在表征各向異性的纖維應(yīng)變能函數(shù)中引入與纖維方向有關(guān)的變形張量不變量，通過對(duì)纖維材料參數(shù)的改進(jìn)，建立一種能夠表征材料在纖維方向0°～45°各向異性力學(xué)特性的超彈性本構(gòu)方程.

1 實(shí)驗(yàn)研究

1.1 實(shí)驗(yàn)方法

EPDM是固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)絕熱包覆層所選用的常見材料，以EPDM為基體材料，通過添加長度為5mm左右、長徑比為200左右的芳綸短纖維進(jìn)行改性，嚴(yán)格控制工藝因素影響，使得短纖維在EPDM薄膜中定向分布，示意圖如圖1所示.

圖1 EPDM薄膜包覆層示意圖Fig.1 Diagram of EPDM inhibitor fil

為進(jìn)一步分析EPDM薄膜包覆層的力學(xué)性能，定義沿纖維方向?yàn)?°，垂直于纖維方向?yàn)?0°.EPDM薄膜包覆層厚度約為 0.5mm，通過機(jī)械加工、切割方法等制備試件，尺寸為80mm×10mm，標(biāo)距為40mm，與拉伸實(shí)驗(yàn)機(jī)接觸的夾持端采用梯形鋁塊和高強(qiáng)度粘接劑進(jìn)行粘接，并在鋁塊表面進(jìn)行打磨處理，如圖2所示.這種設(shè)計(jì)是因?yàn)楸∧ず穸刃?，且材料拉伸機(jī)夾頭間隙大，直接夾在薄膜上無法保證緊密夾持.同時(shí)，由于橡膠材料的超彈特性，鋁片可以防止其塑性流動(dòng)，滿足標(biāo)距的精確性.

圖2 試件示意圖Fig.2 Diagram of specimen

本文對(duì)EPDM薄膜包覆材料進(jìn)行了單軸拉伸和偏軸拉伸實(shí)驗(yàn)(拉伸和剪切作用同時(shí)存在)，實(shí)驗(yàn)過程在常溫環(huán)境(293K)下進(jìn)行，濕度為50%，采取恒定的拉伸速率為5mm/min.

1.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)中針對(duì)多個(gè)纖維方向進(jìn)行多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，選取3次有效的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值作為研究對(duì)象，圖3所示的是90°纖維方向的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.對(duì)所有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理后得到EPDM薄膜包覆材料在不同纖維方向的應(yīng)力--應(yīng)變曲線，如圖4所示.

圖3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理示意圖Fig.3 Diagram of experimental data processing

圖4 不同纖維方向應(yīng)力--應(yīng)變曲線Fig.4 Stress-strain curves in di ff erent fibe directions

由圖4可見，短纖維增強(qiáng)EPDM薄膜包覆材料呈現(xiàn)出明顯的各向異性力學(xué)特性.在橡膠中定向分布的短纖維，使得材料在平行于短纖維方向上的力學(xué)性能不同于其他方向，簡化為橫觀各向同性材料.在纖維方向小于60°時(shí)，材料的拉伸強(qiáng)度和模量隨纖維方向的增大而減?。划?dāng)纖維方向在60°到90°之間時(shí)，材料的斷裂強(qiáng)度相近.

根據(jù)應(yīng)力傳遞理論，復(fù)合材料受到載荷作用時(shí)，基體材料首先受到力的作用，再通過一定方式傳遞到增強(qiáng)體或界面相上使之受載.當(dāng)纖維角度較小時(shí)，由于短纖維具有較大的剛度和模量，短纖維起主導(dǎo)作用；隨著纖維角度增大，纖維作用削弱，應(yīng)力傳遞規(guī)律被破壞，材料的力學(xué)性能變化不明顯.

2 各向異性超彈性本構(gòu)模型

2.1 本構(gòu)模型的一般形式

EPDM包覆薄膜是一種具有單向短纖維增強(qiáng)超彈性基體的復(fù)合材料，根據(jù)Spencer提出的各向異性纖維增強(qiáng)復(fù)合材料理論，其應(yīng)變能函數(shù)W可以表示成右柯西--格林(Cauchy--Green)應(yīng)變張量C和纖維初始方向a0相關(guān)的不變量Ii的函數(shù)[20-22]

式中，C=FTF，變形梯度張量F=?x/?X，X和x分別表示質(zhì)點(diǎn)在初始構(gòu)形和當(dāng)前構(gòu)形中的坐標(biāo).應(yīng)變能函數(shù)分別分解為各向同性和各向異性兩部分.I1，I2和I3表征橡膠基體的各向同性屬性，I4和I5與纖維伸長率和伸長方向有關(guān)，用來表征各向異性.右柯西--格林應(yīng)變張量不變量表示為

式中結(jié)構(gòu)張量A0=a0?a0，λF是纖維的伸長比.

根據(jù)鏈導(dǎo)法則，把應(yīng)變能函數(shù)W對(duì)右柯西--格林應(yīng)變張量C進(jìn)行求導(dǎo)，由此得到第二皮奧拉--基爾霍夫(Piola--Kirchho ff)應(yīng)力張量S

式中，Wi=?W/?Ii，?Ii/?C可由式(4)求得

而表征真實(shí)應(yīng)力的柯西(Cauchy)應(yīng)力張量為

式中，J為材料變形后與變形前的體積比，且J=

2.2 應(yīng)變能函數(shù)的耦合

纖維增強(qiáng)超彈性基體的復(fù)合材料在拉伸過程中產(chǎn)生變形，主要包括橡膠基體的變形、纖維增強(qiáng)體的變形和纖維對(duì)基體橡膠的剪切變形[11,23].I1描述基體材料在多軸狀態(tài)下的變形；I2對(duì)于填充橡膠材料或生物組織的變形影響程度可以忽略[24-25]；基于不可壓縮性假設(shè)，與體積變化相關(guān)的I3省略；I4通常與纖維拉伸應(yīng)變能相關(guān)，表征材料的各向異性，不可被忽略[26]；出于簡化的目的，不考慮纖維對(duì)基體橡膠的剪切作用，進(jìn)而忽略I5的影響[27].

本文研究的材料為短纖維增強(qiáng)橡膠材料，短纖維對(duì)基體橡膠的剪切作用相對(duì)于基體拉伸應(yīng)變能和纖維拉伸應(yīng)變能來說可以忽略，進(jìn)而簡化模型的構(gòu)建，將應(yīng)變能函數(shù)解耦為獲取參數(shù)的基體橡膠應(yīng)變能WM和纖維伸長而產(chǎn)生的應(yīng)變能WF[4,28-30]

2.2.1 基體橡膠應(yīng)變能函數(shù)

常用橡膠材料的應(yīng)變能函數(shù)的完全多項(xiàng)式可以表示為[5]

式中，Cij和Di為模型參數(shù).基于完全不可壓假設(shè)，則J=1，并忽略I2的影響，選取N=2作為多項(xiàng)式的階數(shù)，得到基體橡膠的應(yīng)變能函數(shù)形式

式中，材料參數(shù)C10和C20的單位均為MPa.

2.2.2 纖維應(yīng)變能函數(shù)

纖維的應(yīng)變能可以被認(rèn)為與其拉伸長度有關(guān)，不考慮其壓縮，纖維拉伸應(yīng)變能函數(shù)被定義為[31]

式中，材料參數(shù)C2和C3的單位均為MPa.

從而確定關(guān)于應(yīng)變不變量I1和I4的簡單多項(xiàng)式形式的應(yīng)變能函數(shù)，用來反映短纖維增強(qiáng)EPDM的各向異性超彈性力學(xué)特性，其表達(dá)式為

將式(10)代入式(5)得簡化后的柯西應(yīng)力張量

式中，B是左柯西--格林應(yīng)變張量，I是二階單位張量，a是纖維在當(dāng)前構(gòu)形中的方向向量，且B=F·FT，a=F·a0.

2.2.3 模型參數(shù)的確定方法

在對(duì)超彈性應(yīng)變能函數(shù)解耦的基礎(chǔ)上，通過最小二乘法擬合單軸拉伸和偏軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求解模型參數(shù).考慮到工程實(shí)用性，當(dāng)纖維方向大于60°時(shí)，短纖維增強(qiáng)作用明顯弱化，故本文將纖維方向大于60°的應(yīng)力與變形關(guān)系等效為純橡膠的準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)特性，下面給出具體步驟：

(1)擬合90°纖維方向的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到材料參數(shù)C10和C20；

(2)擬合纖維方向0°,15°和45°的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到材料參數(shù)C2和C3；

(3)根據(jù)已獲得模型參數(shù)，對(duì)纖維方向20°,30°和40°的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證.

3 結(jié)果與分析

3.1 本構(gòu)模型一維形式

對(duì)于不同纖維方向的單軸拉伸，如圖5所示，假設(shè)變形前短纖維的單位方向向量為

圖5 短纖維增強(qiáng)EPDM單軸拉伸變形Fig.5 Uniaxial tensile deformation of short fibe reinforced EPDM

變形梯度張量F、左柯西--格林應(yīng)變張量B為

其中λi表示第i個(gè)主方向的伸長比.

假設(shè)在拉伸方向上的伸長比為λ，且假定橡膠材料在有限變形下完全不可壓，由此得到3個(gè)主方向伸長比則單軸拉伸下柯西應(yīng)力分量為

在單軸加載情況下，垂直于加載方向的應(yīng)力應(yīng)為0，即

由此得到本構(gòu)模型的一維形式為

3.2 模型適用范圍和參數(shù)確定

3.2.1 模型適用范圍

圖6 I4隨纖維方向的取值變化Fig.6I4changes with fibe directions

由圖6可以看出，當(dāng)應(yīng)變?cè)?0%以下時(shí)，I4隨纖維方向的增大呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)，當(dāng)纖維方向小于45°時(shí)，短纖維增強(qiáng)作用明顯；當(dāng)纖維方向大于60°時(shí)，計(jì)算可得I4＜1，根據(jù)式(9)，此時(shí)由纖維拉伸產(chǎn)生的應(yīng)變能忽略不計(jì)；當(dāng)纖維方向處于45°～60°之間，相對(duì)于短纖維對(duì)基體的剪切作用(本模型不考慮)，其拉伸產(chǎn)生的應(yīng)變能并不明顯.由此確定模型的適用范圍是纖維方向0°～45°.

3.2.2 橡膠基體材料參數(shù)

擬合90°纖維方向的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，即可獲取橡膠基體的材料參數(shù).圖7所示為90°纖維方向應(yīng)力--應(yīng)變曲線

圖7 90°纖維方向應(yīng)力--應(yīng)變曲線Fig.7 Stress-strain curve of 90°fibe direction

3.2.3 短纖維材料參數(shù)

擬合纖維方向?yàn)?°,15°和45°的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(見圖8)，得到材料參數(shù)C2和C3.

圖8 不同纖維方向應(yīng)力--應(yīng)變曲線Fig.8 Stress-strain curves of di ff erent fibe directions

對(duì)獲取的短纖維材料參數(shù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)材料參數(shù)C2對(duì)纖維方向α近似呈現(xiàn)線性關(guān)系，利用線性回歸分析和歸一化處理得到C2的函數(shù)表達(dá)式：y=-0.02189x+3.19074；而C3幾乎不隨纖維方向的改變而變化，保持恒定.根據(jù)線性回歸方程得到纖維方向?yàn)?0°,30°和40°時(shí)的材料參數(shù)C2(α)，對(duì)于參數(shù)C3由其平均值確定，如圖9所示.

圖9 參數(shù)C2的線性回歸分析Fig.9 Linear regression of parameterC2

3.3 模型驗(yàn)證

利用之前獲取的參數(shù)對(duì)纖維方向20°,30°和40°的單軸拉伸進(jìn)行預(yù)測，圖10所示為數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比.從圖10可以看出，模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度較好，誤差在5%以下.考慮實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)受較多因素影響，其誤差在可接受范圍內(nèi)，從而證明本文建立的短纖維增強(qiáng)超彈性本構(gòu)模型的適用性.

圖10 數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比Fig.10 Comparison of numerical and experimental data

4 結(jié)論

(1)基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，提出了一種簡單的短纖維增強(qiáng)超彈性本構(gòu)模型來描述新型EPDM包覆層在拉伸過程中呈現(xiàn)的大變形、非線性和各向異性力學(xué)行為.

(2)應(yīng)變能函數(shù)被分解為基體橡膠應(yīng)變能函數(shù)和纖維應(yīng)變能函數(shù)，其中纖維應(yīng)變能函數(shù)中的材料參數(shù)C2對(duì)纖維方向α近似呈現(xiàn)線性關(guān)系，而C3幾乎不隨纖維方向的改變而變化.

(3)所提出的各向異性超彈性本構(gòu)模型材料參數(shù)少、測試簡單，且模型預(yù)測的有效性好，誤差小于5%，為固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥結(jié)構(gòu)完整性數(shù)值分析提供理論依據(jù)和參考價(jià)值.

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HYPERELASTIC CONSTITUTIVE MODEL FOR SHORT FIBER REINFORCED EPDM INHIBITOR FILM1)

Tan Bingdong?Xu Jinsheng?,2)Jia Yunfei?Yu Jiaquan?

?(School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing210094，China)

?(Tactical Weapons Division，China Academy of Launch Vehicle Technology，Beijing100076，China)

Short fibe reinforced EPDM inhibitor filis used for a new winding coating process,which is mainly to solve the reliable problem in free loading solid rocket grains with complicated structure.Based on fibe reinforced continuum mechanics theory,a simple anisotropic hyperelastic constitutive model is proposed to describe their large deformation, highly non-linear and strongly anisotorpic mechanical behaviors in the work process of solid rocket motor.The unitvolume strain energy function is decomposed into two parts:representing the strain energy from isotropic rubber matrix and anisotropic fibe tensile deformation.By introducing fibe direction to modify fibe strain energy，the specifi method of obtaining model parameters by uniaxial and o ff-axis tension data is presented.Results show that it is highly suitable to characterize their anisotropic mechanical behaviors in the fibe direction from 0°to 45°and the error is less than 5% comparedwith experimentaldata.It isconcluded thatthe proposedmodelishighly accurateand easyto achievenumerical development,which can provide theoretical basis for the structural integrity analysis of solid rocket motor.

EPDM，inhibitor，anisotropic，hyperelastic，constitutive model

O331，TB332，V435

A

10.6052/0459-1879-16-324

2016–11–10收稿，2016–12–12錄用,2016–12–13網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金(51606098)和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(30915118805)資助項(xiàng)目.

2)許進(jìn)升，副教授，主要研究方向：結(jié)構(gòu)完整性分析.E-mail：xujinsheng@njust.edu.cn

談炳東，許進(jìn)升，賈云飛，余家泉.短纖維增強(qiáng)EPDM包覆薄膜超彈性本構(gòu)模型.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(2):317-323

Tan Bingdong,Xu Jinsheng,Jia Yunfei,Yu Jiaquan.Hyperelastic constitutive model for short fibe reinforced EPDM inhibitor filmChinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):317-323