福建 黃清波

(作者單位：福建省南安市國(guó)光第二中學(xué))

三法并舉，破解立體幾何題

解答立體幾何問(wèn)題主要有三種方法：綜合法、坐標(biāo)法和向量法.“三法”的準(zhǔn)確定位應(yīng)該是并舉！即不宜人為地、憑主觀劃分它們的優(yōu)劣，而應(yīng)具體問(wèn)題具體分析.本文以2016年高考全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ理科第18題第(Ⅱ)問(wèn)的求值問(wèn)題和2016年高考全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅲ理科第19題第(Ⅰ)問(wèn)的證明為例展開(kāi)，談?wù)剬?duì)“三法”的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)，希望對(duì)大家今后在立體幾何學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)中能夠受到一定啟發(fā).

【例1】(2016·新課標(biāo)Ⅰ理·18)如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°．

(Ⅰ)證明平面ABEF⊥平面EFDC；

(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值．

解法探究

本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，難度適中.對(duì)于第(Ⅰ)問(wèn)由已知易知AF⊥FE，AF⊥FD，得AF⊥平面EFDC，且AF?平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面EFDC.本文主要研究第(Ⅱ)問(wèn)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，從三種不同的視角進(jìn)行思考．

1.綜合法

【分析】根據(jù)題意，設(shè)法找出二面角的平面角，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)二面角的求解.本題所求二面角是一個(gè)鈍角，不好直接找，可通過(guò)補(bǔ)形，易得該二面角的補(bǔ)角，從而求出該二面角的余弦值.

【評(píng)注】在證明與指數(shù)式有關(guān)的不等式時(shí)，用二項(xiàng)式定理可將指數(shù)式轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式.

【結(jié)語(yǔ)】在利用放縮法證明不等式時(shí),要根據(jù)不等式兩邊的特點(diǎn)進(jìn)行恰當(dāng)放縮,任何不適宜的放縮都會(huì)導(dǎo)致推證的失敗.

(作者單位：福建省南安市國(guó)光第二中學(xué))

江西省贛南師范大學(xué)科技學(xué)院，山東省鄒平縣黃山中學(xué))

【解法1】由(Ⅰ)知∠DFE=∠CEF=60°，

因?yàn)锳B∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，

所以AB∥平面EFDC，又AB?平面ABCD.

又平面ABCD∩平面EFDC=CD,

所以AB∥CD，所以CD∥EF.

所以四邊形EFDC為等腰梯形.

根據(jù)該幾何體的特征，將它嵌入以AB為邊長(zhǎng)的正方體中，

如圖，延長(zhǎng)DC交正方體的棱于點(diǎn)M，連接BM,

AB⊥平面BEM,又AB?平面ABCD,

所以平面ABCD⊥平面BEM.

又平面ABCD∩平面BEM=BM,

過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BM,垂足為G，則EG⊥平面ABDM.

過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC,垂足為H,連接EH.

∵EG⊥平面ABCD，

∴EG⊥BC.

∴BC⊥平面EHG，

∴BC⊥EH，

則∠EHG為所求二面角的補(bǔ)角.

由△BGH∽△BCM,

【點(diǎn)評(píng)】綜合法是以邏輯推理作為工具解決問(wèn)題，解題過(guò)程中經(jīng)常要引入輔助線，運(yùn)用大量的幾何定理公理，對(duì)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力要求較高，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先考慮用綜合法解題，嘗試著去處理圖形，即對(duì)圖形進(jìn)行分割、補(bǔ)全、折疊、展開(kāi)、添加輔助線等，借此不斷提高自己的空間想象能力.

2.坐標(biāo)法

【分析】結(jié)合幾何體的特征，直接建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.然后找出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，套用相關(guān)模式，可得以下解法.

【解法2】由解法1知，四邊形EFDC為等腰梯形.

以E為原點(diǎn)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.

設(shè)平面BEC的法向量為m=(x1,y1,z1).

設(shè)平面ABC的法向量為n=(x2,y2,z2).

設(shè)二面角E-BC-A的大小為θ.

【點(diǎn)評(píng)】坐標(biāo)方法主要是利用向量的相關(guān)知識(shí)及其運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題，即用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，將數(shù)與形完美地結(jié)合起來(lái)，降低了立體幾何解題的思維難度，解題有一定的規(guī)律性，便于學(xué)生掌握.其步驟：①建系；②找點(diǎn)的坐標(biāo)；③寫(xiě)出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；⑤下結(jié)論.不規(guī)則圖形的坐標(biāo)系的建立較為靈活，但還是有“法”可依，平時(shí)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)加強(qiáng)不規(guī)則的幾何體中建坐標(biāo)系的訓(xùn)練與練習(xí)，幫助學(xué)生消除心理障礙.另外，建立坐標(biāo)系后，通常會(huì)增加某些點(diǎn)坐標(biāo)表示的難度，除了作“射影”來(lái)求，大多是通過(guò)“算”來(lái)表示.同時(shí)，還應(yīng)加強(qiáng)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的訓(xùn)練，如引進(jìn)參數(shù)來(lái)表示.

3.向量法

【解法3】由解法1知，四邊形EFDC為等腰梯形.

在△ABC中，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC，垂足N，

設(shè)二面角E-BC-A的大小為θ.

【點(diǎn)評(píng)】向量法是指非坐標(biāo)向量法，較之坐標(biāo)法，向量法不需要建系，且運(yùn)算簡(jiǎn)捷、可操作性強(qiáng)，更能體現(xiàn)向量的魅力.但就學(xué)生而言，由于向量運(yùn)算畢竟屬于一種新的運(yùn)算體系，形式化要求高，總感覺(jué)運(yùn)用時(shí)不習(xí)慣、不順手.在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)幫助學(xué)生突破過(guò)高形式化帶來(lái)的困難，從而讓學(xué)生充分感受向量法的優(yōu)美和力量.

【例2】(2016·新課標(biāo)Ⅲ理·19)如圖，四棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn)．

證明：MN∥平面PAB.(節(jié)選)

本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.難度適中.

1.綜合法

【分析】要證明線面平行，首先想到線面平行的判斷定理,由線線平行得出線面平行，題目出現(xiàn)中點(diǎn)，聯(lián)想到要利用中位線的性質(zhì),據(jù)此思路,可得下列解法.

又AD∥BC,所以TN∥AM,TN=AM.

所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN=AT.

又AT?平面PAB,MN?平面PAB,

所以MN∥平面PAB.

【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理,也可得到線面平行,一樣是利用中位線的性質(zhì),有下列解法.

【解法2】取BC的中點(diǎn)T,連接TM,TN,

又BT=2,且AM∥BC,所以四邊形ABTM是平行四邊形,

所以TM∥AB,又AB?平面PAB,TM?平面PAB,

所以TM∥平面PAB.

由TN∥PB(中位線性質(zhì)),得TN∥平面PAB.

所以平面TMN∥平面PAB.

因?yàn)镸N?平面TMN，所以MN∥平面PAB.

2.坐標(biāo)法

【分析】結(jié)合幾何體的特征，直接建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.然后找出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)問(wèn)題套用相關(guān)模式，可得以下解法.

【解法3】取BC的中點(diǎn)T,連接AT.

又MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.

【解法4】設(shè)n=(x,y,z)是平面PAB的一個(gè)法向量，

所以DM∥平面PAB.

3.向量法

所以MN∥平面PAB.