華南師大附屬中學(xué)(510630) 羅碎海

虛中隱實(shí)、實(shí)中含虛
——弦中點(diǎn)問(wèn)題探幽

華南師大附屬中學(xué)(510630) 羅碎海

文[1]通過(guò)對(duì)兩道例題解法的分析說(shuō)明“點(diǎn)差法”使用中的誤區(qū).使用點(diǎn)差法所得結(jié)論是原題已知的必要條件,未必充分,必須進(jìn)行驗(yàn)證.對(duì)于原文問(wèn)題2有兩個(gè)問(wèn)題值得進(jìn)一步深思：(1)文中所說(shuō)結(jié)論“當(dāng)曲線是雙曲線時(shí),若中點(diǎn)在其內(nèi)部,則所求的直線一定存在;若在其外部,則滿足條件的直線可能存在,也可能不存在.”請(qǐng)問(wèn)：何時(shí)存在?何時(shí)不存在? (2)如果不存在,那么用點(diǎn)差法所求的方程有什么幾何意義?

1.原題再現(xiàn)

例1 (原文問(wèn)題2)已知雙曲線問(wèn)是否存在被點(diǎn)M(1,1)平分的弦?若存在,求出弦所在直線方程;若不存在,說(shuō)明理由.

解假設(shè)存在被點(diǎn)M平分的弦AB,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M(1,1).則有

相減得

因?yàn)镸(1,1)為AB中點(diǎn),從而x1+x2=2,y1+y2=2,所以因此,滿足條件的弦斜率為2,所求弦所在直線方程為y=2x-1.

文中最后驗(yàn)證,發(fā)現(xiàn)所求直線y=2x-1與原雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)(聯(lián)立后Δ＜0),所以這樣的直線不存在.

2.探究問(wèn)題

探究1 點(diǎn)M(x0,y0)在什么位置時(shí),總存在直線l,使M為l被雙曲線所截弦的中點(diǎn)?

因此,我們把雙曲線及其漸近線將平面分成的三類區(qū)域分別記為雙曲線內(nèi)部(I)、漸近線上、下部(II)、雙曲線與漸近線之間(III)(如圖),易得以下結(jié)論：

圖1

(1)當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在區(qū)域(I)內(nèi)時(shí),所以過(guò)點(diǎn)M存在滿足要求的直線l;

(2)當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在區(qū)域(II)內(nèi)時(shí),所以過(guò)點(diǎn)M存在滿足要求的直線l;

(3)當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在區(qū)域(III)內(nèi)時(shí)所以過(guò)點(diǎn)M不存在滿足要求的直線l.

(4)當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線或漸近線上時(shí),不存在滿足題設(shè)要求的直線.(顯然,以上結(jié)論對(duì)y0=0也正確.)

探索2 在原題解答中,既然結(jié)果不存在,怎么會(huì)求出直線l:y=2x-1,使M(1,1)為l被雙曲線的所截“弦”的中點(diǎn)的直線呢?

進(jìn)一步可以得到：

結(jié)論1 若直線l與雙曲線交于A、B,與其漸近線交于C、D,那么M必是線段AB和線段CD的共同中點(diǎn),從而可得|AC|=|BD|.

結(jié)論2 設(shè)直線l與曲線

分別相交于A、B和C、D,則|AC|=|BD|.

若一條弦的長(zhǎng)趨于零,則得：

結(jié)論3 設(shè)l是曲線的切線,切點(diǎn)為C,如果l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),則|AC|=|BC|.

從反面考慮,又可得：

結(jié)論4 過(guò)雙曲線上一點(diǎn)C作一條直線l與它的漸近線交于A、B兩點(diǎn),則|AC|=|BC|的充要條件是點(diǎn)C是l與雙曲線的切點(diǎn).

3.追根溯源

其實(shí)本問(wèn)題源于課本習(xí)題(人教版選修2-1,P62,B4)：已知雙曲線過(guò)P(1,1)能否作一條直線l,與雙曲線于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)?

對(duì)此題如果不用點(diǎn)差法,很自然的想到設(shè)直線方程,解法如下：

解已知雙曲線方程即為2x2-y2=2,設(shè)滿足條件的直線l存在,由題意可知該直線斜率存在,設(shè)為k.直線l方程為y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.再設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,且線段AB的中點(diǎn)為M(x,y).把y=kx+1-k代入雙曲線方程2x2-y2=2,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2/=0).(如果不考慮Δ≥0)所以由題意,得解得k=2,即直線l的方程為y=2x-1.不管判別式,與點(diǎn)差法所得結(jié)論相同.

4.向前一步

在未考慮判別式的情況下,我們得到與點(diǎn)差法同樣的不合題意的直線l:y=2x-1,有人說(shuō)這是過(guò)虛交點(diǎn)的虛直線,這條線的實(shí)際意義到底是什么?

如果把這條線y=2x-1理解為虛直線的話,它的出現(xiàn)就昭示著存在比原題雙曲線更具有普遍性的曲線能使直線y=2x-1有意義,這樣的曲線就是原雙曲線的漸近線,虛中隱實(shí).我們明白：雙曲線的漸近線的中點(diǎn)弦包含了由漸近線所產(chǎn)生的所有雙曲線的問(wèn)題.

其它類似問(wèn)題如何?

例2 過(guò)點(diǎn)P(-2,0)的直線l與圓x2+y2=1交于點(diǎn)A,B,求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程.

圖2

解設(shè)直線斜率為k(存在),l的方程為y=k(x+2),與圓聯(lián)立,即(1+k2)x2+ 4k2x+(4k2-1)=0,設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),x1+x2==2x,而y=k(x+2),消去k,得 (x+1)2+y2=1.

實(shí)際上,所求曲線(x+1)2+y2=1與原已知圓x2+y2=1聯(lián)立,

所求是(x+1)2+y2=1在已知圓內(nèi)的一部分.多出的部分有何意義?

如果圓x2+y2=1變?yōu)閤2+y2=r2,讓r逐漸變大(如圖),其他條件不變,當(dāng)直線y=k(x+2)總與圓有交點(diǎn),此時(shí)弦的中點(diǎn)軌跡方程為(x+1)2+y2=1.

虛軌跡其實(shí)是更大范圍內(nèi)的實(shí)軌跡,結(jié)合例1,有種感覺(jué)“虛有各種虛,反映更本質(zhì)”.

例3 過(guò)點(diǎn)(-1,0)的直線與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn),求弦AB中點(diǎn)M的軌跡.

解設(shè)直線斜率為k(存在且不為0),l的方程為y=k(x+1),與拋物線y2=4x聯(lián)立,即ky2-4y+4k=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),而y=k(x+1),消去k,得y2=2(x+1).實(shí)際上,Δ＞0,所以所求是y2=2(x+1)在原拋物線內(nèi)的部分.多出的部分怎樣來(lái)的?其實(shí)是直線y=k(x+1)與拋物線y2=4(x+a)(a≥1)所產(chǎn)生.由虛找到實(shí)的本質(zhì).

圖3

在以上中點(diǎn)弦問(wèn)題中,從例1發(fā)現(xiàn)退化的雙曲線,即對(duì)應(yīng)的漸近線更能說(shuō)明本質(zhì)(退化);從例2發(fā)現(xiàn)包含其已知點(diǎn)在圓內(nèi)比已知圓更大的圓(放大);從例3發(fā)現(xiàn)包含已知點(diǎn)在拋物線內(nèi)的更多的拋物線(平移).

韋達(dá)定理中可能有虛根,點(diǎn)差法中隱含虛根,實(shí)是確定的線,虛有虛的不同,虛是實(shí)的延伸,從實(shí)中看出虛,從虛中發(fā)現(xiàn)實(shí),使我們對(duì)數(shù)學(xué)理解更上一個(gè)層次.

[1]齊斌德.走出點(diǎn)差法的誤區(qū).中學(xué)數(shù)學(xué)研究[J],2016,8(上).