劉海波 姜 潮鄭 靜 韋新鵬 黃志亮

(湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，特種裝備先進(jìn)設(shè)計(jì)技術(shù)與仿真教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙410082)

含概率與區(qū)間混合不確定性的系統(tǒng)可靠性分析方法1)

劉海波 姜 潮2)鄭 靜 韋新鵬 黃志亮

(湖南大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，特種裝備先進(jìn)設(shè)計(jì)技術(shù)與仿真教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙410082)

系統(tǒng)可靠性問題中通常存在大量的不確定參數(shù)，傳統(tǒng)方法一般是基于概率模型對系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析，但是實(shí)際工程中由于數(shù)據(jù)缺乏或試驗(yàn)條件的限制往往難以得到參數(shù)的精確概率分布.本文將結(jié)構(gòu)體系一部分樣本信息充足的不確定變量用隨機(jī)變量進(jìn)行描述，而另一部分樣本缺乏的用區(qū)間表示，并提出了一種新的含概率與區(qū)間混合不確定性的系統(tǒng)可靠性分析方法.首先，基于一個(gè)高效求解方法獲得單失效模式下結(jié)構(gòu)的最小可靠度指標(biāo)；再針對多失效模式下含概率與區(qū)間混合不確定性問題建立了系統(tǒng)可靠性分析模型；考慮各失效模式之間的相關(guān)性，通過線性相關(guān)度計(jì)算方法求得相關(guān)系數(shù)矩陣；最后提出了串聯(lián)體系和并聯(lián)體系可靠度求解方法.3個(gè)數(shù)值算例表明，該方法可以實(shí)現(xiàn)含概率與區(qū)間混合的多個(gè)非線性失效模式下系統(tǒng)可靠度的計(jì)算.通過對比傳統(tǒng)的概率可靠性分析方法，本文方法只需要少量的不確定信息便可確保系統(tǒng)更加安全，更適合復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性的分析和設(shè)計(jì).

系統(tǒng)可靠性,概率與區(qū)間混合不確定性,最大失效概率,失效模式相關(guān)性

引言

工程實(shí)際中經(jīng)常存在著與材料特性，邊界條件和載荷等有關(guān)的各種不確定性[1]，概率模型是目前工程中處理不確定性的最重要方法.基于傳統(tǒng)概率模型的可靠性分析方法應(yīng)用廣泛，其中包括一次二階矩[2-5]，二次二階矩[6-7]，蒙特卡洛仿真[8]，基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì)[9-10]等.但概率模型對測試數(shù)據(jù)的強(qiáng)依賴性和實(shí)際工程中可得數(shù)據(jù)的缺乏，又在一定程度上限制了它在實(shí)際工程中的應(yīng)用，近年來發(fā)展出的非概率的區(qū)間分析方法，可一定程度上解決概率方法對大樣本量的依賴性問題，得到工程人員的關(guān)注.Ben-Haim等[11-13]認(rèn)為當(dāng)掌握的數(shù)據(jù)信息較少而不足以精確定義概率模型時(shí)，宜采用區(qū)間集合模型描述不確定性.Rao等[14]基于輸入不確定參數(shù)的區(qū)間度量，通過求解區(qū)間線性方程組對不確定結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析.Qiu和Elishako ff[15]基于區(qū)間模型，采用區(qū)間算法和擾動技術(shù)成功地對桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化.郭書祥等[16]通過對不確定參數(shù)的區(qū)間描述，提出了一種非概率可靠性的度量體系及分析方法.王曉軍等[17]基于不確定性的區(qū)間集合模型描述,研究了非概率集合模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析.

在實(shí)際問題中，結(jié)構(gòu)的某些不確定性參數(shù)在實(shí)踐中已累積有大量的樣本，但另外一些不確定性參數(shù)由于測試難、成本高等問題只能獲得少量的樣本.對于該類問題，采用單一的概率或者區(qū)間不確定模型則難以對問題進(jìn)行有效分析.因此，研究概率與區(qū)間混合不確定性模型及其可靠性分析具有重要的工程意義.對于概率與區(qū)間混合不確定性模型的研究目前國際上已有一些工作出現(xiàn).E1ishako ff等[18]研究了概率模型和凸模型的混合不確定性問題.郭書祥等[19]結(jié)合概率和非概率模型,通過兩級功能方程的逐次建立,給出結(jié)構(gòu)可靠性的概率度量.尼早等[20]建立了概率--模糊--區(qū)間的混合可靠性模型，定義了結(jié)構(gòu)的混合可靠度.Du等[21]在概率變量和區(qū)間變量并存的條件下,提出了一種基于可靠性的優(yōu)化方法，隨后Du[22]又針對雙層嵌套優(yōu)化問題，構(gòu)造了一種概率區(qū)間高效可靠性分析方法.程遠(yuǎn)勝等[23]提出了結(jié)構(gòu)穩(wěn)健設(shè)計(jì)的混合可靠性模型.Luo等[24]通過定義一個(gè)最小嵌套優(yōu)化問題得到的可靠性指標(biāo)來度量結(jié)構(gòu)的安全性.Kang等[25]通過對不確定參數(shù)的概率和凸集混合建模，提出了一種基于可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù).Jiang等[26-29]通過結(jié)合概率模型和非概率區(qū)間模型，提出了多種高效的混合可靠性分析方法.盡管目前已有一系列概率與區(qū)間混合模型及可靠性分析方法被提出來，但是這些方法大都是針對單一失效模式問題.但是一般情況下，結(jié)構(gòu)的失效模式并不止一個(gè)，即存在系統(tǒng)可靠性問題[30].體系可靠度作為工程結(jié)構(gòu)整體安全性的重要度量，是結(jié)構(gòu)可靠性研究領(lǐng)域的重點(diǎn)和難點(diǎn).對于存在概率與區(qū)間混合不確定性的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性分析目前已經(jīng)引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注.Adduri等[31]基于近似的聯(lián)合功能函數(shù)，提出了存在區(qū)間變量的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度界限的分析方法.Qiu等[32]結(jié)合經(jīng)典概率理論和區(qū)間算法，研究了概率區(qū)間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性問題.Wang等[33]基于區(qū)間可靠性模型和概率運(yùn)算，提出了概率區(qū)間混合系統(tǒng)可靠性分析方法.盡管目前已有一些概率與區(qū)間混合系統(tǒng)可靠性求解方法，這些方法大多是針對簡單的線性失效模式問題的.但在實(shí)際工程問題中，失效模式通常是非線性的，甚至很多時(shí)候都是通過有限元(FEM)等數(shù)值分析方法獲得，故針對實(shí)際工程問題發(fā)展和建立能處理非線性失效模式的概率與區(qū)間系統(tǒng)可靠性分析方法具有較為重要的工程意義.

本文針對概率與區(qū)間混合不確定性問題，構(gòu)建了一種系統(tǒng)可靠性分析方法，可以實(shí)現(xiàn)多個(gè)非線性失效模式下結(jié)構(gòu)可靠度區(qū)間的計(jì)算.首先基于一個(gè)高效求解方法獲得單失效模式下結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)；再針對多失效模式下含概率與區(qū)間混合不確定性問題建立了系統(tǒng)可靠性分析模型；考慮各失效模式之間的相關(guān)性，通過線性相關(guān)度計(jì)算方法求得失效模式間的相關(guān)系數(shù)矩陣；最后提出了串聯(lián)和并聯(lián)體系可靠度求解方法，并由多維高斯分布函數(shù)獲得結(jié)構(gòu)體系的最大失效概率.

1 單失效模式下的概率與區(qū)間混合可靠性分析

如果結(jié)構(gòu)中既存在概率變量又存在區(qū)間變量，則結(jié)構(gòu)功能函數(shù)可表示為

式中X=(X1,X2,···,Xn)T為n個(gè)獨(dú)立概率變量組成的隨機(jī)向量；Y=(Y1,Y2,···,Ym)T為m個(gè)獨(dú)立區(qū)間變量組成的區(qū)間向量.如使用一次二階矩[2-4]進(jìn)行分析，首先要將隨機(jī)向量X標(biāo)準(zhǔn)化，即X通過概率變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量U

式中T為概率轉(zhuǎn)換函數(shù).在混合模型中，由于存在區(qū)間變量，原空間中的極限狀態(tài)方程映射到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間后構(gòu)成的極限狀態(tài)曲面不再是單一的曲面，而是由兩個(gè)邊界面和構(gòu)成的極限狀態(tài)帶[22]，如圖1所示.

圖1 極限狀態(tài)曲面邊界Fig.1 The bound of limit-state surfaces

因此，曲面帶區(qū)域的兩條邊界對應(yīng)的可靠度指標(biāo)β不再是確定值，而是一波動區(qū)間

式中βL與βR分別表示可靠度指標(biāo)的最小值與最大值.基于一次二階矩方法，可構(gòu)造如下兩個(gè)優(yōu)化問題[21-22]，得到上述極限狀態(tài)帶的可靠度指標(biāo)區(qū)間

式(4)和式(5)為雙層嵌套優(yōu)化問題，為提高計(jì)算效率，可采用文獻(xiàn)[21-22]提出的解耦方法，將區(qū)間分析嵌入到最可能失效點(diǎn)的尋找過程中，每次迭代過程中依次進(jìn)行概率分析和區(qū)間分析，經(jīng)過多次迭代最終使內(nèi)、外層同時(shí)達(dá)到穩(wěn)定解.

下面以求解βL為例，給出具體的計(jì)算流程.假設(shè)在第k步迭代過程中得到Uk和Yk，在下一步迭代過程中，先固定區(qū)間向量Yk，再利用改進(jìn)的HL-RF迭代法，即iHL-RF[34-35]求得Uk+1

獲得Uk+1后，再通過求解以下優(yōu)化問題得到Y(jié)k+1

2 多失效模式下的概率與區(qū)間混合可靠性分析

第1節(jié)中的結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法，是針對單一失效模式而言的，即功能函數(shù)只有一個(gè).但是很多情況下，結(jié)構(gòu)的失效模式并不止一個(gè)，如壓力容器的失效，可能同時(shí)存在屈服、疲勞和斷裂等失效模式；各失效模式的功能函數(shù)由于有相同的載荷和幾何參數(shù)等，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)各失效模式間具有相關(guān)性[30].一般情況下，結(jié)構(gòu)體系可靠性模型根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可分為三類[31]：串聯(lián)體系、并聯(lián)體系和混聯(lián)體系模型，如圖2所示.

圖2 3類體系可靠性模型Fig.2 Three kinds of system reliability models

為后續(xù)推導(dǎo)方便，圖2所示的串聯(lián)體系、并聯(lián)體系和混聯(lián)體系的失效概率可統(tǒng)一記為

式中,Pr{}代表概率,a和b分別為串聯(lián)單元數(shù)目和并聯(lián)單元數(shù)目，當(dāng)a=b=1時(shí)，式(9)表示單失效模式失效概率；當(dāng)b=1,a＞1時(shí)，式(9)表示圖2(a)串聯(lián)體系失效概率；當(dāng)a=1,b＞1時(shí)，式(9)表示圖2(b)并聯(lián)體系失效概率；當(dāng)a＞1,b＞1時(shí)，式(9)表示混聯(lián)體系失效概率.串聯(lián)體系和并聯(lián)體系可以被用來建立任何體系的兩個(gè)基本體系，如實(shí)際的超靜定結(jié)構(gòu)通常有多個(gè)失效模式，每個(gè)失效模式可簡化成一個(gè)并聯(lián)體系，而多個(gè)失效模式又可簡化成串聯(lián)體系，這就構(gòu)成了混聯(lián)結(jié)構(gòu)體系.因此在混聯(lián)體系中，一般可將一個(gè)并聯(lián)體系直接作為一個(gè)失效模式看待，每一個(gè)失效模式都可從力學(xué)上建立與其對應(yīng)的功能函數(shù)，從而可將并聯(lián)--串聯(lián)體系簡化為串聯(lián)體系計(jì)算[36]，這里不再具體闡述.

計(jì)算系統(tǒng)失效概率的主要困難在于需要考慮概率變量和區(qū)間變量各失效模式之間的相關(guān)性.下面，首先進(jìn)行多失效模式的相關(guān)性分析，再具體對串聯(lián)體系和并聯(lián)體系失效概率進(jìn)行求解.

2.1 多失效模式間的相關(guān)性分析

設(shè)存在概率與區(qū)間混合不確定性的結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)有K個(gè)失效模式，每一個(gè)失效模式對應(yīng)一個(gè)功能函數(shù)

結(jié)合式(2)，將式(10)進(jìn)行概率變換

為處理功能函數(shù)的相關(guān)性，可在功能函數(shù)Zi的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)(U?,Y?)處固定區(qū)間變量Y?，將式(11)對隨機(jī)變量U展開成一階Taylor級數(shù)

由式(13)可近似求得第i個(gè)失效模式和第j個(gè)失效模式功能函數(shù)間的相關(guān)系數(shù)[36]

2.2 串聯(lián)系統(tǒng)可靠性求解

考慮具有a個(gè)失效模式的串聯(lián)體系.由于存在區(qū)間變量，原空間中的極限狀態(tài)方程映射到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間后構(gòu)成的極限狀態(tài)面不再是唯一曲面而是一個(gè)曲面“帶”，如圖3(a)所示.

圖3 系統(tǒng)極限狀態(tài)曲面邊界Fig.3 Bound limit-state surfaces of structural system

因而串聯(lián)系統(tǒng)失效概率Pf為一區(qū)間，其邊界如下

對串聯(lián)體系進(jìn)行可靠性分析，并計(jì)算串聯(lián)體系最大失效概率，可將式(16b)變?yōu)?/p>

根據(jù)串聯(lián)體系最大失效概率計(jì)算方法[37]，式(18)可變?yōu)?/p>

其中Φa(·)為a維標(biāo)準(zhǔn)高斯分布函數(shù)，為功能函數(shù)G(U,Y),i=1,2,···,a對應(yīng)的最小可靠度指標(biāo)組成的向量. ρ為Gi(U,Y),i=1,2,···,a的相關(guān)系數(shù)矩陣，通過式(14)便可得到式(19)中ρ的每一個(gè)元素.通過式(19)中的多維高斯分布函數(shù)可計(jì)算出串聯(lián)系統(tǒng)最大失效概率.多維高斯分布函數(shù)的計(jì)算可參考文獻(xiàn)[38-42]，在商業(yè)軟件Matlab中也有相應(yīng)的庫函數(shù).

2.3 并聯(lián)系統(tǒng)可靠性求解

考慮具有b個(gè)失效模式的并聯(lián)體系.由于存在區(qū)間變量，原空間中的極限狀態(tài)方程映射到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間后構(gòu)成的極限狀態(tài)面如圖3(b)所示，則并聯(lián)系統(tǒng)極限狀態(tài)帶的下邊界和上邊界可表示為

因而并聯(lián)系統(tǒng)失效概率Pf也為一個(gè)區(qū)間，其邊界如下

對并聯(lián)體系進(jìn)行可靠性分析，并計(jì)算并聯(lián)體系最大失效概率，將式(21b)變?yōu)?/p>

記上式中的Lk＞0為事件Dk，則式(22)可變?yōu)?/p>

根據(jù)并聯(lián)事件概率計(jì)算公式[43]，將式(23)變?yōu)?/p>

其中Φl(·)為l維高斯累積分布函數(shù).利用式(26)可計(jì)算出式(24)等號右邊的所有概率項(xiàng)，最終可獲得并聯(lián)結(jié)構(gòu)體系最大失效概率

3 數(shù)值算例

本節(jié)將本文方法應(yīng)用于3個(gè)數(shù)值算例.第1個(gè)為具有雙失效模式的并聯(lián)體系算例，第2為具有雙失效模式的串聯(lián)體系算例，第3個(gè)為實(shí)際工程應(yīng)用算例.由于本文得到的是系統(tǒng)失效概率的區(qū)間界限，因此本節(jié)從可靠性分析與設(shè)計(jì)的角度對比傳統(tǒng)概率可靠性[36]方法，進(jìn)一步說明概率與區(qū)間混合可靠性分析方法的適用性.

3.1 兩單元Daniels系統(tǒng)算例

如圖4所示為一并聯(lián)的兩單元Daniels系統(tǒng)，該算例在文獻(xiàn)[44]的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來.單元1的截面長寬分別為c1和d1，單元2的截面長寬分別為c2和d2，P為系統(tǒng)所受載荷，當(dāng)兩單元均屈服的時(shí)候，結(jié)構(gòu)失效.兩單元對應(yīng)的功能函數(shù)分別表示為

其中σ1和σ2分別為單元1和單元2的屈服強(qiáng)度.式(27)和式(28)中的概率和區(qū)間變量參數(shù)如表1所示.表中，對于概率變量，參數(shù)1和參數(shù)2分別表示均值和標(biāo)準(zhǔn)差；對于區(qū)間變量，參數(shù)1和參數(shù)2分別表示下邊界和上邊界.

圖4 兩單元Daniels系統(tǒng)[44]Fig.4 A two-component Daniels system[44]

表1 兩單元Daniels系統(tǒng)不確定變量分布類型和參數(shù)Table 1 Distribution types and parameter of uncertain variables of the two-component Daniels system

考慮兩單元 Daniels并聯(lián)系統(tǒng)，對該問題進(jìn)行可靠性分析，計(jì)算所得結(jié)果如表2所示.為說明本文方法的有效性，這里亦給出了將區(qū)間變量P假設(shè)為均勻分布的傳統(tǒng)概率可靠性方法的計(jì)算結(jié)果；由表2可知，本文方法獲得的兩單元Daniels系統(tǒng)并聯(lián)體系最小可靠度指標(biāo) βL=1.391和最大失效概率為而傳統(tǒng)的概率可靠性方法計(jì)算的并聯(lián)系統(tǒng)可靠度指標(biāo)β=1.809和失效概率為Pf=0.0352；可看出基于概率可靠性方法得到的系統(tǒng)失效概率小于本文方法計(jì)算的最大失效概率，這會導(dǎo)致較大的分析誤差，并會對結(jié)構(gòu)體系的分析和設(shè)計(jì)帶來一定的風(fēng)險(xiǎn)，而本文方法計(jì)算的結(jié)果可確保結(jié)構(gòu)體系更加的安全.另外，通過對比蒙特卡羅計(jì)算結(jié)果，說明本文方法不僅能保證精度，還提高了計(jì)算效率.

表2 兩單元Daniels系統(tǒng)的可靠性分析結(jié)果Table 2 The reliability analysis results of the two-component Daniels system

3.2 懸壁梁算例

如圖5所示的懸臂梁，該算例在文獻(xiàn)[21]的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來.懸臂梁長度為L，橫截面寬度為t，高度為h，懸臂梁的頂端承受水平和垂直作用力分別為Px和Py.懸臂梁固定端處最大應(yīng)力不能超過屈服強(qiáng)度極限值S=370MPa，懸臂端處最大許用位移D0=25mm，懸臂梁彈性模量E=210GPa；考慮位移失效模式和應(yīng)力失效模式，功能函數(shù)可以分別表示為

將t,h和L處理成概率變量，Px和Py處理成區(qū)間變量，其分布類型和分布參數(shù)見表3.參數(shù)1和參數(shù)2的含義與表1相同.

圖5 懸臂梁[21]Fig.5 A cantilever beam[21]

表3 懸臂梁的不確定變量分布類型和參數(shù)Table 3 Distribution types and parameter of uncertain variables of the cantilever beam

考慮懸臂梁的雙失效模式串聯(lián)體系，對該問題進(jìn)行可靠性分析，計(jì)算所得結(jié)果如表4所示.為說明本文方法的有效性，這里仍然給出了將區(qū)間變量Px和Py假設(shè)為均勻分布的傳統(tǒng)概率可靠性方法的計(jì)算結(jié)果；由表4可知，本文方法獲得的懸臂梁雙失效模式串聯(lián)體系的最小可靠度指標(biāo)βL=1.853和最大失效概率為而傳統(tǒng)的概率可靠性方法計(jì)算的串聯(lián)系統(tǒng)可靠度指標(biāo)β=2.617和失效概率為Pf=0.0044；同樣可看出基于概率可靠性方法得到的串聯(lián)系統(tǒng)失效概率小于本文方法計(jì)算的最大失效概率，這會導(dǎo)致較大的分析誤差，而本文方法計(jì)算的結(jié)果比概率可靠性方法更加精確，可確保結(jié)構(gòu)系統(tǒng)更加安全.

表4 懸臂梁的系統(tǒng)可靠性分析結(jié)果Table 4 The system reliability analysis results of the cantilever beam

3.3 車輛耐撞性分析

考慮一個(gè)在文獻(xiàn)[45]基礎(chǔ)上修改得到的車輛耐撞性問題，該算例結(jié)合車輛高速和低速耐撞性的特點(diǎn)，綜合考慮相關(guān)部件，進(jìn)行整車體系可靠性分析.如圖6所示，以兩種情況下的車輛耐撞性作為可靠性分析對象，其中包括15km/h低速偏置碰撞和56km/h的高速正面碰撞.低速碰撞時(shí)，因?yàn)槌藛T安全沒有受到威脅，所以要求保護(hù)車輛主體；即前縱梁變形應(yīng)盡可能減小，以降低車輛碰撞損傷修復(fù)所需要的費(fèi)用.由此，低速碰撞中前縱梁內(nèi)、外板吸收總能量E應(yīng)小于額定值E0=500J.高速碰撞時(shí)，主要考慮乘員的安全，要求最大程度減小乘員的傷害并保證乘員的安全空間.選取發(fā)動機(jī)上下兩個(gè)標(biāo)記點(diǎn)的侵入量IH和IL作為衡量車身安全性的指標(biāo)，分別應(yīng)小于給定的額定值變量X1～X3分別表示前保險(xiǎn)杠厚度和吸能盒內(nèi)、外板厚度；變量Y1,Y2分別表示前縱梁內(nèi)、外板厚度，變量X1～X3均為正態(tài)隨機(jī)變量，Y1,Y2因試驗(yàn)樣本缺乏，僅能給定區(qū)間，不確定變量具體信息如表5所列.表中，參數(shù)1和2的含義與表1相同.對于低速碰撞和高速碰撞兩種情況分別建立數(shù)值仿真模型，2個(gè)模型采用同一車輛的有限元模型而僅對碰撞壁障做出相應(yīng)修改：如圖7所示，該車輛有限元模型中含有755個(gè)部件，998220個(gè)節(jié)點(diǎn)，977742個(gè)單元.為提升計(jì)算效率，對2個(gè)仿真模型分別采樣65次，并逐一構(gòu)建功能函數(shù)的二階響應(yīng)面，如表6所列.

圖6 汽車耐撞問題試驗(yàn)[45]Fig.6 The experiment of the vehicle crashworthiness problem[45]

表5 車輛耐撞問題的不確定變量分布類型和參數(shù)Table 5 Distribution types and parameter of uncertain variables of the vehicle crashworthiness problem

圖7 碰撞試驗(yàn)的有限元模型[45]Fig.7 FEMs for the vehicle crashworthiness problem[45]

表6 車輛耐撞問題的3個(gè)功能函數(shù)響應(yīng)面Table 6 Response surface for the three performance functions in the vehicle crashworthiness problem

考慮低速偏置碰撞和高速正面碰撞的3個(gè)失效模式串聯(lián)體系的車輛耐撞性問題，對該問題進(jìn)行可靠性分析，計(jì)算所得結(jié)果如表7所示.為說明本文方法的有效性，這里仍然給出了將區(qū)間變量Y1和Y2假設(shè)為均勻分布的傳統(tǒng)概率可靠性方法的計(jì)算結(jié)果；由表4可知，本文方法獲得車輛耐撞的3個(gè)失效模式串聯(lián)體系的最小可靠度指標(biāo) βL=1.364和最大失效概率為而傳統(tǒng)的概率可靠性方法計(jì)算的可靠度指標(biāo)β=2.202和失效概率為Pf=0.0138；可看出本文方法計(jì)算的系統(tǒng)最大失效概率將近為概率可靠性方法結(jié)果的8倍，說明基于概率可靠性方法得到的串聯(lián)系統(tǒng)失效概率小于實(shí)際的最大失效概率，這會導(dǎo)致較大的分析誤差，而本文方法計(jì)算的結(jié)果比概率可靠性方法更加的精確.

表7 車輛耐撞問題的系統(tǒng)可靠性分析結(jié)果Table 7 The system reliability analysis results of the vehicle crashworthiness problem

4 結(jié)論

本文針對既存在概率變量又存在區(qū)間變量的結(jié)構(gòu)體系問題，提出了一種新的可靠性分析方法.首先，基于一個(gè)高效求解方法獲得單失效模式下結(jié)構(gòu)的最小可靠度指標(biāo)；再給出了含概率與區(qū)間混合不確定性的系統(tǒng)模型；考慮系統(tǒng)各失效模式之間的相關(guān)性，通過在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處固定區(qū)間變量并結(jié)合線性相關(guān)度計(jì)算方法求得這些功能函數(shù)的相關(guān)系數(shù)矩陣；最后提出了串聯(lián)體系和并聯(lián)體系可靠度求解方法，并通過計(jì)算多維高斯分布函數(shù)獲得結(jié)構(gòu)體系的最大失效概率.從可靠性分析與設(shè)計(jì)的角度對比傳統(tǒng)概率可靠性方法，3個(gè)數(shù)值算例表明本文方法計(jì)算的結(jié)果比概率可靠性方法要更精確，可確保結(jié)構(gòu)系統(tǒng)更加的安全；可見對于存在樣本信息缺乏的結(jié)構(gòu)體系，考慮含概率與區(qū)間混合不確定性的系統(tǒng)模型更適合體系可靠性的分析與設(shè)計(jì).

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A SYSTEM RELIABILITY ANALYSIS METHOD FOR STRUCTURES WITH PROBABILITY AND INTERVAL MIXED UNCERTAINTY1)

Liu Haibo Jiang Chao2)Zheng Jing Wei Xinpeng Huang Zhiliang
(Key Laboratory of Advanced Design and Simulation Technology for Special Equiqments Ministry of Education，College of Mechanical and Vehicle Engineering，Hunan University，Changsha410082，China)

There are a large number of inherently uncertain parameters in the problem of system reliability.Traditional system reliability analysis methods are usually based on the probability model assumption.Probability distribution function of uncertain parameters can be easily obtained with sufficient samples,but in practical engineering problems,it is often difficult to get the precise probability distribution function with limited data or test conditions.In this paper,the uncertain variables of the system based on sufficient information are taken as the random variables,while others with limited information can only be given variation intervals.This paper proposes a new system reliability analysis method for structures with probability and interval mixed uncertainty.Firstly,the minimum reliability index of each failure mode is obtained based on an efficient solution method.Then the system reliability model under multiple failure modes with probability and interval mixed uncertainty is provided.Considering the dependence between di ff erent failure modes of systems,a correlation coefficient matrix is obtained by the linear correlation calculated method.Finally,the maximum failure probabilities are calculated for series and parallel system.Three numerical examples show that the present methodcan e ff ectively deal with the system reliability problems of multiple nonlinear failure modes with probability and interval mixed uncertainty.Compared to the traditional probabilistic reliability analysis method,the presented method can ensure the security of system well and it only needs less uncertain information,and hence it seems suitable for reliability analysis and design of many complex engineering structures or systems.

system reliability,probability and interval mixed uncertainty,maximum failure probability,dependence of failure modes

TB114.3

A

10.6052/0459-1879-16-294

2016–09–09收稿，2016–11–21錄用,2016–11–29網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目(51490662)、湖南省杰出青年基金(14JJ1016)和霍英東基金(131005)資助項(xiàng)目.

2)姜潮，教授，主要研究方向：現(xiàn)代設(shè)計(jì)技術(shù)，機(jī)械可靠性.E-mail：jiangc@hnu.edu.cn

劉海波,姜潮,鄭靜,韋新鵬,黃志亮.含概率與區(qū)間混合不確定性的系統(tǒng)可靠性分析方法.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(2):456-466

Liu Haibo,Jiang Chao,Zheng Jing,Wei Xinpeng,Huang Zhiliang.A system reliability analysis method for structures with probability and interval mixed uncertainty.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):456-466