許 新 李世榮

(揚(yáng)州大學(xué)建筑科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225127)

功能梯度材料微梁的熱彈性阻尼研究1)

許 新 李世榮2)

(揚(yáng)州大學(xué)建筑科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225127)

基于Euler-Bernoulli梁理論和單向耦合的熱傳導(dǎo)理論，研究了功能梯度材料(functionally graded material, FGM)微梁的熱彈性阻尼(thermoelastic damping,TED).假設(shè)矩形截面微梁的材料性質(zhì)沿厚度方向按冪函數(shù)連續(xù)變化，忽略了溫度梯度在軸向的變化，建立了單向耦合的變系數(shù)一維熱傳導(dǎo)方程.熱力耦合的橫向自由振動微分方程由經(jīng)典梁理論獲得.采用分層均勻化方法將變系數(shù)的熱傳導(dǎo)方程簡化為一系列在各分層內(nèi)定義的常系數(shù)微分方程，利用上下表面的絕熱邊界條件和界面處的連續(xù)性條件獲得了微梁溫度場的分層解析解.將溫度場代入微梁的運(yùn)動方程，獲得了包含熱彈性阻尼的復(fù)頻率，進(jìn)而求得了代表熱彈性阻尼的逆品質(zhì)因子.在給定金屬--陶瓷功能梯度材料后，通過數(shù)值計(jì)算結(jié)果定量分析了材料梯度指數(shù)、頻率階數(shù)、幾何尺寸以及邊界條件對TED的影響.結(jié)果表明：(1)若梁長固定不變，梁厚度小于某個數(shù)值時，改變陶瓷材料體積分?jǐn)?shù)可以使得TED取得最小值；(2)固有頻率階數(shù)對TED的最大值沒有影響，但是頻率階數(shù)越高對應(yīng)的臨界厚度越??；(3)不同的邊界條件對應(yīng)的TED的最大值相同，但是隨著支座約束剛度增大對應(yīng)的臨界厚度減?。?4)TED的最大值和對應(yīng)的臨界厚度隨著金屬組分的增大而增大.

功能梯度材料，微梁，熱彈性阻尼，能量耗散，自由振動

引言

微機(jī)電系統(tǒng)是在微電子技術(shù)(半導(dǎo)體制造技術(shù))基礎(chǔ)上發(fā)展起來的高科技電子機(jī)械器件.它具有許多傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)無法比擬的優(yōu)點(diǎn)，因此在航空、航天、汽車、生物醫(yī)學(xué)、環(huán)境監(jiān)控和軍事等領(lǐng)域都有著十分廣闊的應(yīng)用前景[1-8].很多微機(jī)電系統(tǒng)諧振器可以簡化為微尺度的梁[1-14].為了設(shè)計(jì)和制造高品質(zhì)的諧振器就需要最大限度地降低它的能量耗散.諧振器在振動過程中主要存在兩種能量耗散形式[4]：(1)外部能量耗散,空氣阻尼，支撐阻尼等.(2)內(nèi)部能量耗散,熱彈性阻尼，聲子透射、散射和晶格缺陷等.通常，當(dāng)系統(tǒng)在完美外部壞境和支撐條件下運(yùn)行時，外部能量耗散可以降到最小，此時熱彈性阻尼就成為最主要的能量耗散方式.當(dāng)微梁振動時，若上部受拉則下部受壓，受拉區(qū)和受壓區(qū)隨時間交替進(jìn)行，受拉區(qū)的溫度會降低，受壓區(qū)的溫度會升高，這種溫度差異會導(dǎo)致彈性體中的熱梯度效應(yīng)，且這種熱梯度會通過熱對流實(shí)現(xiàn)自調(diào)節(jié)熱平衡[1,6].應(yīng)變場與溫度場之間存在的相互耦合給熱彈性系統(tǒng)提供了一種能量耗散機(jī)制，使得系統(tǒng)回到了平衡狀態(tài).但是，在自調(diào)節(jié)熱平衡過程中，熱彈性體的松弛是通過不可逆的熱流來實(shí)現(xiàn)的，從而導(dǎo)致了熵的耗散.這種能量耗散的過程，就稱作熱彈性阻尼[6].只要材料的熱膨脹系數(shù)不為零，熱彈性阻尼就會存在.

早在20世紀(jì)30年代，Zener首次提出熱彈性阻尼理論并給出了熱彈性阻尼的計(jì)算式[15-16].熱彈性阻尼主要有兩種表示形式，一種用熱能量方法表示[1-4,9-11]，另一種用復(fù)頻率方法表示[5-8,12-14].用復(fù)頻率方法表示時，為了得到熱彈性阻尼的大小需要求解耦合的運(yùn)動方程和熱傳導(dǎo)方程，而直接求解三維的熱傳導(dǎo)方程很困難，所以很多學(xué)者將熱傳導(dǎo)方程簡化為只考慮厚度方向溫度梯度的一維熱傳導(dǎo)方程[5-8,12-14].對于橫向振動而言，厚度方向的溫度梯度比長度和寬度方向的溫度梯度要大的多.也有少數(shù)學(xué)者考慮了長度或?qū)挾确较虻臏囟忍荻?采用二維[11]或三維[7]熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行計(jì)算.他們采用了不同的解析和數(shù)值方法對均勻材料[2-8,10-14]和層合復(fù)合材料[1,9]的熱彈性阻尼進(jìn)行了研究.例如，非線性正則模態(tài)方法和伽遼金法[3]、拉普拉斯變換法[6]、格林函數(shù)法[1,11]等.隨著微機(jī)電系統(tǒng)技術(shù)的快速發(fā)展對高品質(zhì)低能耗的諧振器的需求，人們已開展了關(guān)于功能梯度材料微梁器件的靜動態(tài)力學(xué)行為的研究[17-25].然而，關(guān)于功能梯度材料微梁諧振器熱彈性阻尼的研究仍然鮮見.本文基于Euler-Bernoulli梁的理論和非均勻材料的熱力耦合熱傳導(dǎo)理論研究FGM微梁諧振器的熱彈性阻尼特性，探索通過材料性質(zhì)在梁高度方向的梯度變化來提高和改善諧振器品質(zhì)因子的可行性.文章的第1節(jié)推導(dǎo)了FGM微梁的運(yùn)動方程和熱傳導(dǎo)方程；第2節(jié)采用分層均勻化方法建立了變系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的遞推求解數(shù)值計(jì)算過程，并利用復(fù)頻率法給出了熱彈性阻尼的計(jì)算公式；第3節(jié)給出了由陶瓷(Si3N4)和金屬(Ni)復(fù)合而成的FGM微梁的熱彈性阻尼數(shù)值解，分析了組分材料的體積分?jǐn)?shù)、振動頻率階數(shù)、幾何尺寸以及邊界條件對其熱彈性阻尼的影響規(guī)律；第4節(jié)為結(jié)論.

1 問題的數(shù)學(xué)模型

1.1 FGM微梁的材料性質(zhì)

考慮矩形截面的功能梯度材料微梁，如圖1所示.梁長為l，寬度為b，厚度為h.選取直角坐標(biāo)系(x,y,z)，其中x與梁的軸線重合；z為橫向坐標(biāo)，原點(diǎn)在幾何中面；y軸沿著梁的寬度方向.為不失一般性，假設(shè)FGM微梁由陶瓷和金屬復(fù)合而成.材料成分由下表面的純陶瓷連續(xù)變化到上表面的純金屬.并假設(shè)材料性質(zhì)沿厚度按下列函數(shù)變化

式中，P(z)為材料性質(zhì)參數(shù)，如彈性模量E(z)、泊松比ν(z)、質(zhì)量密度ρ(z)、熱傳導(dǎo)系數(shù)κ(z)、比熱容C(z)和熱膨脹系數(shù)α(z)等；ψP(z)為給定的連續(xù)函數(shù)，且有ψP(h/2)=1，ψP(-h/2)=Pc/Pm；Pc和Pm分別為陶瓷和金屬的材料性質(zhì).

圖1 FGM微梁的幾何尺寸和坐標(biāo)系Fig.1 Geometry and coordinates of an FGM micro-beam

1.2 運(yùn)動方程

基于Euler-Bernoulli梁理論，梁的位移場為

其中，u0(x,t)和w0(x,t)分別為幾何中面上任意一點(diǎn)的軸向和橫向位移，t為時間變量.由此可得軸向應(yīng)變

由胡克定律得到軸向應(yīng)力

其中，θ(x,z,t)=T(x,z,t)-T0為微尺度梁在振動過程中因熱彈性耦合而產(chǎn)生的溫度場的增加.T為瞬態(tài)溫度場，T0為參考溫度(或平衡溫度場).將式(3)代入式(4)可得橫截面內(nèi)的等效內(nèi)力和彎矩

其中，Si(i=0,1,2)分別為拉伸、拉彎耦合和彎曲剛度系數(shù)，NT和MT分別為熱軸力和熱彎矩.這些量的具體定義為

忽略軸向慣性力，可得FGM微梁的自由振動運(yùn)動方程

其中z0=S1/S0為梁的物理中面的坐標(biāo).對于均勻材料或材料性質(zhì)分布關(guān)于梁幾何中面對稱的情況，不存在拉彎耦合變形，則有z0=0，表明物理中面與幾何中面重合.將式(9)代入式(3)可得

進(jìn)一步可得橫向正應(yīng)變

將式(5b)代入運(yùn)動方程(8)，利用式(9)可得位移形式的運(yùn)動方程

1.3 熱傳導(dǎo)方程

考慮熱--彈單向耦合情況下FGM微梁單向耦合熱傳導(dǎo)方程為

其中，e=εx+εy+εz為體積應(yīng)變.對于細(xì)長梁，沿著梁厚度方向的溫度梯度要遠(yuǎn)大于長度方向的溫度梯度，因此，可忽略溫度梯度的軸向變化，將式(10)～式(11)代入式(13)得到FGM微梁單向耦合的一維熱傳導(dǎo)方程

2 熱彈性阻尼的求解

位移和溫度的調(diào)和響應(yīng)形式為

將式(15)代入到式(12)和式(14)得

由于材料性質(zhì)參數(shù)κ,ρ,C,α,E,ν都是坐標(biāo)z的函數(shù)，直接求熱傳導(dǎo)方程(17)的解析解十分困難.這里采用分層均勻化方法尋求其近似解.為此，將FGM微梁沿厚度平均劃分為N層子區(qū)域，將每層的材料性質(zhì)看作是均勻的，并用每層的中面上的值代替.于是可得一系列常系數(shù)的微分方程

整梁的上下表面沒有熱流通過的，其絕熱條件和界面處的連續(xù)性條件可表示為

這里，j=1,2,···,N-1.

引入下列無量綱參數(shù)

帶有下標(biāo)“m”的物理參數(shù)代表上表面為純金屬的物理性質(zhì)參數(shù).將式(21)代入式(16)和式(19)可得無量綱形式的微分方程

系數(shù)Aj和Bj為任意常數(shù)，由邊界條件和連續(xù)性條件確定.利用式(21)可將邊界條件和連續(xù)性條件式(20)轉(zhuǎn)化為下列無量綱形式

這里，j=1,2,···,N.將通解式(25)代入式(26)，即可確定系數(shù)Aj和Bj.由通解中的齊次方程特解的形式可知，系數(shù)Aj和Bj都含有項(xiàng)，進(jìn)而可將Aj和Bj表示為

將式(25)重寫

將式(28)代入邊界條件和連續(xù)性條件(26)可得2N個關(guān)于系數(shù)的代數(shù)方程組.利用這組代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣的帶狀特點(diǎn)可以容易建立遞推求解的計(jì)算過程.求得溫度場(28)后可得無量綱熱彎矩

將式(28)代入式(29)得

將式(30)代入式(22)得到無量綱振動方程

其中

如果忽略熱彈性阻尼，即f(?)=0，則方程(32)退化為

?0為不考慮熱彈性阻尼時FGM梁的無量綱固有頻率.在相同的端部支承條件下，由方程(32)和方程(34)的相似性可得到兩者頻率之間的關(guān)系

為了簡化計(jì)算，用f(?0)近似代替根號里的f(?)[5].式(35)變?yōu)轱@式

進(jìn)一步，無阻尼時功能梯度材料Euler-Bernoulli梁的頻率可表示為其中為參考均勻梁(純金屬梁)的無量綱固有頻率[26].從上式中可得到頻率?的實(shí)部和虛部，進(jìn)而可由下式得到代表熱彈性阻尼的逆品質(zhì)因子[5]

3 數(shù)值結(jié)果與討論

考慮FGM微梁具體是由陶瓷氮化硅(Si3N4)和金屬鎳(Ni)復(fù)合而成，材料性質(zhì)沿厚度方程按下列冪函數(shù)連續(xù)變化

其中，ζ=z/h，rP=Pc/Pm，n為材料梯度指數(shù)，取值范圍為[0,∞).表1給出了鎳(Ni)和氮化硅(Si3N4)的物性參數(shù).

表1 鎳和氮化硅的物性參數(shù)(T0=300K)Table 1 The material properties of nickel and silicon nitride(T0=300K)

將式(38)代入式(24)中得到無量綱系數(shù)

首先，考慮分層數(shù)N對熱彈性阻尼精度和收斂性的影響.給定兩端簡支(S-S)，l=300μm，h=3μm的FGM微梁.參考均勻梁的前三階的無量綱頻率分別為π2，4π2，9π2.表2給出了當(dāng)材料梯度指數(shù)n=1時，F(xiàn)GM微梁以一階模態(tài)振動時不同分層數(shù)N對應(yīng)的Q-1值.從表中可以看出，分層數(shù)分別為N=200和N=1000時，所得Q-1的相對誤差小于2×10-5，由此可見分層均勻法具有很好的收斂速度.后續(xù)計(jì)算時取N=600已能達(dá)到了很高的精度.這是由于在求解系數(shù)的代數(shù)方程組時采用了遞推求解過程，建立了類似追趕法的解析運(yùn)算過程，避免了矩陣運(yùn)算，使得計(jì)算過程簡單而高效.為了進(jìn)一步證明該計(jì)算方法的可靠性，將FGM微梁退化為純陶瓷均勻梁(n=0)時，在N=600時計(jì)算得到的逆品質(zhì)因子值與文獻(xiàn)中的解析解[5](以下簡稱L-R)進(jìn)行了比較(見圖2).文獻(xiàn)中L-R給出的熱彈性阻尼解析公式為

表2 一階頻率下FGM微梁不同N對應(yīng)的Q-1值(S-S,h=3μm,l=300μm,n=1)Table 2 Values of the quality factorQ-1with numbers of the divided layer of an FGM beam at the firs order frequency (S-S,h=3μm,l=300μm,n=1)

圖2 本文所得純陶瓷微梁的熱彈性阻尼解答與文獻(xiàn)中的解析解的比較Fig.2 A comparison of the present solution of TED for a pure ceramic micro beam with the analytical solution in the literature

圖3 前三階模態(tài)下FGM微梁的熱彈性阻尼隨厚度的變化曲線Fig.3 Curves of the thermoelastic damping of the FGM micro-beam versus the thickness in the firs three vibrating modes

圖4 FGM簡支微梁自由振動時的頻移和衰減隨厚度的變化的關(guān)系曲線(一階模態(tài))Fig.4 The frequency shift and the attenuation change with the thickness of an S-S FGM micro-beam(in the firs mode)

對于FGM微梁，材料梯度變化指數(shù)n影響著材料的性質(zhì)，從而會影響熱彈性阻尼Q-1.在圖5中，給出了兩端簡支FGM微梁在不同n值時對應(yīng)的Q-1與h之間的關(guān)系.n=0代表純陶瓷梁，n=105近似看作純金屬梁.從圖中可以看出，整體上，隨著n的不斷增大,熱彈性阻尼的最大值不斷增大，且梁的臨界厚度也不斷增大.說明隨著金屬含量的增大，熱彈性阻尼的最大值和臨界厚度隨之增大.圖6給出了兩端簡支微梁在一階模態(tài)下，不同厚度h對應(yīng)的Q-1～n關(guān)系曲線.圖6(a)～圖6(c)的變化規(guī)律大致相同，在h=1,2,3μm時，Q-1都存在一個最小值點(diǎn)，此時諧振器的品質(zhì)因子最高，即存在比單一組分材料梁更低的熱彈性阻尼值.但從圖6(d)中可見,在h=5,6,8,10μm時不存在熱彈性阻尼的極小值.只有在材料性質(zhì)趨近于陶瓷時熱彈性阻尼才取得最小值.

圖6 給定不同厚度時FGM微梁的熱彈性阻尼Q-1與材料梯度指數(shù)n之間的關(guān)系曲線(一階模態(tài))Fig.6 Thermoelastic dampingQ-1versus the material gradientnfor some specifie values of the thickness(in the firs mode)

圖6 給定不同厚度時FGM微梁的熱彈性阻尼Q-1與材料梯度指數(shù)n之間的關(guān)系曲線(一階模態(tài))(續(xù))Fig.6 Thermoelastic dampingQ-1versus the material gradientnfor some specifie values of the thickness(in the firs mode)(continued)

最后討論邊界條件對FGM微梁熱彈性阻尼的影響.考慮兩端夾緊(C-C)、一端夾緊一端簡支(CS)、兩端簡支(S-S)、一端夾緊一端自由(C-F)四種邊界條件.表3分別給出了以一階模態(tài)振動時四種邊界條件下的最大熱彈性阻尼值及其所對應(yīng)的梁厚hcr隨材料梯度變化指數(shù)n的變化規(guī)律.從表中可以看出，在n值不變時，不同邊界條件所對應(yīng)的最大熱彈性阻尼值相同，但是臨界厚度卻隨著約束剛度的增大而減小.這說明，在幾何尺寸和材料成分確定后邊界條件不影響熱彈性阻尼的最大值，只影響最大熱彈性阻尼值對應(yīng)的臨界厚度.圖7給出了一階模態(tài)下，具有不同端部約束的FGM微梁對應(yīng)的熱彈性阻尼隨厚度h連續(xù)變化的關(guān)系，從圖中也可以證明表3中的結(jié)論.

表3 熱彈性阻尼最大值和相應(yīng)的臨界厚度hcr(μm)值隨材料梯度指數(shù)和邊界條件的變化(一階模態(tài)，l=300μm)Table 3 Values of the maximum TED,and the related critical thicknesshcr(μm)varying with the boundary conditions and for material gradient indexn(in the firs mode,l=300μm)

表3 熱彈性阻尼最大值和相應(yīng)的臨界厚度hcr(μm)值隨材料梯度指數(shù)和邊界條件的變化(一階模態(tài)，l=300μm)Table 3 Values of the maximum TED,and the related critical thicknesshcr(μm)varying with the boundary conditions and for material gradient indexn(in the firs mode,l=300μm)

BCsn0 0.1 0.2 0.5 1 4 10 100 100000 C-C Q-1max 1.1118 1.7682 2.3143 3.6068 5.0599 8.0746 10.0138 12.9454 13.4729hcr 3.47 4.13 4.60 5.60 6.60 8.16 8.53 8.72 8.75 C-S Q-1max 1.1118 1.7682 2.3143 3.6068 5.0599 8.0746 10.0138 12.9454 13.4729hcr 3.92 4.67 5.21 6.35 7.47 9.24 9.66 9.87 9.90 S-S Q-1max 1.1118 1.7682 2.3143 3.6068 5.0599 8.0746 10.0138 12.9454 13.4729hcr 4.55 5.42 6.05 7.36 8.67 10.73 11.20 11.45 11.49 C-F Q-1max 1.1118 1.7682 2.3143 3.6068 5.0599 8.0746 10.0138 12.9454 13.4729hcr 6.42 7.65 8.53 10.39 12.23 15.13 15.80 16.16 16.20

圖7 不同邊界條件下熱彈性阻尼與厚度的關(guān)系曲線(一階模態(tài))Fig.7 Relationship curves between TED and the thickness under dif f erent boundary conditions(in the firs mode)

4 結(jié)論

基于 Euler-Bernoulli梁理論和各向同性非均勻介質(zhì)熱力耦合的熱傳導(dǎo)理論，研究了材料性質(zhì)沿厚度方向連續(xù)變化的功能梯度材料微梁的熱彈性阻尼.采用分層均勻化方法將變系數(shù)的熱傳導(dǎo)方程離散為定義在有限分層上的常系數(shù)熱傳導(dǎo)方程.從而在給定邊界條件和界面處的連續(xù)性條件下求得溫度場的分段連續(xù)解析解.將與振幅相關(guān)的溫度場代入振動微分方程，采用復(fù)頻率方法獲得了熱彈性阻尼的解析解.在純陶瓷均勻梁的情況下，本文所得熱彈性阻尼解答與相同條件下文獻(xiàn)中的解答完全吻合.通過大量的數(shù)值結(jié)果，研究了幾何尺寸、材料梯度指數(shù)、振動模態(tài)階數(shù)以及邊界條件等對FGM微梁的熱彈性阻尼的影響，得到了以下結(jié)論：(1)若梁長固定不變，梁厚度小于某個數(shù)值時，改變陶瓷材料體積分?jǐn)?shù)可以使得TED取得最小值；(2)固有頻率階數(shù)對TED的最大值沒有影響，但是頻率階數(shù)越高對應(yīng)的臨界厚度越??；(3)不同的邊界條件對應(yīng)的TED的最大值相同，但是隨著支座約束剛度增大對應(yīng)的臨界厚度減?。?4)TED的最大值和對應(yīng)的臨界厚度隨著金屬組分的增加而增加；(5)在理論上可以通過材料性質(zhì)梯度變化優(yōu)化設(shè)計(jì)減小微梁的熱彈性阻尼.

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ANALYSIS OF THERMOELASTIC DAMPING FOR FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL MICRO-BEAM1)

Xu Xin Li Shirong2)
(School of Civil Science and Engineering，Yangzhou University，Yangzhou225127，Jiangsu，China)

Based on Euler-Bernoulli beam theory and the one-waycoupled heat conduction theory,thermoelastic damping (TED)of functionally graded material(FGM)micro-beams was studied.By assuming the material properties of the rectangular cross-section micro-beams to be varied continuously along the thickness direction as power law functions and ignoring the variation of the temperature gradient in the axial direction,one dimensional and one-way coupled heat conduction equation with variable coefficients was established.By using the layer wise homogenization approach,the heat conduction with variable coefficients was simplifie as a series of di ff erential equations define in each layer.The equation governing fl xural free vibration of the FGM micro beams subjected to time dependent non-uniform heating was developed on the basis of classical beam theory.By using the boundary conditions at the top and the bottom surfaces and the continuity conditions at the interfaces,analytical solution of the temperature fiel in the FGM micro-beams given layer wisely was obtained.Substituting the temperature fiel into equation of motion of the micro-beams,the complexfrequency including TED was achieved,and finall,values of the TED was extracted.Numerical results of the TED were calculated for the given values of physical and geometrical parameters of a metal-ceramic FGM beam.E ff ects of the material gradient,the geometry,frequency orders and the boundary conditions on TED were analyzed in detail.The results showed that:(1)if the beam length is fi ed,one can arrive at the minimum of the TED by changing the volume fraction of the ceramic when the beam thickness is less than a certain value;(2)the orders of the frequency have no influenc on the maximum of TED,however,the larger frequency corresponds to the smaller critical thickness(at which the TED reaches the maximum);(3)for di ff erent boundary conditions the maximums of TED are same,but the critical thickness is smaller for the stronger end constraints;(4)both the maximum of TED and the critical increase of the FGM micro beams increase along with the increment in the values of the volume fraction of the metal.

functionally graded material,micro-beams,thermoelastic damping,energy dissipation,free vibration

O343

A

10.6052/0459-1879-16-369

2016–12–08收稿，2017–01–10錄用,2017–01–11網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272278,11672260).

2)李世榮，教授，主要研究方向：結(jié)構(gòu)非線性分析及新型材料結(jié)構(gòu)力學(xué)行為.E-mail:srli@yzu.edu.cn

許新，李世榮.功能梯度材料微梁的熱彈性阻尼研究.力學(xué)學(xué)報(bào)，2017,49(2):308-316

Xu Xin,Li Shirong.Analysis of thermoelastic damping for functionally graded material micro-beam.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):308-316