黃周鈞

摘要：在數(shù)學(xué)研究中，不等式的探究乃至不等式的推演是很常見的，對簡單不等式的證明能夠根據(jù)作差或作商或與1作比較處理.碰到較為復(fù)雜的不等式運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的方法探究將會(huì)收到事半功倍的作用，文章以不等式證明的重要性為出發(fā)點(diǎn)，對不等式證明的概述進(jìn)行了闡述，進(jìn)而根據(jù)實(shí)際情況探究了不等式證明的若干方法。

關(guān)鍵詞：不等式；證明；若干方法

G634.6

一、不等式證明的重要性

數(shù)學(xué)是大家對客觀世界定性掌握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛運(yùn)用的進(jìn)程。數(shù)學(xué)能夠協(xié)助大家非常好地討論客觀世界的規(guī)則，并對現(xiàn)代社會(huì)中很多紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為不等式知識(shí)的重要內(nèi)容，不等式的證明是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)地方。不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，高考中通常呈現(xiàn)在問答題中，涉及到代數(shù)運(yùn)算、函數(shù)思路、數(shù)列、幾何、邏輯推理等知識(shí)，證法多樣，思路謹(jǐn)慎，若能根據(jù)標(biāo)題特征，靈敏地運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，通常能快速斷定解題思路，然后使問題簡捷、精確地獲解。

二、不等式證明的概述

17世紀(jì)之后，不等式的理論變成數(shù)學(xué)理論的重要組成部分。根據(jù)高斯、柯西、切貝曉夫等對不等式問題的研討，該理論得到非?？斓陌l(fā)展，大家也一直在對不等式進(jìn)行不斷的完善，獲得很多重要作用。不等式不僅有重要的理論含義，在實(shí)踐方面運(yùn)用于工程技術(shù)領(lǐng)域?qū)ιa(chǎn)有很大的作用。證明不等式的方法不僅有豐富的邏輯推理、還需要對不等變形和恒等技巧問題進(jìn)行思考，為何不等式證明的問題教師覺得難講、學(xué)生不會(huì)做呢？很大的因素是因?yàn)槲覀兂Ｒ姾统Ｓ玫姆椒ń?jīng)常不知道怎樣用，因而，我想有必要對不等式的證明方法進(jìn)行總結(jié)概括。

三、不等式證明的若干方法

（一）比較法

這是一種證明不等式的最基本的方法，具體有“作差法”和“作商法”兩種。此法表現(xiàn)了簡化了思路方法，其基本證明思路是把難以比較的式子變成其差與0比較，或者其商與1比較。通常狀況下，若求證的不等式兩頭是分式時(shí)，常用作差法；若求證的不等式兩頭是乘積方式或冪指數(shù)方式時(shí)，常用作商法來比較。

（二）歸納法

由已知條件出發(fā)，憑借某些現(xiàn)已證明過的不等式和不等式的性質(zhì)及其有關(guān)定力，根據(jù)逐漸的邏輯推理，處處所要證明的不等式建立。此法的特點(diǎn)是“由因?qū)Ч保磸摹耙阎笨础耙阎薄?/p>

（三）研究法

研究法是用研究證明，“若A則B”這個(gè)問題模式是：欲證B的真，只需證明B1的真，然后又……，只需證明A為真，故B真?？梢娧芯糠ㄊ悄霉饕?，步步尋求上一步建立的充分條件。

這即是假定不等式建立，然后運(yùn)用不等式的基本條件，逐漸推演，變形，最終得到一個(gè)簡單顯著建立或已證明建立的不等式；而推證又可逆，我們就能夠斷定不等式建立，這種方法是我們證明不等式的基本方法之一。

總結(jié)：從求證的不等式出發(fā)，研究使這個(gè)不等式建立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為斷定這些充分條件是否建立的問題。如果能夠相應(yīng)這些充分條件建立，那么就能夠判斷原不等式建立，這即是研究法。通常狀況是直接推理不容易，就從定論找條件來推理。

（四）換元法

這是一種使很多實(shí)踐問題處理中化難為易，化繁為簡的方法，有些問題直接證明較為困難，若根據(jù)換元的方法去解則很簡便，常用于條件不等式的證明，常見的是“三角換元法”和“比值換元法”。

①三角換元法：這是一種常用的換元方法，在處理代數(shù)問題時(shí)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，再充分運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)去處理問題；②比值換元法：此法對于在已知條件中富含很多個(gè)等比式的問題，通?？上仍O(shè)一個(gè)輔佐不知道數(shù)表明這個(gè)比值，然后代入要求證的式子即可。

（五）放縮法

這種方法是在證明不等式時(shí)，把不等式一邊適當(dāng)擴(kuò)展或減小，運(yùn)用不等式的傳遞性來證明不等式。此法是證明不等式的重要方法，技巧性強(qiáng)。通常用到的技巧有：①舍去一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)。②在和或積中換大或換小某些項(xiàng)。③擴(kuò)展或減小分式的分子或分母等。

（六）反證法

某些不等式從正面出發(fā)，不容易下手，能夠思考反證法。即先否定定論不建立，然后再根據(jù)已知條件及其有關(guān)概念、定理、正義等，逐漸推導(dǎo)出與這些相或自相的定論，然后相應(yīng)原有定論是準(zhǔn)確的。通常狀況下，但凡呈現(xiàn)“最少”、“僅有”或者富含否定的出題，適用反證法。此法的過程為：反設(shè)定論找出相應(yīng)定論。

（七）數(shù)學(xué)概括法

此法通常用來證明與自然數(shù)N有關(guān)的不等式，在證明進(jìn)程中需求分兩個(gè)過程，這兩個(gè)缺一不可。

（八）判斷式法

此法憑借于二次函數(shù)中，判斷式恒小于0，得出二次函數(shù)恒大于0，或者恒小于0。

（九）運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性證明

理論根據(jù)：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)單調(diào)遞加（或單調(diào)遞減）的充要條件是（或）。

因?yàn)椴坏仁脚c函數(shù)有密切關(guān)系，因而，據(jù)求證的不等式構(gòu)造出函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性能夠證明某些不等式，此方法特別適用于函數(shù)不等式的證明。

運(yùn)用定積分的性質(zhì)證明不等式。理論根據(jù)：設(shè)f，g為概念[a，b]在上兩個(gè)可積函數(shù)，若，則有。

定積分是憑借于積分學(xué)的知識(shí)，證明不等式的一種方法，它重要運(yùn)用積分的基本公式、基本性質(zhì)、基本定理證明不等式。

四、結(jié)束語

不等式的證明是多變的，因題而異。但萬變不離其宗，大都需從運(yùn)用概念及基本性質(zhì)下手，尋求處理之道。在平時(shí)教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師仍是要根據(jù)很多的練習(xí)，協(xié)助學(xué)生掌握常見的方法的運(yùn)用。希望這篇文章在這方面能起到拋磚引玉的作用。文章總結(jié)了運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)證明不等式的若干方法，指出每一種方法的適用范圍和運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng)及具體過程。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡興光，鄭列.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用與提高[M].北京：北京科學(xué)出版社，2012.

[2]何衛(wèi)力.高等數(shù)學(xué)方法引導(dǎo)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014.