邵傳平 朱園園

(中國(guó)計(jì)量大學(xué)流體檢測(cè)與仿真研究所，杭州310018)

鵝掌楸樹葉在風(fēng)中的變形與振動(dòng)1)

邵傳平2)朱園園

(中國(guó)計(jì)量大學(xué)流體檢測(cè)與仿真研究所，杭州310018)

樹葉的空氣動(dòng)力與流固耦合特性研究在樹木保護(hù)、新發(fā)電技術(shù)開發(fā)、太陽(yáng)能帆板設(shè)計(jì)等方面具有重要意義.Vogel首次發(fā)現(xiàn)樹葉在較高風(fēng)速下具有形狀重構(gòu)以避免受損害的能力.Vogel實(shí)驗(yàn)時(shí)葉柄端部是簡(jiǎn)支的，與葉柄與樹枝的自然連接方式不同.在本文的研究中，葉柄端部是固支的，葉片垂直懸掛，正面或反面迎風(fēng).在風(fēng)速0～27m/s范圍內(nèi)，存在兩種葉片靜止?fàn)顟B(tài),即飛翼形穩(wěn)定和錐形穩(wěn)定;還有3種葉片振動(dòng)狀態(tài)，即低頻擺動(dòng)、第1和第2高頻振動(dòng).這5種狀態(tài)由5個(gè)臨界風(fēng)速?zèng)Q定.通過(guò)70余片樹葉測(cè)試結(jié)果的統(tǒng)計(jì)，得到了樹葉每個(gè)狀態(tài)存在的概率，及每個(gè)臨界風(fēng)速的期望值.流動(dòng)顯示發(fā)現(xiàn)樹葉變形后其尾流中存在旋渦脫落現(xiàn)象.天平測(cè)量發(fā)現(xiàn)葉片阻力系數(shù)隨葉片雷諾數(shù)的增大而減小并逐漸接近于0.1.引入懸臂梁模型，采用測(cè)量的葉片氣動(dòng)力，對(duì)葉柄靜態(tài)彎曲形狀進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果表明當(dāng)風(fēng)速由0逐漸增至5m/s時(shí)，葉柄向下游彎曲迅速；但風(fēng)速由5m/s進(jìn)一步增大時(shí)，向下游的彎曲則變慢.

樹葉，形狀重構(gòu)，振動(dòng)，臨界風(fēng)速

Key words tree leaves,reconfiguration vibration,critical wind speed

引言

樹葉在大風(fēng)中具有良好的彎曲變形能力[1]，其氣動(dòng)與流固耦合特性的研究在仿生學(xué)[2]、新發(fā)電技術(shù)[3]、建筑設(shè)計(jì)[1]、太陽(yáng)能帆板設(shè)計(jì)[4]以及樹木保護(hù)[5]等方面具有參考意義.

Vogel[6]對(duì)紅楓、鵝掌楸、核桃等多種樹葉做了風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)研究，首次發(fā)現(xiàn)樹葉在高風(fēng)速下具有將葉片重構(gòu)成錐形以減小空氣阻力，達(dá)到自我保護(hù)的能力.此后研究者對(duì)各種植物葉的形狀重構(gòu)現(xiàn)象進(jìn)行了研究.Miller等[7]在水槽中對(duì)野生姜葉和野生紫羅蘭葉進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這些植物葉片在較高流速下同樣卷成錐形；在未卷成錐形時(shí)，其尾流中具有強(qiáng)烈的旋渦脫落，而卷成錐形后，旋渦脫落減弱.Speck[8]研究了蘆竹在風(fēng)中的形狀重構(gòu)及迎風(fēng)面積變化.人造樹葉或人造柔性體同樣具有形狀重構(gòu)的能力.Schouveiler等[9]將一個(gè)塑料圓片沿一條徑線剪開并在圓心處固定，來(lái)模擬樹葉形狀，發(fā)現(xiàn)它在風(fēng)中能卷成錐狀，并得到了錐角隨風(fēng)速的變化.Alben等[10]研究了一維柔性體在液流中的自相似彎曲變形.Gosselin等[11]研究了絲線束群(花朵形多孔柔性體)在風(fēng)中的形狀重構(gòu).Shelley等[12]研究了(絲線和旗子)在肥皂泡膜液流中的穩(wěn)定性與旋渦脫落形式，并在質(zhì)量和剛度坐標(biāo)系中得到了失穩(wěn)的臨界線.

阻力方面，Albayrak等[13]測(cè)試了甜茅葉與莖在水中的阻力系數(shù)隨雷諾數(shù)的變化，并研究了葉片長(zhǎng)寬比的影響.Speck[8]發(fā)現(xiàn)蘆竹葉阻力隨風(fēng)速呈線性增大.Schouveiler等[9]研究了沿徑向開縫的塑料圓片阻力系數(shù)與所卷成錐角的關(guān)系.Alben等[10]發(fā)現(xiàn)一維柔性體的自相似變形使其阻力減小.Vogel[6]測(cè)試了多種闊葉樹樹葉的阻力，發(fā)現(xiàn)與剛體阻力明顯不同，樹葉阻力D與風(fēng)速U具有關(guān)系:D～U2+α,α被稱為Vogel系數(shù).Vogel[6]測(cè)試了楊槐、黑胡桃、山核桃、紅楓、鵝掌楸及白橡樹等6種樹葉及山核桃小葉，得到的α值除白橡樹葉外，均為負(fù)值，在-0.2～-1.18之間，平均為-0.71.Vogel[6]還研究了復(fù)葉(cluster)的阻力，發(fā)現(xiàn)紅楓、鵝掌楸、白橡樹、白楊和櫟樹等復(fù)葉的α值在-0.44～-1.06之間，其平均值與單樹葉平均值幾乎相同.應(yīng)當(dāng)指出，柔性體的變形并不總是引起阻力減小，有時(shí)也引起阻力增大，比如旗子在風(fēng)中飄動(dòng)時(shí)的阻力遠(yuǎn)比剛性平板順流放置時(shí)大[14]，因此樹葉減阻的機(jī)制值得仔細(xì)研究.

上述研究中，都是將葉柄或莖端部自由支撐，葉柄可繞端部轉(zhuǎn)動(dòng)，因此葉片從較小風(fēng)速或流速開始就處于順流方向，風(fēng)向角為0°.自然生長(zhǎng)的植物，其葉柄端部與枝條之間是固接的，不能自由轉(zhuǎn)動(dòng)，因此即使在較高風(fēng)速下，葉片也不會(huì)處于順流方向.同一顆樹上的樹葉，葉片角各不相同.Posada等[15]測(cè)量得到熱帶樹冠上葉片角(葉片法線與垂直方向的夾角)在 0°～45°之間變化.Pisek等[16]研究了不同國(guó)家的多種闊葉樹，發(fā)現(xiàn)為了獲得更好的光照條件，葉片角可在0°～90°范圍內(nèi)變化，但不同樹種葉片角的分布幾率有較大差別.McNeil等[17]測(cè)量了5種樹葉的葉片角在0°～90°范圍內(nèi)的概率分布. Hernandez[18]發(fā)現(xiàn)沿向日葵主桿向上端，葉柄角(與水平面夾角)由-9°增大到60°,葉片角(與水平面夾角)由1°減小到-60°.樹葉在樹枝上的排列分為對(duì)生、互生和螺旋生3種.除了葉片角外，繞枝條的周角也有變化.對(duì)生、互生葉片周角相差180°，螺旋生葉片周角變化范圍則在0°～360°之間.其他與葉片角相關(guān)的研究見文獻(xiàn)[19-22].

同一顆樹在同一個(gè)均勻風(fēng)場(chǎng)中，各個(gè)葉子的葉片角和周角千差萬(wàn)別，風(fēng)向角也就各不相同.其中與葉片順流方向差別最大的，是葉片垂直于來(lái)流的情況.葉片垂直來(lái)流的情況又可分為樹葉垂直懸掛和非垂直懸掛兩種狀態(tài)，每種狀態(tài)又分為樹葉正面(光照面)迎風(fēng)和反面(背陰面)迎風(fēng)兩種情況.由于常見樹葉都呈曲面形狀，正面凹進(jìn)，反面突出，兩面迎風(fēng)的氣動(dòng)特性有差別，需要研究.

造成葉片垂直懸掛與非垂直懸掛之間差別的是重力因素的影響.當(dāng)樹葉非垂直懸掛時(shí)，由于自身重量，葉柄及葉片局部存在一定程度的彎曲，會(huì)影響葉片風(fēng)向角.樹葉垂直懸掛時(shí)，重力不會(huì)造成葉片彎曲，因此不會(huì)影響葉片風(fēng)向角.

Niklas[23]測(cè)量了2個(gè)樹種的簡(jiǎn)單葉片和3個(gè)樹種的復(fù)葉，發(fā)現(xiàn)單位面積葉片的重力近似為1N/m2. Scholes等[24]測(cè)量的16種沙漠樹葉的單位面積重量在0.8～2.5N/m2之間.這些樹葉的最大重力小于1.5m/s的風(fēng)速垂直吹過(guò)葉片時(shí)的空氣阻力.因此，對(duì)于葉柄和葉片剛度相對(duì)較大的鵝掌楸樹葉，重力影響很小，可以忽略.

葉片順著流向放置時(shí)，氣流的摩擦阻力占主要位置，升力和側(cè)向力很小.此時(shí)葉柄與順流呈直線，很少?gòu)澢?，產(chǎn)生大幅振動(dòng)的幾率很小.葉片垂直來(lái)流放置時(shí)，流動(dòng)出現(xiàn)分離，壓差阻力占主要位置.更重要的是會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)烈的旋渦脫落現(xiàn)象，伴隨著側(cè)向力的周期性變化.隨著風(fēng)速增大，葉柄逐漸向下游方向彎曲，升力使葉片逐漸抬升，葉片風(fēng)向角則逐漸減小.Shao等[25]發(fā)現(xiàn)，當(dāng)連枝的懸鈴木樹葉垂直懸掛時(shí)，除了出現(xiàn)形狀重構(gòu)現(xiàn)象外，在不同風(fēng)速下會(huì)出現(xiàn)低頻擺動(dòng)和高頻振動(dòng)現(xiàn)象.樹葉的這些振動(dòng)狀態(tài)在順流向放置時(shí)沒有出現(xiàn)[6].

其他樹種的樹葉在葉柄端部固支和垂直懸掛時(shí)有沒有振動(dòng)和形狀重構(gòu)現(xiàn)象發(fā)生？發(fā)生這些現(xiàn)象的臨界風(fēng)速多大？樹葉氣動(dòng)阻力怎樣變化？本文將對(duì)鵝掌楸樹葉的這些氣動(dòng)特性進(jìn)行探討.

1 實(shí)驗(yàn)材料與方法

鵝掌楸樹葉的特點(diǎn)，一是葉柄較長(zhǎng)，橫截面呈近似圓形，長(zhǎng)度方向有較小錐度，二是葉片上半部分較寬，下半部分較窄，寬度在腰部突然變化.葉片有4個(gè)尖角，分別位于腰部和下端兩側(cè)，邊緣其他部分圓滑.樹葉尺度如圖1所示.

圖1 鵝掌楸樹葉及其葉片與葉柄尺寸Fig.1 Tulip leaf and dimensions of its lamina and petiole

樹葉的變形與振動(dòng)過(guò)程由一臺(tái)數(shù)字?jǐn)z像機(jī)記錄，攝像幀率為50fps.樹葉尾流的縱向流動(dòng)情況由煙線法進(jìn)行流動(dòng)顯示.尾流橫向流動(dòng)由PIV測(cè)量和顯示，采樣頻率為10Hz.樹葉3個(gè)方向的瞬時(shí)氣動(dòng)力和3個(gè)方向的瞬時(shí)力矩用六分力天平測(cè)量，采樣頻率為5kHz.

實(shí)驗(yàn)用新鮮鵝掌楸樹葉是5月中旬在中國(guó)計(jì)量大學(xué)校園附近采集.實(shí)驗(yàn)選用的單片樹葉及其葉柄位于樹枝的末端.測(cè)試的樹葉共計(jì)73片，都是隨機(jī)從樹上采集,并且采集后立即放于常溫水中保鮮待用.采集樹葉的葉片面積概率密度接近于正態(tài)分布，如圖2所示.葉片與葉柄的尺度變化范圍基本概括了所在地區(qū)鵝掌楸樹葉的自然變化范圍，具有較好的代表性.

圖2 所測(cè)試樹葉葉片面積的概率分布Fig.2 Probability density of lamina area of the tested tulip leaves

實(shí)驗(yàn)在中國(guó)計(jì)量大學(xué)循環(huán)式風(fēng)洞中進(jìn)行.風(fēng)洞試驗(yàn)段長(zhǎng)度為2m，橫截面為0.6m×0.6m的正方形，能夠提供速度為0.5～35m/s，湍流度小于0.4%的均勻風(fēng)速.

圖3 (a)葉片懸掛于風(fēng)洞中,(b)集中力作用于葉柄懸臂梁模型Fig.3 Sketch of(a)the leaf in wind tunnel,and(b)concentrated aerodynamic load on cantilevered beam model of the petiole

如圖3所示，在風(fēng)洞頂壁上開一圓孔，將風(fēng)洞六分力天平主體由外側(cè)通過(guò)圓孔伸入風(fēng)洞中，而天平底座由螺栓固定于洞壁.一根長(zhǎng)度0.2m，直徑為6mm的不銹鋼棒，垂直放置于風(fēng)洞中，其上端由螺絲扣固接于天平上.用細(xì)絲線將葉柄端部牢固地綁在鋼棒下端，使樹葉呈自然垂掛狀態(tài).對(duì)每片樹葉的正面迎風(fēng)和反面迎風(fēng)分別測(cè)試.測(cè)試時(shí)風(fēng)速由0逐步增大，直至27m/s為止.當(dāng)風(fēng)速較低時(shí)，每次增量為0.5m/s,當(dāng)風(fēng)速超過(guò)4m/s以后，每次增量至1m/s.風(fēng)洞每增大一次風(fēng)速，都要先穩(wěn)定約20s，然后采集數(shù)據(jù).

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

2.1 樹葉的風(fēng)振狀態(tài)與臨界風(fēng)速統(tǒng)計(jì)

對(duì) 73片鵝掌楸樹葉進(jìn)行了反面迎風(fēng)測(cè)試.圖4是樹葉在反面迎風(fēng)時(shí)的典型狀態(tài)變化.風(fēng)速很小時(shí)，樹葉靜止.當(dāng)風(fēng)速增大到V1=3.7m/s時(shí)，樹葉出現(xiàn)低頻大幅的左右搖擺,有時(shí)還伴隨著繞葉柄軸線的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)[26].風(fēng)速增大到V2=5.6m/s時(shí)擺動(dòng)停止，葉片呈飛翼形狀并處于穩(wěn)定狀態(tài)，這是第1種氣動(dòng)平衡.當(dāng)風(fēng)速增大到V4=11.4m/s時(shí)，葉片卷縮成錐形，阻力大為減小，葉片靜止，這是第2種氣動(dòng)穩(wěn)穩(wěn)定狀態(tài).當(dāng)風(fēng)速繼續(xù)增大到V3=8.3m/s時(shí)，飛翼形穩(wěn)定平衡狀態(tài)被打破，葉片出現(xiàn)大幅高頻振動(dòng).葉片在振動(dòng)狀態(tài)中不斷改變形狀，以尋求新的氣動(dòng)定狀態(tài).隨著風(fēng)速進(jìn)一步增大，第二種穩(wěn)定狀態(tài)一直持續(xù).直到風(fēng)速達(dá)到V5=22m/s，平衡才被打破，葉片失穩(wěn)，再次出現(xiàn)高頻振動(dòng).將開始出現(xiàn)低頻擺動(dòng)、飛翼形穩(wěn)定、第1高頻振動(dòng)、錐形穩(wěn)定、第2高頻振動(dòng)的風(fēng)速分別稱為第1,2,3,4和第5臨界風(fēng)速,并分別用V1,V2,V3,V4和V5表示.

圖4 葉片反面迎風(fēng)時(shí)其狀態(tài)隨風(fēng)速的變化Fig.4 The back surface facing the wind:status changes with wind speed

對(duì)70片樹葉進(jìn)行了正面迎風(fēng)測(cè)試.與反面迎風(fēng)情況類似，典型情況下，隨著風(fēng)速由小變大，樹葉也依次出現(xiàn)上述5種狀態(tài)，以及5個(gè)臨界風(fēng)速.

葉片正面迎風(fēng)時(shí)，出現(xiàn)兩種不同的變化過(guò)程，第1種：低頻大幅擺動(dòng)停止以后，由于葉柄的扭轉(zhuǎn)，葉片變?yōu)榉疵嬗L(fēng)并呈飛翼狀，且在此后與反面迎風(fēng)的典型狀態(tài)變化相似，這在測(cè)試的70片樹葉中有21片屬于第一種情況，占30%.第2種：正面始終為迎風(fēng)面，隨著風(fēng)速增大，也經(jīng)歷低頻搖擺、飛翼形、高頻振動(dòng)、錐形、再次振動(dòng)等狀態(tài)，這在測(cè)試的葉片中占70%.

葉片正面迎風(fēng)的典型穩(wěn)定狀態(tài)如圖5所示.正面迎風(fēng)時(shí)的飛翼形狀，除了葉片兩側(cè)上卷(圖5(a))外，還存在向下翻卷的情況(圖5(b)).與反面迎風(fēng)的錐形其主葉脈位于下側(cè)(圖4(e))不同，正面迎風(fēng)的錐形其主葉脈可位于上側(cè)(圖5(c)).

圖5 兩種不同的穩(wěn)定形狀Fig.5 Two types of steady states

需要指出的是，并不是每個(gè)葉片都經(jīng)歷上述全部5種狀態(tài).表1和表2分別是各臨界風(fēng)速和各狀態(tài)存在的概率.正面迎風(fēng)時(shí)的情況是：第1臨界風(fēng)速和低頻擺動(dòng)存在的概率均為92.7%.未出現(xiàn)低頻擺動(dòng)的7.3%葉片中，4.3%通過(guò)靜態(tài)變形逐漸形成飛翼形穩(wěn)定，3.0%通過(guò)葉片彎曲方向由向前突然改變?yōu)橄蚝笮纬娠w翼形穩(wěn)定.

表1 正面F和反面B迎風(fēng)時(shí)各臨界風(fēng)速存在的概率Table 1 Probability of existence of each critical wind speed, F-front surface facing wind,B-back surface facing wind

表2 正面F和反面B迎風(fēng)時(shí)各狀態(tài)存在的概率Table 2 Probability of existence of each status,F-front surface facing wind,B-back surface facing wind

突變?yōu)轱w翼形的第 2臨界風(fēng)速存在的概率為91.4%，其中88.4%由低頻擺動(dòng)突變，3.0%由葉片彎曲方向突變而形成飛翼形，加上漸變而成的4.3%,能夠形成飛翼形穩(wěn)定狀態(tài)的葉片概率為95.7%；而其他4.3%隨著風(fēng)速增大，由低頻擺動(dòng)逐漸變化為高頻振動(dòng).

由飛翼穩(wěn)定突變?yōu)榈?高頻振動(dòng)的第3臨界風(fēng)速存在的概率為70%，第1高頻振動(dòng)存在的概率為70%+4.3%=74.3%.25.7%葉片不存在高頻振動(dòng)，由飛翼形穩(wěn)定突變?yōu)殄F形穩(wěn)定.

第 4臨界風(fēng)速與錐形穩(wěn)定存在的概率均為88.6%，其中62.9%由高頻振動(dòng)突變?yōu)殄F形穩(wěn)定，其余25.7%由飛翼形穩(wěn)定突變?yōu)殄F形穩(wěn)定.11.43%葉片不存在錐形穩(wěn)定，由第1高頻振動(dòng)直接過(guò)渡到第2高頻振動(dòng).

由錐形穩(wěn)定突變?yōu)榈?高頻振動(dòng)的第5臨界風(fēng)速存在的概率為67.1%.加上一直振動(dòng)的11.4%，第5臨界風(fēng)速以后，處于高頻振動(dòng)的葉片占78.6%，其他21.4%的葉片保持錐形靜止直到實(shí)驗(yàn)最高風(fēng)速.

反面迎風(fēng)的情況：只有13.7%的葉片存在第1臨界風(fēng)速(出現(xiàn)低頻擺動(dòng))，其余葉片通過(guò)靜態(tài)變形逐漸變?yōu)轱w翼形.有11.0%存在第2臨界風(fēng)速，而形成飛翼形穩(wěn)定的概率高達(dá)97.3%，其中11.0%從低頻擺動(dòng)突變而來(lái)，其他86.3%由靜態(tài)變形逐漸形成.有87.7%的葉片存在第3臨界風(fēng)速(由飛翼形突變?yōu)楦哳l振動(dòng))，加上由低頻擺動(dòng)逐漸變化為高頻振動(dòng)的2.7%，葉片出現(xiàn)高頻振動(dòng)的概率為90.4%.存在第4臨界風(fēng)速的葉片占49.3%，而存在錐形穩(wěn)定狀態(tài)的占54.8%，其中4.1%由飛翼形突變?yōu)殄F形，45.2%由高頻振動(dòng)突變?yōu)殄F形，還有5.5%通過(guò)靜態(tài)變形逐漸變成錐形.其他45.2%由第1高頻逐漸過(guò)渡到第2高頻振動(dòng)，未能形成錐形穩(wěn)定.第5臨界風(fēng)速(由錐形突變?yōu)榈?高頻振動(dòng))存在的概率為30.1%.加上45.2%由第1到第2高頻逐漸過(guò)渡的部分，第5臨界風(fēng)速以后葉片高頻振動(dòng)的占75.3%，其余24.7%的葉片保持錐形穩(wěn)定至實(shí)驗(yàn)最高風(fēng)速.

為了了解臨界風(fēng)速的分布情況，按照如下公式算出某個(gè)臨界值V處的概率密度分布

其中下標(biāo)j代表第j個(gè)臨界風(fēng)速，Nj為實(shí)驗(yàn)中存在的第j臨界風(fēng)速的總個(gè)數(shù)，?V為一個(gè)小的速度間隔，?nj代表位于區(qū)間[V-0.5?V,V+0.5?V)內(nèi)的第j臨界風(fēng)速的個(gè)數(shù).統(tǒng)計(jì)中實(shí)際采用的?V=1m/s.

圖6為葉片正面迎風(fēng)時(shí)各臨界風(fēng)速的概率密度分布.前兩個(gè)臨界風(fēng)速分布比較集中，后3個(gè)則比較分散.除了第4臨界風(fēng)速為雙峰外，其他均為單峰，接近于高斯分布.反面迎風(fēng)時(shí)也有類似的分布.

圖6 葉片正面迎風(fēng)時(shí)各臨界風(fēng)速的概率密度Fig.6 Probability densities of the critical wind speeds,with the front leaf surface facing wind

正面和反面迎風(fēng)時(shí)各臨界風(fēng)速的期望值如表3所示.可知除第5臨界風(fēng)速外，正面迎風(fēng)時(shí)各臨界風(fēng)速均比反面迎風(fēng)時(shí)小，這是自然狀態(tài)時(shí)葉片存在一定彎曲，正面迎風(fēng)比反面迎風(fēng)時(shí)鈍度大，所受氣動(dòng)阻力更大，葉柄彎曲變化更快，因而更早進(jìn)入振動(dòng)狀態(tài).

表3 正面F和反面B迎風(fēng)時(shí)各臨界風(fēng)速期望值Table 3 Expected values of each critical wind speed F-front surface facing wind,B-back surface facing wind

2.2 樹葉尾流旋渦脫落

流體以一定速度流過(guò)鈍體時(shí)，會(huì)在鈍體兩側(cè)交替地產(chǎn)生旋渦脫落，使兩側(cè)的流體壓力分布產(chǎn)生周期性變化，從而形成一個(gè)橫向交變力作用于鈍體，引起鈍體振動(dòng)[27-29].當(dāng)物體展向尺度一定時(shí)，改變其橫向尺度，會(huì)同時(shí)產(chǎn)生兩種相反的作用.一方面，橫向尺度減小，會(huì)減小局部橫向交變力的幅值，從而使作用于整個(gè)物體的合力幅值減小.另一方面，橫向尺度減小，物體的展向尺度與橫向尺度之比增大，流動(dòng)的二維性增強(qiáng)，各展向位置旋渦脫落的頻率和相位的一致性增強(qiáng)，作用于物體的合力增大.

當(dāng)風(fēng)速較小時(shí)，樹葉葉片變形較小，樹葉尖銳的邊緣引起流動(dòng)分離，因此是鈍體繞流.風(fēng)速較小時(shí)，樹葉表面正對(duì)著來(lái)流，風(fēng)向角接近90°，橫向尺度最大.

如圖7，當(dāng)葉片反面迎風(fēng)時(shí)，隨著風(fēng)速增大，葉柄向下游彎曲，葉片向后上方抬起，兩側(cè)葉片向上翻卷，形成飛翼形.隨風(fēng)速增大，葉片主葉脈呈直線，葉片長(zhǎng)度不變，而由于葉片卷起，側(cè)向(垂直于紙面方向)迎風(fēng)尺度減小.葉片寬度較大的地方，卷起的程度較高，寬度較小的地方，卷起的程度較低，從而使葉片的迎風(fēng)寬度趨于均勻，流動(dòng)的二維性增強(qiáng).

圖7 反面迎風(fēng)時(shí)樹葉的形狀、方位及尾流變化側(cè)圖Fig.7 Side view of the shape,orientation and wake of the leaf with its back surface fcaing wind

圖7 反面迎風(fēng)時(shí)樹葉的形狀、方位及尾流變化側(cè)圖(續(xù))Fig.7 Side view of the shape,orientation and wake of the leaf with its back surface fcaing wind(continued)

隨著風(fēng)速改變，樹葉形狀和葉片角發(fā)生變化，但樹葉尾流中總是存在旋渦脫落現(xiàn)象.從側(cè)視圖7可以看到樹葉下側(cè)存在旋渦.葉片左右兩側(cè)的旋渦從下游往上游看會(huì)更清楚.圖8為豎直固定桿下游40cm處橫截面上的時(shí)均橫向流動(dòng)圖.橫向流動(dòng)中存在兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的渦，是葉片兩側(cè)旋渦脫落在下游橫向流動(dòng)的反映.根據(jù)Roshko[27]，物體下游旋渦的尺度與物體側(cè)向平均迎風(fēng)尺度成正比.

2.3 樹葉氣動(dòng)阻力

根據(jù)天平測(cè)量的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)可以得到樹葉時(shí)均氣動(dòng)阻力系數(shù)Cd隨葉片雷諾數(shù)的變化.這里，阻力系數(shù)和雷諾數(shù)的定義分別為

圖8 在葉柄固定棒下游0.4m處測(cè)量的樹葉尾流的橫向流動(dòng)圖案Fig.8 Upstream view of the transverse fl w 0.4m downstream of the leaf

其中，F(xiàn)x為樹葉流向時(shí)均力，ρ為空氣密度，V∞為風(fēng)速，L為葉片長(zhǎng)度，S為葉片面積，ν為空氣運(yùn)動(dòng)黏度.

圖9為葉片正面迎風(fēng)時(shí)，7片不同尺度樹葉的阻力隨雷諾數(shù)的變化情況.可知當(dāng)雷諾數(shù)(風(fēng)速)較小時(shí)，由于葉片形狀等的差異，各葉片阻力系數(shù)之間有一些差別.當(dāng)雷諾數(shù)(風(fēng)速)較大時(shí)，葉片都卷成錐形，阻力系數(shù)均趨近于同一個(gè)常數(shù)，約為0.1.值得注意的是，樹葉振動(dòng)的發(fā)生，能使脈動(dòng)阻力系數(shù)增大，但葉片時(shí)均阻力系數(shù)沒有明顯變化.

圖9 正面迎風(fēng)時(shí)各葉片阻力系數(shù)隨雷諾數(shù)的變化Fig.9 Drag coefficients of leaves vs Reynolds number,with the front surface facing wind

2.4 葉柄的靜態(tài)彎曲

在時(shí)均氣動(dòng)力作用下，葉柄發(fā)生彎曲變形.如圖3(b)所示,葉片所受的氣動(dòng)力可分為流向力Fx，垂直向上的升力Fz，以及側(cè)向力Fy.忽略葉片質(zhì)量力時(shí)，作用于葉柄自由端的力，除Fx，F(xiàn)y，和Fz外，還有力矩Mx,My和Mz.其中時(shí)均力Fx及其對(duì)y軸的力矩My較大，其他力和力矩的時(shí)均值都較小，因此葉柄主要在xz平面發(fā)生彎曲，而在y方向的彎曲較小，可忽略不計(jì).

葉柄可簡(jiǎn)化為懸臂梁，一端固定于墻壁，另一端自由且承受集中力和力矩.靜態(tài)變形時(shí)，葉柄在xz平面上某點(diǎn)P的彎轉(zhuǎn)角(葉柄切線與豎直線的夾角)?(圖3(b))由如下方程描述

其中，?為葉柄總長(zhǎng)，ξ為葉柄上點(diǎn)P的無(wú)量綱曲線坐標(biāo)，即P點(diǎn)到固定端的曲線長(zhǎng)度占葉柄總長(zhǎng)度的比例；x,z為P點(diǎn)的無(wú)量綱直角坐標(biāo)值；xm,zm為葉柄末端(自由端)的無(wú)量綱直角坐標(biāo)值.Fx和Fz分別為作用于葉片的氣動(dòng)力在x和z方向的分力.I為葉柄橫截面慣性矩.E為葉柄彈性模量，其測(cè)量研究見文獻(xiàn)[30].Mym為Fx和Fz對(duì)葉柄末端的時(shí)均力矩.實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，葉片在靜態(tài)變形時(shí)主葉脈近似保持直線，不發(fā)生彎曲，葉柄自由端的彎轉(zhuǎn)角?m與葉片角θ之間的關(guān)系為

根據(jù)天平3個(gè)分力和3個(gè)力矩的測(cè)量結(jié)果，可知葉片氣動(dòng)力的作用點(diǎn)接近于葉片中間長(zhǎng)度位置，即有

其中，L為葉片長(zhǎng)度.將式(1)兩端對(duì)ξ求導(dǎo)，根據(jù)x和z對(duì)ξ的導(dǎo)數(shù)與?的關(guān)系，得到

根據(jù)測(cè)量的氣動(dòng)力，由式(5)可求出A1和A2,然后求解式(4)求出葉柄末端傾角?m，再根據(jù)式(2)求出葉片角θ.

圖10為計(jì)算的不同尺寸樹葉的葉片角隨風(fēng)速的變化.盡管個(gè)體之間有一定差異，但各葉片角的變化趨勢(shì)一致：當(dāng)風(fēng)速很小時(shí)，葉片角接近于90°(葉片接近于豎直).隨著風(fēng)速增大，葉片角迅速減小.當(dāng)風(fēng)速達(dá)到5m/s時(shí)，各葉片角都減小了一半以上.風(fēng)速進(jìn)一步增大時(shí)，葉片角變化率減小.風(fēng)速大于15m/s后，葉片角趨近于0°，葉片卷成堆狀，主葉脈處于水平位置，阻力系數(shù)減至最低.

圖10 不同樹葉的葉片角隨風(fēng)速的變化,其中葉柄彈性模量E=600MPa,葉柄長(zhǎng)度和直徑因葉柄的不同而變化Fig.10 Change of leaf angle with wind speed,where the petiole elastic modulusE=600MPa,the petiole length and diameter vary with the di ff erence of petiole

由式(4)求出葉片彎角?后，根據(jù)葉柄幾何關(guān)系可得到葉柄曲線.圖11為典型的葉柄曲線隨風(fēng)速的變化情況.當(dāng)風(fēng)速在0～4.86m/s之間時(shí)，葉柄彎曲變化最為迅速.風(fēng)速大于4.86m/s后，葉柄彎曲變化較緩，尤其是風(fēng)速在4.86～10.38m/s之間和大于15.86m/s以后，變化很小.當(dāng)風(fēng)速大于15.86m/s時(shí)，葉柄末端趨近于水平位置.

3 結(jié)論

圖11 葉柄彎曲程度隨風(fēng)速的變化,其中葉柄彈性模量E=600MPa,葉柄長(zhǎng)?=0.12m,葉柄平均直徑d=1.8mmFig.11 Change of a petiole bending with wind speeds,where the petiole elastic modulusE=600MPa,the petiole length ?=0.12m,and the averaged petiole diameterd=1.8mm

葉柄端部固支于剛性棒上，使葉柄和葉片自然垂掛于風(fēng)洞中，分葉片正面迎風(fēng)和反面迎風(fēng)兩種情況，分別進(jìn)行氣動(dòng)測(cè)試.測(cè)試的風(fēng)速范圍 0～27m/s內(nèi)，發(fā)現(xiàn)了低頻左右擺動(dòng)、第一和第二高頻振動(dòng)等3種樹葉振動(dòng)狀態(tài)，以及飛翼和錐形兩種樹葉靜止?fàn)顟B(tài)，同時(shí)找出了相應(yīng)的5個(gè)臨界風(fēng)速.對(duì)于很多測(cè)試葉片來(lái)說(shuō)，這些狀態(tài)并不是全部出現(xiàn)，而是其中幾種出現(xiàn)，另外幾種并不出現(xiàn)，而且對(duì)同一片樹葉，正面迎風(fēng)與反面迎風(fēng)時(shí)出現(xiàn)的狀態(tài)也不盡相同.通過(guò)對(duì)70余片隨機(jī)采集的樹葉測(cè)試結(jié)果的統(tǒng)計(jì)，得到了各振動(dòng)和靜止?fàn)顟B(tài)存在的概率，以及各臨界風(fēng)速的期望值.葉片正面和反面迎風(fēng)時(shí)各狀態(tài)存在的概率和各臨界風(fēng)速值作了對(duì)比.煙線流動(dòng)顯示和PIV測(cè)量發(fā)現(xiàn)，不同風(fēng)速下樹葉尾流中均存在旋渦脫落現(xiàn)象；通過(guò)攝像觀察知道，葉片的3種振動(dòng)形式都伴隨著葉柄的振動(dòng).將葉柄按照懸臂梁模型處理，將葉片氣動(dòng)力簡(jiǎn)化為懸臂梁末端受集中載荷和彎矩.根據(jù)測(cè)量的氣動(dòng)力結(jié)果計(jì)算靜態(tài)變形時(shí)葉片角和葉柄彎曲形狀隨風(fēng)速的變化，發(fā)現(xiàn)當(dāng)風(fēng)速?gòu)?升高到5m/s時(shí)，葉柄彎曲程度變化很大，再增大風(fēng)速，彎曲變化趨于緩慢.

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THE DEFORMATION AND VIBRATION OF TULIP LEAVES IN WIND1)

Shao Chuanping2)Zhu Yuanyuan
(Institute of Fluid Masurement and Simulation，China Jiliang University，Hangzhou310018，China)

The study of aerodynamic and solid-fluicoupling characteristics of tree leaves is of significanc in tree protection,new power generation technology and solar panel design.Vogel firs observed that a tree leaf could reconfigur itself at high winds to avoid damage.Vogel’s leaf was freely supported at its petiole end,which is quite di ff erent from the natural way of petiole-branch connection.In our study,the leaf was clamped at the end of its petiole.The lamina was vertically hanging,with its front or back surface facing wind.Two types of lamina steady status,i.e,wing steady and conic steady,three types of lamina vibration,i.e,low frequency sway,1st and 2nd high frequency vibration,and 5 critical wind speeds were observed in the range of wind speed 0～27m/s.The probability of existance of every status and the expected value of each critical wind speed were obtained by statistics of the results of more than 70 leaves.The phenomenon of vortex shedding from a deformed leaf was found by fl w visualization.Wind tunnel balance measurement revealed that the leaf drag coefficient decreased with the increase of laminaRe,and finall reached 0.1.A cantilevered beam model was introduced,and the measured aerodynamic force on the lamina was used to simulate the static bending curve of a petiole.Results showed that,the downstream bending increased rapidly with the increase of wind speed from 0 to 5m/s, but it slowed down from 5m/s to higher ones.

V211.74

A

10.6052/0459-1879-16-179

2016–06–30收稿，2016–12–05錄用,2016–12–27網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172286).

2)邵傳平，教授，主要研究方向：流動(dòng)控制，植物力學(xué).E-mail:shaocp@cjlu.edu.cn

邵傳平,朱園園.鵝掌楸樹葉在風(fēng)中的變形與振動(dòng).力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(2):431-440

Shao Chuanping,Zhu Yuanyuan.The deformation and vibration of tulip leaves in wind.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):431-440