李 凱

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淺析導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

李 凱

（貴州省六盤水師范學(xué)院 貴州 六盤水 553000）

導(dǎo)數(shù)是微積分中的基本概念，是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)的引入，為很多問題提供了新的視野，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)在很多方面都有著重要應(yīng)用。一線高中數(shù)學(xué)教師要充分認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)思想對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的重要意義，將導(dǎo)數(shù)作為工具融入到其他知識(shí)的教學(xué)中。本文主要從函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值、函數(shù)最值、繪制函數(shù)圖像、不等式證明、數(shù)列研究等六個(gè)方面闡述導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用，以期給一線數(shù)學(xué)教師及高中學(xué)生提供參考。

導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用；函數(shù)；數(shù)列；不等式

引言

導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展凝聚著幾代數(shù)學(xué)家的心血，具有濃厚的時(shí)代背景和重要的歷史意義。導(dǎo)數(shù)思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬為研究極值問題而引入的，但與導(dǎo)數(shù)概念有直接聯(lián)系的是已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度和已知曲線求切線的問題，是由英國數(shù)學(xué)家牛頓和萊布尼茨分別在研究力學(xué)和幾何學(xué)過程中建立起來的[1]。導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生后就有了廣泛的應(yīng)用，下面我們具體分析導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

1 導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用

單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，剛接觸單調(diào)性時(shí)，我們是直接用定義來判斷函數(shù)單調(diào)性的，操作起來復(fù)雜而繁瑣。而導(dǎo)數(shù)法可以避免繁瑣的程序，只需按照固定的步驟運(yùn)算即可，大大簡化了判斷函數(shù)單調(diào)性問題。

在求解函數(shù)單調(diào)性時(shí)，只需計(jì)算這一區(qū)間上導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，導(dǎo)數(shù)值為正，則函數(shù)在這一區(qū)間上單調(diào)遞增，如果導(dǎo)數(shù)值為負(fù)，則函數(shù)在這一區(qū)間上是單調(diào)遞減的?？梢哉f，在研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)，導(dǎo)數(shù)起到了關(guān)鍵作用。與之前的定義法證明函數(shù)單調(diào)性相比，導(dǎo)數(shù)法簡單而程序化，是一種更具有可操作性的方法，為研究函數(shù)的單調(diào)性提供了極大的便利[2]。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，導(dǎo)數(shù)一直是研究函數(shù)單調(diào)性的重要工具，一線教師要充分培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的意識(shí)，使學(xué)生遇到求解函數(shù)單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的問題時(shí)，優(yōu)先考慮導(dǎo)數(shù)法。

2 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值方面的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的極值時(shí)也有著非常重要的作用，前面我們已經(jīng)討論了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問題，而極值與函數(shù)單調(diào)性息息相關(guān)，現(xiàn)在我們在前面的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值時(shí)的應(yīng)用。

極值是指函數(shù)在某點(diǎn)附近的一個(gè)局部的最大值或最小值，極值并不是在整個(gè)區(qū)間上的大小比較。如果某個(gè)值是函數(shù)的一個(gè)極大值，只能說明在一點(diǎn)附近它是函數(shù)的最大的值，但對(duì)于函數(shù)的整個(gè)定義域來說，不一定是最大值。對(duì)于極小值來說也是同樣的道理。

在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)，首先要對(duì)所研究的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)將函數(shù)的定義域分割成幾個(gè)區(qū)間，分別判斷導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的正負(fù)，得到各區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，若對(duì)于某個(gè)零點(diǎn)，其左側(cè)函數(shù)是單調(diào)遞增的，右側(cè)是單調(diào)遞減的，則其為極大值點(diǎn)；若對(duì)于某個(gè)零點(diǎn)，其左側(cè)函數(shù)是單調(diào)遞減的，右側(cè)是單調(diào)遞增的，則其為極小值點(diǎn)。

3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值和值域中的應(yīng)用

在生活、生產(chǎn)、工程、科學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域中，我們經(jīng)常會(huì)遇到求利潤最高、成本最低、面積體積最大，周長最小等問題，其實(shí)這些問題就是求解函數(shù)的最值問題的具體應(yīng)用。前面我們已經(jīng)研究了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的作用，這里我們將繼續(xù)研究導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值上的應(yīng)用。

函數(shù)的連續(xù)性告訴我們，假設(shè)函數(shù)在某閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的，那么函數(shù)在這一閉區(qū)間上就一定會(huì)有最大值和最小值[3]。如果函數(shù)在開區(qū)間上能取得最值，我們知道其最值一定是函數(shù)的極值，但是函數(shù)的最值也有可能在端點(diǎn)處取到，此時(shí)我們認(rèn)為函數(shù)在開區(qū)間上不能取得那個(gè)最值。

求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，我們先按照求極值的方法求出函數(shù)在相應(yīng)的開區(qū)間上的極值，再計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值，將所有極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行大小比較，最大的即為最大值，最小的即為最小值。導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)最值問題時(shí)方法步驟也都是固定的，給我們解決問題提供了極大的方便。解決了函數(shù)的最值問題，函數(shù)的值域問題也就迎刃而解了。關(guān)于導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)值域方面的問題，可以參考求函數(shù)最值問題，在此不再贅述。

由函數(shù)準(zhǔn)確的圖像我們能夠直觀的觀察其最大最小值。但是對(duì)于大部分函數(shù)來說，準(zhǔn)確圖像難以做出，也就難以從圖像入手得到函數(shù)的最大值和最小值。導(dǎo)數(shù)為我們提供了用代數(shù)法解決函數(shù)極值與最值問題的新途徑，是一種簡潔又實(shí)用的方法。一線教師在教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)區(qū)分函數(shù)的極值與最值，并牢固掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值與極值的方法，在這個(gè)過程中充分體會(huì)導(dǎo)數(shù)的意義與價(jià)值。

4 導(dǎo)數(shù)在繪制函數(shù)圖像中的應(yīng)用

在前面的章節(jié)里，我們已經(jīng)討論了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)各種性質(zhì)的方法，在此基礎(chǔ)上，我們可以繪制函數(shù)的圖像。用導(dǎo)數(shù)繪制函數(shù)圖像的步驟如下：

（1）首先我們要求出函數(shù)的定義域，確定圖像的范圍，也就是明確函數(shù)的最大值最小值；

（2）討論函數(shù)的奇偶性、有沒有對(duì)稱軸，對(duì)稱中心，判斷函數(shù)是否有周期性，如果有，周期也要計(jì)算出來；

（3）討論曲線的漸近線，然后考慮圖像延展到無窮遠(yuǎn)處時(shí)的形態(tài)；

（4）求出使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和二階代數(shù)為零的點(diǎn)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，列表討論確定函數(shù)的極值、圖像的增減、凸向及拐點(diǎn)；

（5）描出曲線上已求得的幾個(gè)特殊點(diǎn)，比如與極值點(diǎn)相應(yīng)曲線的點(diǎn)、拐點(diǎn)，還有曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。必要時(shí)再補(bǔ)充一些較好求的點(diǎn)。并按照上述步驟中所得到的信息逐段進(jìn)行繪圖。

5 導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

不等式的證明是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的課題，不等式證明的方法多樣，對(duì)于不同的問題可以靈活選取不同的方法[4]。如果題目中所給的函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，并且可以構(gòu)造出一個(gè)合適的函數(shù)時(shí)，我們可以考慮用導(dǎo)數(shù)來證明不等式。如果題目中所給的函數(shù)不是可導(dǎo)函數(shù)，就無法用導(dǎo)數(shù)來證明不等式了。所以對(duì)于所給題目我們應(yīng)該首先判斷是否是可導(dǎo)的。

利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式適用于所給的不等式是在某個(gè)區(qū)間上成立的，這種方法最重要的是構(gòu)造合適的輔助函數(shù)。在構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)，最基本的思路是做差，如在區(qū)間I上證明f(x)>g(x)，可做差構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，然后求導(dǎo)研究函數(shù)在區(qū)間I上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性證明不等式。除了做差，我們還可以通過作商，取對(duì)數(shù)等來構(gòu)造輔助函數(shù)。

6 導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用

前面我們詳細(xì)介紹了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，數(shù)列是特殊的函數(shù)，這就使我們自然而然的想到導(dǎo)數(shù)也能夠解決數(shù)列中的某些問題[5]。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是我們所熟知的，但我們知道，只有在連續(xù)的區(qū)間上，求導(dǎo)才是有意義的，而數(shù)列是定義域?yàn)?的不連續(xù)的函數(shù)，若想用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性問題，我們必須構(gòu)造輔助函數(shù)。在構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)，一般構(gòu)造連續(xù)函數(shù)，若輔助函數(shù)有奇異點(diǎn)，則分區(qū)間進(jìn)行討論。根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性我們可以進(jìn)一步確定數(shù)列中的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)?？梢哉f，導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中有著廣泛應(yīng)用。

7 結(jié)論：

一線數(shù)學(xué)教師要在知識(shí)的講授中充分融入導(dǎo)數(shù)思想，讓學(xué)生體會(huì)到導(dǎo)數(shù)可以使復(fù)雜問題簡單化，在解決問題時(shí)具有輕便性和技巧性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形式化的美。導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)各個(gè)方面的應(yīng)用，為其注入了新鮮的血液，提供了研究問題的新途徑，可以說，導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位是不可替代的。

[1]楊怡寧.導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用研究[J].經(jīng)貿(mào)實(shí)踐,2018(02):326.

[2]張美娟.高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的教學(xué)研究[D].西北大學(xué),2017.

[3]韋問敏.高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題解題研究[D].云南師范大學(xué),2017.

[4]韓棟.高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)解題策略教學(xué)研究[D].西北大學(xué),2016.

[5]王錦.導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].成功(教育),2012(08):187.

derivative is the basic concept of calculus and the foundation of modern mathematics. The introduction of derivative provides a new perspective for many problems. In mathematics teaching in senior high school, derivative has important application in many aspects. First line high school mathematics teachers should fully realize the importance of derivative thought to students' learning, and integrate derivative as a tool into the teaching of other knowledge. This paper expounds the important application of derivative from six aspects, such as function monotonicity, function extreme value, function maximum value, drawing function image, inequality proving and number sequence research, in order to provide reference for first-line mathematics teachers and senior high school students.

derivative; Application; function; sequence; inequality

10.19551/j.cnki.issn1672-9129.2017.11.163

G633.6

A

1672-9129(2017)11-0136-02

李凱，貴州省六盤水師范學(xué)院，專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)