何 睦

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有效性研究*
——基于“不等關(guān)系”教學(xué)實(shí)錄

何 睦

當(dāng)前的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)現(xiàn)狀不完全令人滿意。針對現(xiàn)狀，基于對“不等關(guān)系”教學(xué)示范課的研究，進(jìn)一步指出有效的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的相關(guān)特征：立足理解，挖掘思想；教學(xué)示范，范式引領(lǐng)；顯隱結(jié)合，形式多樣；情境遷移，經(jīng)驗(yàn)提升。

數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)理解；數(shù)學(xué)遷移；數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略，是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)離不開數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)的教學(xué)更離不開數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。隨著新一輪數(shù)學(xué)課程改革的不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)已經(jīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。但相關(guān)研究表明［1］，當(dāng)前的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)還沒有完全落到實(shí)處，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)現(xiàn)狀也不完全令人滿意，具體表現(xiàn)為：教師對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識不足；學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解不透，獲得的數(shù)學(xué)思想方法形式單一，對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)僅僅是一種簡單的模仿，等等。

怎樣設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，什么是有效的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)理應(yīng)成為一個(gè)亟待開展的課題。因此，有必要通過對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的考察，探討在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)如何實(shí)施有效的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。一堂高效、有序的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)實(shí)例能為我們從事有效的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)指明方向。蘇州中學(xué)樊亞東老師的“不等關(guān)系”就是這樣的一節(jié)課。

一、課堂教學(xué)實(shí)錄

在簡單的自我介紹后，樊老師就開始組織“不等關(guān)系”的課堂教學(xué)了，他花了不到10分鐘的時(shí)間和學(xué)生一起分析了教材上的3個(gè)實(shí)際問題。正當(dāng)在場的所有聽課教師為樊老師“捏把汗”時(shí)，誰也沒有料到一堂成功、精彩、高效、有序的數(shù)學(xué)思想方法的課堂教學(xué)這才拉開序幕。以下僅展示后30分鐘的教學(xué)片段。

【片段 1】

樊：我們學(xué)習(xí)時(shí)，要養(yǎng)成一個(gè)好習(xí)慣：當(dāng)我們接觸一個(gè)新的數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，請思考一下是否有我們已經(jīng)學(xué)過的知識和它是有關(guān)聯(lián)的。大家覺得我們即將要學(xué)習(xí)的“不等式”內(nèi)容和我們之前學(xué)習(xí)的哪些內(nèi)容能產(chǎn)生聯(lián)系？

生1：一元一次方程。

生2：一元一次不等式。

生3：函數(shù)。

……

樊：同學(xué)們的回答提醒我們，我們之前已經(jīng)學(xué)過了許多相關(guān)知識。我和大家交流一下我的看法，假如我來學(xué)不等式，我覺得發(fā)生關(guān)聯(lián)最多的應(yīng)該是等式的問題。剛才有同學(xué)說一元一次方程，這就是一個(gè)特殊的等式。還有同學(xué)說到一元一次不等式，這是提醒我們已經(jīng)學(xué)過不等式?？梢钥闯觯仁胶鸵呀?jīng)學(xué)過的不等式會(huì)和今天要學(xué)的不等式發(fā)生最密切的聯(lián)系。下面，我們就順著這個(gè)思路，先來回顧一下我們學(xué)過哪些相關(guān)的等式知識。

【片段 2】

樊：觀察兩個(gè)式子1＋1＝2和x+2=3，它們一樣嗎？

生：雖然它們形式上都是等式，但是表達(dá)的意思不一樣。

樊：兩者不相同。這就是關(guān)于等式分類的問題了。1+1=2是絕對成立的等式，我們稱為恒等式。而x+2=3，這個(gè)等式成立的條件是什么呢？

生：x=1。

樊：如果x=1就是等式，那么x=3就不是等式了。對于x+2=3這個(gè)等式，存在使它成立的條件，也有使它不成立的條件。因此我們常常要做的一件事就是解方程。即等式有兩類：一類為恒成立的，一類為非恒成立的。在等式中，我們碰到過很多恒成立的式子，比如（a+b）2=a2+2ab+b2，我們往往做的工作就是證明它成立；我們還會(huì)碰到解等式的問題，如剛才的等式x+2=3何時(shí)成立。也就是說，研究等式，一般有兩類工作要做：一是證明恒等式，二是解等式，即解方程。

樊：那么，類比一下，大家覺得這一章不等式我們會(huì)研究哪些內(nèi)容？

生：我覺得不等式這一章研究的內(nèi)容會(huì)和等式一樣：證明恒成立的不等式和解不等式。

【片段 3】

樊：在等式中，若a=b，則ac=bc，等式的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)以后，等式仍然成立。那么，類比等式的性質(zhì)，對照起來能推出什么結(jié)論呢？

生：若 a＞b，則 ac＞bc 成立。

樊：這個(gè)不等式一定成立嗎？

生：不一定成立，若 c＞0，則 ac＞bc；若 c＜0，則ac＜bc。

樊：這就告訴我們在進(jìn)行類比遷移時(shí)需要注意的問題了，等式和不等式的成立各自需要一定的條件，我們從等式的性質(zhì)引申出不等式的性質(zhì)特別要注意這個(gè)問題。

【片段 4】

樊：剛才大家提到，今天要學(xué)習(xí)的不等式不僅和等式有關(guān)，還和已經(jīng)學(xué)過的不等式有關(guān)。在初中，我們學(xué)過了一元一次不等式，我們一起來回顧一下是如何研究一元一次不等式的，不妨以一元一次不等式x+1＜0為例。我們先構(gòu)造一次函數(shù)y=x+1，并作出它的圖象。在圖象y=x+1中，如果令y=0，就轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次方程x+1=0，解這個(gè)方程也就是找圖象和x軸的交點(diǎn)（-1，0），這個(gè)交點(diǎn)為，其中-1叫作方程的一個(gè)解。如果令y＜0，就變成了一元一次不等式x+1＜0，我們已經(jīng)知道了方程和相應(yīng)的函數(shù)之間的聯(lián)系，那么，怎樣從圖象上來分析研究x+1＜0呢？

生：x+1＜0 就是 y＜0。

樊：體現(xiàn)在圖象上是怎樣呢？

生：x＜-1，圖象位于x軸下方的部分。

樊：y＜0在圖象上有好多個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)對應(yīng)的x就是使得這個(gè)不等式成立的x。把所有的解集中起來，就得到了不等式的解集。這就是利用函數(shù)圖象研究一元一次不等式求解集的方法，我們在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究不等式。

樊：如果我們碰到的不等式是x2+2＜3呢？能否類比初中所學(xué)的一元一次不等式的解法，來研究這個(gè)一元二次不等式呢？為方便起見，我們先將其變成x2-1＜0，請大家思考如何研究這個(gè)不等式？

生：先構(gòu)造二次函數(shù)y=x2-1，并作出它的圖象，令y=0，得到x=-1和x=1，也即找出了函數(shù)圖象上與 x軸的交點(diǎn)：（-1，0）和（1，0）。解不等式 x2-1＜0，就是解y＜0，從圖象上容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)所取的x的值在（-1，1）內(nèi)時(shí)，對應(yīng)的 y 值小于 0，即（-1，1）就是不等式x2-1＜0的解集。

【片段 5】

樊：今天的課就上到這里，我給大家布置三個(gè)課后思考題。

（1）周長為1的正方形和圓，哪個(gè)圖形的面積更大？

（3）請同學(xué)們先作出函數(shù) z=1-（x+y）的圖象，再用陰影表示不等式x+y≥1的解集。

二、分析與討論

不難看出，樊老師組織了有效的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。教材中的三個(gè)問題情境僅是引入不等式這一章的一個(gè)小序曲，樊老師考慮到大部分學(xué)生已具備從現(xiàn)實(shí)情境中構(gòu)建不等關(guān)系的能力，并未將此作為教學(xué)重點(diǎn)，而是在深刻理解教材的基礎(chǔ)上，對教材上三個(gè)問題情境的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了壓縮，創(chuàng)造性地使用了教材，充分挖掘了“不等式”這一章所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

1.實(shí)施有效數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的前提：立足理解，挖掘思想。

樊老師在片段1中通過提示語“我們即將要研究的不等式和之前學(xué)過的哪些內(nèi)容能產(chǎn)生聯(lián)系？”逐漸地喚醒學(xué)生關(guān)于本章新知的已有認(rèn)知：“等式”和“已經(jīng)研究過的不等式”。樊老師以學(xué)生的已有認(rèn)知作為本節(jié)課新知的重要生長點(diǎn)，由此慢慢地拉開了本章的序幕。不難看出，片段1的教學(xué)意圖是引導(dǎo)學(xué)生將“等式”和“不等式”、“函數(shù)”和“不等式”聯(lián)系起來，為在后續(xù)的三個(gè)教學(xué)片段中使用類比的數(shù)學(xué)思想方法研究不等式的內(nèi)容和性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合的思想研究不等式的解集做好鋪墊。

通過對片段1的教學(xué)分析不難發(fā)現(xiàn)，樊老師在理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)和理解學(xué)生［2］的基礎(chǔ)上，充分挖掘了“不等式”一章在研究過程中常用的數(shù)學(xué)思想方法：類比和數(shù)形結(jié)合思想。并在后續(xù)三個(gè)片段中不斷強(qiáng)化它們。在片段2的教學(xué)中，樊老師通過兩個(gè)簡單的等式 1＋1＝2 和 x＋2＝3， 引出等式要研究的兩個(gè)問題：證明恒成立的等式和解方程。類比等式的研究內(nèi)容，得出不等式的研究內(nèi)容：證明恒成立的不等式和解不等式。由等式類比不等式，自然地得出不等式章節(jié)的研究內(nèi)容；在片段3的教學(xué)中，類比等式的性質(zhì)，得出不等式的相關(guān)性質(zhì)，并提醒學(xué)生在類比過程中可能會(huì)遇到的異化情況；在片段4的教學(xué)中，類比一元一次不等式的解決方法，得出一元二次不等式的解決方法，在類比過程中，多次滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。

章建躍博士的“三個(gè)理解”是從事一切數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，理應(yīng)成為實(shí)施有效數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的前提。理解學(xué)生：學(xué)生在此以前學(xué)過哪些與本章（節(jié)）有聯(lián)系的知識？學(xué)生積累過哪些與本章（節(jié)）有聯(lián)系的數(shù)學(xué)思想方法和與之相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？理解教學(xué)：教學(xué)中應(yīng)滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法？如何滲透？理解數(shù)學(xué)：本章（節(jié)）的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？從數(shù)學(xué)角度來看，本章（節(jié)）理應(yīng)滲透怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？只有立足三個(gè)理解，才能充分挖掘本章（節(jié)）的數(shù)學(xué)思想方法，才可能實(shí)施有效的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

2.實(shí)施有效數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的過程：教學(xué)示范，范式引領(lǐng)。

“讓學(xué)生在課堂上像數(shù)學(xué)家那樣發(fā)現(xiàn)定理，這當(dāng)然是好的學(xué)習(xí)方式。但是這種課不能上得太多，因?yàn)橘M(fèi)時(shí)間。 ”［3］學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間是有限的，所以，從實(shí)際出發(fā)，方法上的“模仿”仍將是數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的一種主要方式。著名數(shù)學(xué)教育家弗萊登塔爾在《數(shù)學(xué)教育再探》中提出“行動(dòng)的范例”的概念。他指出，一種行動(dòng)以作為另一種行動(dòng)的范例，它可能會(huì)引起類似的行動(dòng)。［4］

樊老師在進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)，多次進(jìn)行教學(xué)示范，他示范了等式要研究的兩類問題，由此引導(dǎo)學(xué)生類比不等式的研究內(nèi)容；他示范了等式具有的性質(zhì)，由此引導(dǎo)學(xué)生類比不等式具有的性質(zhì)；他示范了利用數(shù)形結(jié)合的思想方法研究一元一次不等式的解的全過程，由此引導(dǎo)學(xué)生類比一元二次不等式的圖形解法。學(xué)生通過一個(gè)個(gè)類比和數(shù)形結(jié)合思想方法如何具體應(yīng)用的例子，自主建構(gòu)對數(shù)學(xué)思想方法的理解，對應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的理解，不斷地積累運(yùn)用思想方法解決問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這些教學(xué)示范，起到了范式引領(lǐng)的作用，無疑促成了數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的有序和高效。

3.實(shí)施有效數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的形式：顯隱結(jié)合，形式多樣。

鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)思想方法有兩種意義。“第一種意義的一個(gè)重要特征是其從屬于具體的數(shù)學(xué)知識。第二種意義則是指與具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容相分離，并具有更大的普遍意義的思維模式或原則。第二種意義上的數(shù)學(xué)思想具有更強(qiáng)的方法論意義。”［5］鄭毓信教授提出的兩種意義下的數(shù)學(xué)思想方法，即從屬于具體數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法以及與具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容相分離的數(shù)學(xué)思想方法。相應(yīng)地，我們也可以將數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)分為兩種，即數(shù)學(xué)思想方法隱性教學(xué)和數(shù)學(xué)思想方法顯性教學(xué)。數(shù)學(xué)思想方法隱性教學(xué)，必須借助具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)得以實(shí)現(xiàn)，也就是說，其教學(xué)伴隨著具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中大多數(shù)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)屬于隱性教學(xué)；數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅要有數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，同時(shí)也要有方法的直接教學(xué)，為了與數(shù)學(xué)思想方法的隱性教學(xué)對應(yīng)，這里把直接教學(xué)認(rèn)為是顯性教學(xué)。依據(jù)鄭毓信教授對數(shù)學(xué)思想方法的分類，我們知道，第二種意義下的數(shù)學(xué)思想方法一定程度上與具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容相分離，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中可以進(jìn)行直接教學(xué)，此種意義下的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，我們稱之為數(shù)學(xué)思想方法顯性教學(xué)。［1］

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，顯性數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)相對較少，這就造成了學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)思想方法的形式單一。樊老師的“不等關(guān)系”的教學(xué)是顯性數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的一個(gè)示范，類比和數(shù)形結(jié)合都是重要的數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造的重要源泉。樊老師沒有結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識來講思想方法，而是直接將“類比”和“數(shù)形結(jié)合”方法作為教學(xué)內(nèi)容來教。事實(shí)上，除此以外，在高中階段可以考慮開設(shè)諸如“數(shù)學(xué)方法論”“數(shù)學(xué)思想方法選講”等顯性數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的拓展類課程，作為隱性數(shù)學(xué)思想方法的補(bǔ)充。只有將顯性教學(xué)和隱性教學(xué)結(jié)合起來的多樣化的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)方式，才能促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生多樣化的數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)行為，從而保障數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的有效實(shí)施。

4.實(shí)施有效數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的結(jié)果：情境遷移，經(jīng)驗(yàn)提升。

調(diào)查表明，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解不透，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)僅僅是一種簡單的模仿?！敖處煈?yīng)解釋并示范解決各類數(shù)學(xué)題的推理過程，然后鼓勵(lì)學(xué)生自己推理。 ”［6］同樣地，教師應(yīng)解釋并示范各種數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的實(shí)例，然后鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法嘗試解決一些新的問題。

在片段1的后續(xù)內(nèi)容展開過程中，樊老師連續(xù)多次反復(fù)強(qiáng)調(diào)類比法，在片段4中，樊老師用了整整10分鐘時(shí)間，先讓學(xué)生回憶一元一次不等式的圖形解法，不斷引導(dǎo)學(xué)生將符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，學(xué)生在學(xué)習(xí)中也多次經(jīng)歷語言的轉(zhuǎn)化過程，因此在之后一元二次不等式的解法探索過程中，學(xué)生很容易地能運(yùn)用圖象解決問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷使用類比和數(shù)形結(jié)合的方法，使得數(shù)學(xué)思想方法能得到不斷的鞏固和深化。這不僅有效地幫助學(xué)生自主建構(gòu)對數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的理解，還能幫助學(xué)生不斷積累和提升運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使得學(xué)生完全有能力將習(xí)得的數(shù)學(xué)思想方法遷移至其他問題情境之中，研究和解決一系列新的問題。

教育意義下的“生長”，應(yīng)該是一種優(yōu)質(zhì)的生長，是一種有效的生長。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)也應(yīng)該是一個(gè)有效“生長”的過程。每個(gè)個(gè)體都會(huì)從已有的實(shí)踐活動(dòng)和經(jīng)驗(yàn)中尋求從事新的實(shí)踐活動(dòng)的重要啟示和生長點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)也不例外。只有不斷地給學(xué)生創(chuàng)造時(shí)機(jī)和豐富的、多樣化的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生從“做中學(xué)”，學(xué)生才能積累和提升應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，才能在新的問題情境中利用這些能力和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行正向的遷移和生長。

［1］束艷.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)現(xiàn)狀研究［D］.徐州：江蘇師范大學(xué)，2013.

［2］章建躍.發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)在力量，為學(xué)生謀取長期利益［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（02）.

［3］張奠宙.數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引［M］.南京：江蘇教育出版社，1994.

［4］弗萊登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探［M］.劉意竹，楊剛，等，譯.上海：上海教育出版社，1994.

［5］鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論入門［M］.杭州：浙江教育出版社，2006.

［6］古德，布羅菲.透視課堂［M］.陶志瓊，王風(fēng)，鄧曉芳，等，譯.北京：中國輕工業(yè)出版社，2002.

G633.6

A

1005-6009（2017）51-0034-04

何睦，江蘇省張家港市常青藤實(shí)驗(yàn)中學(xué)（江蘇張家港，215600）教師，二級教師，江蘇師范大學(xué)（江蘇徐州，221116）數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院研究生。

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度重點(diǎn)自籌課題“高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實(shí)踐與認(rèn)識”（編號：B-b/2015/02/121）的階段性研究成果。