湖北 高豐平

(作者單位：湖北省孝昌縣第二高級(jí)中學(xué))

一道高考解析幾何題帶來(lái)的思考

2016年的四川高考第20題(解析幾何)需要學(xué)生有探究猜想的能力，先通過(guò)特殊直線將點(diǎn)找出來(lái)，再去證明．該道題目立足現(xiàn)行教材，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，強(qiáng)調(diào)通性通法，注重能力立意，在知識(shí)交匯處考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法和能力，同時(shí)試題在穩(wěn)定中追求創(chuàng)新，有利于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與學(xué)習(xí)潛能，并且更注重代數(shù)與幾何綜合的考查．這種解題思路的變化可能對(duì)很多考生來(lái)說(shuō)難以適應(yīng)．該題立意深遠(yuǎn)，其本源是圓冪定理在橢圓(乃至圓錐曲線)中的推廣所得到的相交弦定理、切割線定理、切線長(zhǎng)定理等．下面就這方面的內(nèi)容做幾點(diǎn)思考與探析．

(Ⅰ)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(Ⅱ)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B，且與直線l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值．

思考一 該題的解法多樣，較為靈活，具有代表性的解法有如下幾種．如圖1．

【評(píng)注】 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合的思想．利用解析幾何中的“設(shè)而不求”法．可減少計(jì)算量，簡(jiǎn)化解題過(guò)程．

【解法二】(Ⅰ)同解法一．

【評(píng)注】該解法使用了直線的參數(shù)方程，相較于解法一運(yùn)算量較小，但參數(shù)t的幾何意義并不明顯．下面解法三中的參數(shù)t有明確的幾何意義．

【解法三】(Ⅰ)同解法一．

【評(píng)注】本解法中的參數(shù)t有明確的幾何意義，且為數(shù)量．利用一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，得到數(shù)量之間的關(guān)系，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整體處理，避免解題過(guò)程中求根或找點(diǎn)的麻煩．當(dāng)然直線AB與橢圓E有交點(diǎn)的情況下，該結(jié)論才成立．

當(dāng)點(diǎn)A,B在橢圓E上時(shí)，該值固定，與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，即點(diǎn)P不是固定的．

思考三 更一般的情況是怎樣的？

由式子結(jié)構(gòu)可以聯(lián)想到圓中的切割線定理，下面來(lái)做一個(gè)一般性的推導(dǎo)．

思考四 2016年四川卷文科20題其實(shí)考查的就是橢圓中的相交弦定理，與理科題是一對(duì)姊妹題．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(作者單位：湖北省孝昌縣第二高級(jí)中學(xué))