廣東省東莞市東莞實驗中學(523120) 薛新建

分開是另一種美
——淺析高考壓軸題中的分離變量法

廣東省東莞市東莞實驗中學(523120) 薛新建

一、問題的提出

題目(2013年新課標全國 (I)第 21題)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(I)求a,b,c,d的值;

(II)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.

本題考察函數(shù)知識,尤其是利用導數(shù)研究函數(shù)性質的一道典型題目,其中考察到了曲線與方程的關系,導數(shù)的幾何意義,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值等知識.從題目結構來看,一個二次函數(shù),一個超越函數(shù),大多數(shù)學生拿到題目會感到既熟悉又新鮮,有一種朦朧美.解題過程集中體現(xiàn)了數(shù)形結合思想,分類討論思想,函數(shù)與方程思想,轉化與化歸思想等數(shù)學思想.題目入手難度不大,第一問在不考慮時間以及計算失誤等其他考場因素的情況下,學生基本上能夠摸清思路,找到突破口,較為完整的求出4個系數(shù),但第二問難度較大,對學生各項能力有較高的要求,需要學生在把握和堅持基本思路的基礎上,按照參數(shù)對導數(shù)的符號的影響進行分類討論,除去能力要求,還需要學生平時對此類題目有較為系統(tǒng)的訓練和總結,才能在考場上有限時間內進行很好的處理.該題是一道區(qū)分度較為明顯的經典函數(shù)題目,作為2013年理科數(shù)學全國卷的壓軸題也是當之無愧.

二、解題方法探究

利用函數(shù)與導數(shù)知識可以把第(I)小題做出來,得到f(x)=x2+4x+2,g(x)=ex(2x+2).以下解答(II).

解法一設函數(shù)

(i)若1≤k＜e2,則-2＜x1≤0.從而當x∈(-2,x1)時,F′(x)＜0;當x∈(x1,+∞)時,F′(x)＞0.即F(x)在(-2,x1)單調遞減,在(x1,+∞)單調遞增.故F(x)在[-2,+∞)的最小值為F(x1).而F(x1)=2x1+2-x21-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故當x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.

(ii)若k=e2,則

從而當x＞-2時,F′(x)＞0,即F(x)在(-2,+∞)單調遞增.而F(-2)=0,故當x≥-2時,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.

(iii)若k＞e2,則

從而當x≥-2時,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.

綜上,k的取值范圍是[1,e2].

解法二由題意,x≥-2時,

恒成立,(i)當x=-1時,(?)式可化為-1≤0,恒成立.

(ii)當-2≤x＜-1時,(?)式可化為

則y=φ(x)在[-2,-1)上單調遞增,所以φmin=φ(-2)=e2,故k≤φmin=e2.

(iii)當x＞-1時,(?)式可化為

易見y=φ(x)在(-1,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減,從而y=φ(x)在x=0處有極大值,也是最大值.所以φmax=φ(0)=1,故k≥1.

綜上,k的取值范圍是[1,e2].

上述方法一,采用的是構造單一函數(shù)解決恒成立問題的基本思路,這種思路容易被一般學生接受和使用,其難點在于后面的運算和對導數(shù)符號的討論.原因是參數(shù)k的存在,造成了導數(shù)符號的不確定性.大部分學生對于帶參數(shù)的求導結果的討論會知難而退,只有少部分優(yōu)秀學生能夠耐下心來對后面的導函數(shù)進行分類討論并得到正確答案.因此這種方法對學生本身素質要求過高.而且在一開始由F(0)≥0得到k≥1這一步是利用特殊點得到的k的取值范圍,結論的取得有比較大的隨機性,需要學生具備豐富的解題經驗和在考場上的應變能力,或者說更多的是一種運氣成分.

而方法二,采用的是用分離變量法解決恒成立問題的基本思路,這種思路在平時的練習題里應該經常碰到,所以對大部分學生來講并不陌生.縱觀方法二的整個過程,討論標準就是在分離變量的過程中,(x+1)這個因式符號的正負對不等號開口方向的影響,這一點對學生素質并無太高要求,只要平時有過相關練習就可以輕易完成整個過程,而構造出來的函數(shù)y=φ(x)的單調性和最值可以通過求導進行很好的考察.通過對變量k和x的分離,避開了對含參因式的分辨,以及主次變量的討論,將問題轉化成了給定函數(shù)求最值的問題,從而降低了題目難度層次,解決起來更加容易.

將兩種方法進行比較的話,方法一經典大氣,但不免高冷,讓人難以接近.方法二通過將變量分開,將含參導函數(shù)符號的討論這種疑難問題輕易轉化成了給定函數(shù)求最值的問題,給人一種撥云見日,曲徑通幽的感覺,當然,這種分離轉化本身就是數(shù)學的另一種美!

三、高考同類題目規(guī)律探尋

本題考查的函數(shù)知識點都是近年全國I卷重點考查的內容,通過對近幾年函數(shù)壓軸題的對比分析可以發(fā)現(xiàn)很多共性的地方,具體如下：①不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題,在2010-2013年連續(xù)4年考查,2014年則是證明不等式恒成立,2015年稍有變化考查函數(shù)零點分布的問題.②2011年在函數(shù)題目的設置上,第一問考查曲線與方程關系以及曲線的切線方程的問題,第二問再考查不等式恒成立問題.這樣設置題目的好處就是,第一問入手門檻降低,不會在第一問就將大多數(shù)學生拒之門外,避免了出現(xiàn)廢題的情況,第二問再考查學生能力,題目區(qū)分度較高.于是在之后的2013-2015年函數(shù)題目的布局都采用了這一方式,第一問考查切線問題似乎已成慣例.③通過對2013-2015年高考題解法的研究,不難發(fā)現(xiàn)分離變量法作為數(shù)學中的一種通性通法,在解決函數(shù)問題中的巨大作用,通過對字母的分離,避開主次變量間的干擾,降低問題難度的層次,體現(xiàn)了數(shù)學上轉化與化歸的思想以及正難則轉的智慧.下面我們會把分離變量法在2014和2015年高考題目中的巨大作用進行展示

四、近年高考函數(shù)題的多題一解

例1 (2014年新課標全國I卷)設函數(shù)f(x)=aexlnx+曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線為y=e(x-1)+2.(I)求a,b;(II)證明：f(x)＞1.

解：(I)利用導數(shù)知識可以得到a=1,b=2.

(II)由(I)知,

(I)當a為何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線;

(II)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設函數(shù)h(x)= min{f(x),g(x)}(x＞0),討論h(x)零點的個數(shù).

解：(I)略;(II)當x∈(1,+∞)時,g(x)=-lnx＜0,從而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)＜0,故h(x)在(1,+∞)無零點.

當x=1時,若min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零點;若則f(1)＜0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)＜0,故x=1不是h(x)的零點.

當x∈(0,1)時,g(x)=-lnx＞0,所以只需要考慮f(x)在(0,1)的零點個數(shù).令得,則

圖1

思路分析本題關鍵就是求y=f(x)在(0,1)上的零點個數(shù),而y=f(x)由于有字母a的干擾,導函數(shù)需要進行討論,這種討論對學生能力有較高要求.通過對a和x兩個變量的分離,得到然后構造兩個函數(shù)y=a和將問題轉化成這兩個簡單函數(shù)的交點個數(shù)的問題,通過對y=φ(x)求導分析單調性,很容易就得到正確結論.

通過上述對2013-2015年的高考函數(shù)壓軸題的分析,我們不難發(fā)現(xiàn),分離變量法作為解決函數(shù)問題的一個基本思想方法,在高考實戰(zhàn)中有著巨大的戰(zhàn)略意義,那就是可以將含參問題的討論轉化成簡單函數(shù)求最值的問題,對題目難度進行大幅拉低,使得更多學生具備了拿下函數(shù)壓軸題的可能性,所以在以后的教學中應該特別注意強化落實這一方法.

五、變式探究

對2013年高考函數(shù)題的變式訓練主要可以做如下思考：

第一類是恒成立問題變成存在性問題,因為這兩類問題其實是共生的,可以做如下變式訓練：

變式一已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(I)求a,b,c,d的值;

(II)若?x0∈(-1,+∞)使得f(x0)≥-kg(x0),求k的取值范圍.

第二類是恒成立問題變成方程的根的分布問題,可以做如下變式訓練：

變式二已知函數(shù)

若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(I)求a,b,c,d的值;

(II)若x∈(-1,+∞),討論方程f(x)=kg(x)的根的個數(shù).

當然還可以對不同類型的函數(shù)進行搭配,進行相應的變式訓練.

六、高考備考策略分析

從前述分析來看,以后函數(shù)大題的高考備考需要注意以下兩個方面：

1.從知識點來講,首先要特別注意切線問題的備考,確保以后切線問題在壓軸題出現(xiàn)的時候,學生能夠得到相應分數(shù)(主要是第一問),這一部分是通過扎實備考完全可以拿下的,其次是恒成立問題求參數(shù)范圍的題型的備考,要注重基本思路基本方法的普及,為優(yōu)秀學生拿下壓軸題打好基礎,即便不能完全拿下,也可以盡量分步得分.

2.從思想方法來講,函數(shù)部分的備考要特別注意分離變量法這一方法,前面已經展示了這一方法在近三年高考壓軸題中轉化函數(shù)問題時的巨大作用,而這一方法不止針對恒成立問題,在很多問題中都能找到它的影子,例如,不等式恒成立問題和存在性問題,零點存在性及分布問題,方程有解及根的分布問題,分式函數(shù)求最值(基本不等式)問題等等.分離變量的形式也是比較靈活,可以完全分離也可以不完全分離.而且分離變量法在高等數(shù)學里也有較大用處,比如解微分方程等.