王慧慧

【摘要】“指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)”是蘇教版教材必修一第三章第一課時(shí)的內(nèi)容，是學(xué)生在已掌握了函數(shù)的一般性質(zhì)之后系統(tǒng)學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)。通過對(duì)指數(shù)函數(shù)定義、圖像及性質(zhì)的探究，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解與認(rèn)識(shí)，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度得到研究函數(shù)性質(zhì)的方法。在問題探究方式上，采用分組研究的方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性的同時(shí)也讓兩種方法得到了互相驗(yàn)證，相得益彰。

【關(guān)鍵詞】指數(shù)函數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)；教學(xué)反思；數(shù)形結(jié)合；分組探究；思維方式

一、對(duì)教學(xué)幾個(gè)環(huán)節(jié)的認(rèn)識(shí)和重構(gòu)

1.問題引入，得出概念

師：某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，3個(gè)分裂成8個(gè)……一個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后，你能求出細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)y與x之間滿足的關(guān)系式嗎？

生：y與x之間的關(guān)系式，可以表示為y=2（x∈N*）。

師：有1根長1米的繩子，第一次剪去繩長一半，第二次再剪去剩余繩子的一半……剪了x次后繩子剩余的長度為y米，試寫出y與x之間滿足的關(guān)系式。

生：y=（）（x∈N*）

這兩個(gè)都是實(shí)際問題，讓學(xué)生感知到這種函數(shù)在實(shí)際情境中經(jīng)常會(huì)用到，且和以往學(xué)過的函數(shù)不同，從而體會(huì)學(xué)習(xí)新知的必要性。雖然從實(shí)際背景中抽離出兩個(gè)數(shù)學(xué)模型，但是兩個(gè)函數(shù)定義域都是N*，多多少少會(huì)給部分學(xué)生造成一定誤解，好像指數(shù)函數(shù)定義域只可取，所以可以考慮換一個(gè)定義域不是N*的實(shí)際例子，比如：

某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，這種物質(zhì)剩余的質(zhì)量是原來的84%，如果經(jīng)過x年，該物質(zhì)剩余的質(zhì)量為y，那么該如何描述這兩個(gè)變量的關(guān)系？

之后，還要說明這兩個(gè)變量的關(guān)系式都是函數(shù)表達(dá)式，既然是函數(shù)，又和以往的不同，那這種函數(shù)的一般形式是什么，取個(gè)什么名字比較好，那么這些問題就比較自然了。

2.指數(shù)函數(shù)概念的理解

新課標(biāo)在知識(shí)與技能層面要求學(xué)生掌握指數(shù)函數(shù)的概念，并能根據(jù)定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)。因此針對(duì)一些學(xué)生不太清晰或易錯(cuò)的點(diǎn)要指明。比如判斷y=5×3，y=3，y=-3是不是指數(shù)函數(shù)。通過以上這三個(gè)小問題學(xué)生就知道了判斷一個(gè)函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)：經(jīng)過整理后的形式符合：（1） ax的系數(shù)是1；（2）a的指數(shù)是x；（3）a大于0且a不等于1。三個(gè)例子中，y=3是指數(shù)函數(shù)。這樣就對(duì)一些同學(xué)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，即只通過看指數(shù)位置是否為自變量來判斷是否是指數(shù)函數(shù)，提前做了規(guī)避，加深了對(duì)指數(shù)函數(shù)概念的理解。

3.數(shù)形結(jié)合得出指數(shù)函數(shù)性質(zhì)

新課標(biāo)在過程與方法層面上要求：（1）通過探討指數(shù)函數(shù)的概念，感知數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性；（2）在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)過程中體驗(yàn)研究具體函數(shù)的過程和方法，如從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法。但在實(shí)際應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來發(fā)現(xiàn)性質(zhì)時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)一些問題。

在指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出的過程中，不少老師可能會(huì)讓學(xué)生通過幾個(gè)具體指數(shù)函數(shù)的圖像來研究，因此會(huì)列表，描點(diǎn)，連線。但如果僅僅如此，會(huì)有學(xué)生在作圖時(shí)出現(xiàn)不標(biāo)出定點(diǎn)（0，1）的情況，導(dǎo)致在觀察圖像時(shí)總結(jié)不出圖像過定點(diǎn)的結(jié)論，原因是他們?cè)诹斜頃r(shí)就沒想到讓x取0。

為了避免這個(gè)問題，一方面我們可以通過類比的方法來解決。比如我們?cè)诋嫸魏瘮?shù)圖像時(shí)，雖然是畫草圖，但草圖上也會(huì)標(biāo)出函數(shù)的頂點(diǎn)，以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（若有的話）。由此觀察圖像，得出指數(shù)函數(shù)過（0，1）定點(diǎn)。這是從“形”的角度來考慮。

另一方面，我們研究函數(shù)的性質(zhì)可以先從函數(shù)解析式出發(fā)，從“數(shù)”的角度得出此函數(shù)會(huì)有哪些性質(zhì)。比如，（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=1，所以過（0，1）；（2）奇偶性：定義域是R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但a-x不恒等于 ax，也不恒等于-ax，所以指數(shù)函數(shù)不具有奇偶性，是非奇非偶函數(shù)。（3）單調(diào)性：不妨先考慮x取正整數(shù)的情況，此時(shí)y=ax 就是x個(gè)a相乘，所以a>1和01時(shí)，y隨著x的增大而增大，y=ax在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；00，所以值域是（0，+∞）。

當(dāng)然除了從“數(shù)”的角度來分析，還要讓學(xué)生動(dòng)手畫圖（列表，描點(diǎn)，連線），從“形”的角度加以驗(yàn)證。通過實(shí)物投影展示學(xué)生作圖，加以對(duì)比分析，總結(jié)性質(zhì)。同時(shí)借助幾何畫板，展示規(guī)范作圖和當(dāng)a取不同值時(shí)的函數(shù)圖像，一方面驗(yàn)證指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，另一方面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)其他可研究的內(nèi)容。

4.比較值的大小

（1）1.5，1.5 ；（2）0.5，0.5； （3）1.5 ，0.8

除了通過構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性來比較值大小外，可能會(huì)有學(xué)生想到借助作差或作商的方法來比較大小，比如，1.5-1.5=1.5（1-1.5）或者=1.5，不論哪種方法最后還是要借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖像來比較，因?yàn)橛芍笖?shù)函數(shù)y=1.5的單調(diào)性可知，1.50.7>1，所以1.5>1.5。由此可以總結(jié)，在處理比較值大小的題目時(shí)直接借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解決更好。切不可對(duì)學(xué)生作差或作商的想法直接予以否定，強(qiáng)行中斷思路，強(qiáng)行引導(dǎo)到構(gòu)建指數(shù)函數(shù)的思路上來。（3）可分別借助y=1.5，y=0.8的圖像，觀察出兩個(gè)值的大小，學(xué)生會(huì)自然發(fā)現(xiàn)要和1比較。最后總結(jié)：在比較不同底的函數(shù)值大小時(shí)，要尋求中間數(shù)來比較，這個(gè)中間數(shù)常會(huì)考慮1，熟練掌握后可不用畫圖?？傊?，在剛接觸這類題目時(shí)，教師應(yīng)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生暢所欲言，感受思考帶來的樂趣，學(xué)生通過自主探究，歸納出處理這類問題的最優(yōu)方案。

經(jīng)過前面四塊內(nèi)容的改進(jìn)與重構(gòu)，下面概述一下這節(jié)課整體的教學(xué)設(shè)計(jì)（部分內(nèi)容已在前面詳述，不贅述）。

二、改進(jìn)后，我的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)情境

問題1：某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，3個(gè)分裂成8個(gè)……一個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后，你能求出細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)y與x之間滿足的關(guān)系式嗎？

問題2：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，這種物質(zhì)剩余的質(zhì)量是原來的84%.如果經(jīng)過x年，該物質(zhì)剩余的質(zhì)量為y，那么該如何描述這兩個(gè)變量的關(guān)系？

（1）對(duì)于關(guān)系式y(tǒng)=2 （x∈N）和y=0.84 （x∈（0，+∞））

讓學(xué)生思考討論以下問題（問題逐個(gè)給出）：

①它們能否構(gòu)成函數(shù)？有什么共同特征？

②是我們學(xué)過的哪個(gè)函數(shù)嗎？如果不是，你能否根據(jù)該函數(shù)的特征給它起個(gè)恰當(dāng)?shù)拿郑?/p>

（2）讓學(xué)生討論并給出指數(shù)函數(shù)的定義，同時(shí)根據(jù)定義，由學(xué)生討論給出a的范圍，即a>0且a≠1。

之后，教師可通過讓學(xué)生寫出指數(shù)函數(shù)式的方式來判斷學(xué)生是否理解指數(shù)函數(shù)概念，也可寫出一些解析式讓學(xué)生判斷，如計(jì)y=5×3x，y=32x，y=-3x。

2.數(shù)形結(jié)合，分 組探究，歸納指數(shù)函數(shù)性質(zhì)

（1）提出問題，集思廣益

問題3：你打算如何研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

問題4：一般研究函數(shù)哪些性質(zhì)，你打算怎樣研究？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的思路基本會(huì)分成兩類：一類嘗試通過邏輯關(guān)系的探究，得出定義域、值域及單調(diào)性、奇偶性等，這類學(xué)生的邏輯思維能力較強(qiáng)；而另一部分學(xué)生則想通過畫函數(shù)圖像的方法去判斷，這類學(xué)生是以形象思維為主要思維方式。這恰恰也反映了高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上表現(xiàn)的兩種典型思維：形象思維和抽象思維。

（2）分組活動(dòng)，合作學(xué)習(xí)

按學(xué)生思路，將學(xué)生分為兩組，一組從解析式的角度入手（不畫圖）研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，一組借助列表、描點(diǎn)、連線的作圖方法，通過觀察圖像研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)。

（3）展示交流、逐步完善

教師在巡視過程中應(yīng)關(guān)注各組的研究情況，先讓組一同學(xué)的代表從代數(shù)角度上臺(tái)展示其研究成果，其他組員可對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)充完善。再讓組二同學(xué)結(jié)合自己畫的圖像，利用投影儀展示對(duì)前面組一同學(xué)的結(jié)論進(jìn)行評(píng)價(jià)，最后教師對(duì)兩組同學(xué)的成果以及表現(xiàn)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，并用幾何畫板展示不同的指數(shù)函數(shù)圖像，與學(xué)生一起從“數(shù)”、“形”兩個(gè)角度對(duì)比得出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。當(dāng)然，還可以拋出問題讓學(xué)生留作思考：除了定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外，你是否還發(fā)現(xiàn)了其他的性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)一方面讓學(xué)生從兩個(gè)角度（代數(shù)、幾何）合作探究，自主得出了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生對(duì)新知識(shí)理解得更加透徹，掌握得更加扎實(shí)，印象更加深刻；另一方面，探究的過程就是學(xué)生獨(dú)立思考，合作學(xué)習(xí)，并展示自我的過程，這體現(xiàn)了教學(xué)中“以學(xué)生為主體”的啟發(fā)性教學(xué)原則，發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，激發(fā)了其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，啟迪其思考，利于其思維水平的提高。同時(shí)，這種探究過程能提高學(xué)生語言的表達(dá)能力和展示自我的勇氣，符合我們本節(jié)課對(duì)情感態(tài)度價(jià)值觀這一教學(xué)目標(biāo)的要求，同時(shí)也為我們以后研究其他函數(shù)的性質(zhì)指明了方向。

3.鞏固訓(xùn)練，提升能力

例1.比較下列各組數(shù)中兩個(gè)值的大小：

（1）1.5，1.5 ；（2）0.5，0.5； （3）1.5 ，0.8

例2 .（1）已知 3≥3，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

（2）已知0.2<25，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

4.課堂小結(jié)

（1）本節(jié)課我們學(xué)到了什么新知識(shí)？

（2）回顧我們的研究過程，我們是怎么研究指數(shù)函數(shù)的。

三、教學(xué)反思

（1）本節(jié)課的重難點(diǎn)在于如何引導(dǎo)學(xué)生研究并歸納出指數(shù)函數(shù)性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的思想方法是高中常用數(shù)學(xué)方法之一，也反映了高中生的兩種思維方式：抽象思維和形象思維。教師在這一環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度研究函數(shù)，避免了學(xué)生一些易犯的錯(cuò)誤，讓學(xué)生知其然，知其所以然，明晰研究和思考的全過程，在實(shí)際教學(xué)中也取得了很好的教學(xué)效果，也為以后如何研究函數(shù)指明思路。

（2）交流是教學(xué)活動(dòng)最基本的形式，在這一階段，教師給學(xué)生提供了一個(gè)各抒己見、真實(shí)表達(dá)自己思路、充滿對(duì)話交流的開放性場景，組織學(xué)生討論、辯論，互相啟迪，互相評(píng)價(jià)。在深化知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，讓學(xué)生明白不僅要傾聽和理解他人，還要學(xué)會(huì)正確的表達(dá)自己。本節(jié)以學(xué)生討論交流為主，教師適時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)現(xiàn)和捕捉學(xué)生思維亮點(diǎn)的同時(shí)，引發(fā)學(xué)生更高層次的體驗(yàn)和感悟。

（3）數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有學(xué)習(xí)者參與思維活動(dòng)才有效。教師應(yīng)讓學(xué)生充分思考，去探索問題，在探索中解決問題，在解決問題中引發(fā)更深的新問題。只有不斷探索、解決問題，學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力才能得到有效的發(fā)展。我們應(yīng)該堅(jiān)持關(guān)注學(xué)生的體驗(yàn)，在課堂上給學(xué)生更多思考的時(shí)間和空間。

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