黃文禮+張睿軒

摘要針對(duì)現(xiàn)有時(shí)間序列模型難以刻畫(huà)參數(shù)漸變性的問(wèn)題，對(duì)厚尾隨機(jī)波動(dòng)（SV）模型的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行了推廣，采用基于貝葉斯的MCMC方法，選取2013年5月～2016年6月這一經(jīng)歷多輪震蕩的上證指數(shù)作為實(shí)證分析對(duì)象，構(gòu)造了基于Gibbs抽樣的MCMC過(guò)程進(jìn)行仿真分析.結(jié)果顯示，以卡方分布作為厚尾參數(shù)的先驗(yàn)分布能夠有效地描述數(shù)據(jù)波動(dòng)的厚尾特征，并且能得到較高精度的參數(shù)估計(jì)結(jié)果.結(jié)果表明，厚尾SV模型能有效反映出我國(guó)股市尖峰厚尾和波動(dòng)長(zhǎng)期記憶性的特征.

關(guān)鍵詞SV模型 ；貝葉斯估計(jì)；MCMC方法

中圖分類(lèi)號(hào)O218.8文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

1引言

波動(dòng)性是金融市場(chǎng)最為重要的特征之一，關(guān)于有價(jià)證券的收益率波動(dòng)一直是金融學(xué)研究的熱點(diǎn).為了對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行估計(jì)，學(xué)者們進(jìn)行過(guò)廣泛而深入的探索，其中最具代表性的兩類(lèi)模型分別是Engel[1]提出的自回歸條件異方差（ARCH）類(lèi)模型和Taylor[2]提出的隨機(jī)波動(dòng)率（SV）模型.但ARCH類(lèi)模型中條件方差的估計(jì)值與過(guò)去擾動(dòng)項(xiàng)直接相關(guān)，因此當(dāng)存在異常觀測(cè)值時(shí)，模型估計(jì)出的波動(dòng)序列不是很穩(wěn)定.而SV模型假定時(shí)變方差是一類(lèi)不可觀測(cè)的隨機(jī)過(guò)程，因此其估計(jì)的波動(dòng)序列比ARCH類(lèi)模型更加穩(wěn)定.對(duì)此，Shephard[3]通過(guò)對(duì)比兩類(lèi)模型，發(fā)現(xiàn)SV模型比ARCH模型能更好地描述金融數(shù)據(jù)的特性，特別是對(duì)2個(gè)模型的預(yù)測(cè)的均方誤差的比較發(fā)現(xiàn)，SV模型比ARCH模型具有更好的預(yù)測(cè)能力，尤其是對(duì)長(zhǎng)期波動(dòng)性的預(yù)測(cè)[4].

但是，由于SV模型自身的復(fù)雜性，模型的似然函數(shù)解析式與無(wú)條件矩的解析形式往往難以獲得，無(wú)法進(jìn)行極大似然估計(jì)，故如何對(duì)SV模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)就是一個(gè)具有現(xiàn)實(shí)意義的問(wèn)題.對(duì)此，Metropolis提出了馬爾科夫蒙特卡洛（MCMC）方法，Hasting[5]在此基礎(chǔ)上提出了MetropolisHasting算法，Geman[5]提出了Gibbs抽樣，這兩種算法因其靈活性和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使得針對(duì)復(fù)雜模型及其后驗(yàn)分布的精確估計(jì)成為可能.除了MCMC方法，國(guó)外學(xué)者對(duì)SV模型的估計(jì)方法進(jìn)行了大量研究，并取得了豐富的成果：Harvey[5]等人的偽極大似然估計(jì)，Anderson，Chung[5]的有效矩估計(jì)， Dimitrakopoulos Stefano[6]針對(duì)時(shí)變參數(shù)SV（TVPSV）模型提出的一種半?yún)?shù)貝葉斯估計(jì)方法，Milan Mrázek[7]等人基于非線性最小二乘法對(duì)分?jǐn)?shù)維SV模型參數(shù)估計(jì)精確度的校準(zhǔn).在眾多估計(jì)方法中，蒙特卡羅隨機(jī)模擬相對(duì)于其他方法，效率較高，易于編程實(shí)現(xiàn).本文即選用基于貝葉斯的MCMC方法對(duì)SV模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì).

由于許多金融時(shí)間序列的無(wú)條件分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比，會(huì)呈現(xiàn)出較大的峰度和更厚的尾部，因此為了將基本的SV模型擴(kuò)展到較一般的形式，經(jīng)過(guò)學(xué)者們多年的研究，SV類(lèi)模型已經(jīng)發(fā)展出了離散和連續(xù)兩類(lèi)的眾多擴(kuò)展模型.比如，Geweke[7]對(duì)模型進(jìn)行貝葉斯分析時(shí)提出了厚尾SV模型，即將標(biāo)準(zhǔn)SV模型中觀測(cè)方程的隨機(jī)誤差項(xiàng)設(shè)定為具有厚尾特征的概率分布如t分布、GED分布等，從而可以更好地描述金融時(shí)間序列的尖峰厚尾特征.Bredit[8]針對(duì)金融波動(dòng)序列的長(zhǎng)記憶性提出了長(zhǎng)記憶隨機(jī)波動(dòng)模型（LMSV），Chib[5]將跳躍過(guò)程引入到了SV模型中，提出了跳躍SV模型，并提供了一種快速有效的估計(jì)模型參數(shù)的MCMC算法，以此來(lái)解決如何反映金融市場(chǎng)中的突發(fā)事件和較大波動(dòng)的問(wèn)題.

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第 34卷第1期

黃文禮等：厚尾隨機(jī)波動(dòng)率模型的貝葉斯參數(shù)估計(jì)及實(shí)證研究

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)SV模型進(jìn)行了大量研討，這其中包括：劉鳳芹和吳喜之[9]利用一種改進(jìn)的MCMC方法估計(jì)了SV模型，并對(duì)上證指數(shù)進(jìn)行了波動(dòng)性分析；朱慧明[10]在研究滬深300股指期貨數(shù)據(jù)時(shí)，考慮到期貨市場(chǎng)與現(xiàn)貨市場(chǎng)之間存在雙向波動(dòng)溢出效應(yīng)以及仿真交易與實(shí)盤(pán)交易在期貨與現(xiàn)貨聯(lián)動(dòng)性、交易策略等方面存在的差異，建立了一個(gè)多變量厚尾SV模型，并借助MCMC方法實(shí)現(xiàn)了模型的參數(shù)估計(jì).于冉春[11]分別選用標(biāo)準(zhǔn)SV模型和厚尾SV模型對(duì)美國(guó)標(biāo)普500指數(shù)進(jìn)行了實(shí)證分析，得出厚尾SV模型更能夠準(zhǔn)確描述標(biāo)普指數(shù)波動(dòng)具有長(zhǎng)期記憶性的特征.而吳鑫育、馬超群[12]等以上證指數(shù)和深證成指為例，提出極大似然方法估計(jì)了4種不同收益率分布假定的SV模型，通過(guò)比較認(rèn)為具有偏學(xué)生t分布假定的SVSKt模型能夠更好地描述中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)性.在研究中發(fā)現(xiàn)，我國(guó)股市呈現(xiàn)出許多不同于傳統(tǒng)研究中波動(dòng)的典型特征，比如反杠桿效應(yīng)，即股票價(jià)格運(yùn)行未來(lái)價(jià)格波動(dòng)呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，特別是2015下半年和2016年年初，整個(gè)股市出現(xiàn)了罕見(jiàn)的大幅波動(dòng).而對(duì)于具有以上新型特征的中國(guó)股市，有關(guān)厚尾SV模型是否還能有效刻畫(huà)出我國(guó)資本市場(chǎng)波動(dòng)性的相關(guān)研究還相對(duì)缺乏.本文考慮到金融時(shí)間序列普遍存在的尖峰厚尾性，為了驗(yàn)證SV模型對(duì)現(xiàn)階段我國(guó)股市的擬合效果，擬進(jìn)行基于MCMC仿真的厚尾SV模型的貝葉斯參數(shù)估計(jì)，研究以上證綜指為代表的金融時(shí)間序列的波動(dòng)特征.

2厚尾SV模型結(jié)構(gòu)

重復(fù)以上步驟進(jìn)行N次迭代，直到Markov鏈達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài).在Gibbs抽樣的初始階段，參數(shù)的初始值設(shè)定對(duì)隨機(jī)數(shù)的生產(chǎn)有較大的影響，此時(shí)Markov鏈?zhǔn)欠瞧椒€(wěn)的，所以在估計(jì)模型參數(shù)時(shí)，通常去掉最初的M個(gè)非隨機(jī)數(shù)，對(duì)剩下的NM個(gè)抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)的后驗(yàn)分布統(tǒng)計(jì)推斷.

4估計(jì)結(jié)果和分析

4.1樣本數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)特征

2015年開(kāi)始，中國(guó)股市再次表現(xiàn)強(qiáng)勁，然而受多種因素影響，上證綜指又從2015年6月的5 300多點(diǎn)跌至2016年5月的2 800多點(diǎn)，期間又經(jīng)歷了2016年年初的熔斷機(jī)制事件，短短一年多時(shí)間，中國(guó)股市就經(jīng)歷了史無(wú)前例的大牛市和超級(jí)熊市，股票價(jià)格波動(dòng)劇烈，這表明我國(guó)股市還存在非常多的問(wèn)題.因此本文使用的數(shù)據(jù)包括2013年5月～2016年6月的上證指數(shù)歷史收盤(pán)價(jià)，樣本容量為752，涵蓋了本輪牛市之前、期間、之后的數(shù)據(jù)，以分析中國(guó)股市的波動(dòng)特征.收益率的計(jì)算本文均采用對(duì)數(shù)收益率方法，并繪制出對(duì)數(shù)收益率的時(shí)序圖和直方圖，見(jiàn)圖1.同時(shí)，利用QQ圖對(duì)上證指數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行分析（見(jiàn)圖2）.

通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)上證指數(shù)實(shí)際數(shù)據(jù)的峰度比正態(tài)分布數(shù)據(jù)的峰度要高，腰部較瘦，尾部較厚，并且直方圖并不是完全對(duì)稱的，而是略有偏斜.從Q-Q圖中可以很明顯的看出上證指數(shù)和指數(shù)的收益率分布在收益和損失兩端均偏離直線，因而表現(xiàn)出明顯的厚尾特征，也就是出現(xiàn)異常值的頻率比正態(tài)分布的要高.因此再次驗(yàn)證了中國(guó)股市尖峰厚尾特性.

4.2參數(shù)估計(jì)結(jié)果和分析

本文使用MCMC仿真方法對(duì)厚尾SV模型進(jìn)行貝葉斯參數(shù)估計(jì)，首先對(duì)每個(gè)參數(shù)進(jìn)行 1 000次迭代，進(jìn)行退火，以保證參數(shù)的收斂性.然后舍棄原來(lái)的迭代，再進(jìn)行10 000次的迭代對(duì)模型進(jìn)行模擬仿真的過(guò)程.圖3給出了厚尾SV模型參數(shù)相應(yīng)的后驗(yàn)分布密度函數(shù)仿真結(jié)果，參數(shù)估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1.

由圖3可知，對(duì)于厚尾SV模型的參數(shù)，其后驗(yàn)分布密度圖基本上是對(duì)稱的，說(shuō)明這些參數(shù)的貝葉斯估計(jì)值與真實(shí)值非常接近，誤差很小.但是對(duì)于參數(shù)τ，其后驗(yàn)密度函數(shù)都呈現(xiàn)出右偏趨勢(shì)，說(shuō)明這些參數(shù)的樣本中存在一些偏大的異常點(diǎn)，使得它們的貝葉斯估計(jì)值比真實(shí)值要大，因此參數(shù)τ可能會(huì)被高估.同樣得，參數(shù)φ的后驗(yàn)密度函數(shù)呈偏左趨勢(shì)，說(shuō)明參數(shù)中存在一些偏小的異常點(diǎn)，使得它們的貝葉斯估計(jì)值比真實(shí)值要小，故參數(shù)φ可能會(huì)被低估.

雖然厚尾SV模型的某些參數(shù)的貝葉斯估計(jì)值可能會(huì)偏高或偏低，但是整體看來(lái)，模型各個(gè)參數(shù)的后驗(yàn)分布密度都具有非常明顯的單峰特征，說(shuō)明利用后驗(yàn)均值對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的誤差是非常小的.因此，綜合對(duì)厚尾SV模型參數(shù)的樣本軌跡圖以及后驗(yàn)分布密度圖的分析可知：對(duì)厚尾SV模型參數(shù)進(jìn)行貝葉斯估計(jì)是合理的，并且估計(jì)結(jié)果是有效的.

結(jié)合模型參數(shù)的貝葉斯估計(jì)情況，首先可以看出SVT模型參數(shù)的估計(jì)結(jié)果是比較精確的，各參數(shù)的MCMC誤差相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)差都要小很多，再一次驗(yàn)證了對(duì)厚尾SV模型參數(shù)進(jìn)行貝葉斯估計(jì)的合理性.并且在程序運(yùn)行的時(shí)間也較短，表明算法的精確度和效率是比較好的.同時(shí)可以得到以下結(jié)論：厚尾SV模型的厚尾成分參數(shù)ω估計(jì)值為16.1，且MC誤差為0.239 7，表明上證綜指的收益率不服從正態(tài)分布，具有明顯的厚尾特征，此結(jié)論與前面對(duì)QQ圖的分析結(jié)果是一致的；厚尾SV模型的波動(dòng)持續(xù)性值φ為0.860 4，這說(shuō)明上證指數(shù)具有較為明顯的波動(dòng)持續(xù)性，這也與在實(shí)際生活中的感受相吻合：樣本數(shù)據(jù)涵蓋了2013年～2016年的上證指數(shù)收益率，期間整個(gè)資本市場(chǎng)經(jīng)歷了多輪較大起伏的波動(dòng)，且一個(gè)大的波動(dòng)之后往往跟著另一個(gè)波動(dòng).SVT模型在模擬波動(dòng)持續(xù)性這一波動(dòng)特點(diǎn)上的具有良好的擬合效果.

5總結(jié)

本文針對(duì)厚尾SV模型進(jìn)行了貝葉斯分析，分析了模型的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行了貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷，設(shè)計(jì)了模型參數(shù)估計(jì)的Gibbs的抽樣算法.在對(duì)中國(guó)股市的波動(dòng)性進(jìn)行實(shí)證研究時(shí)，選取了近一輪股市波動(dòng)前中后三個(gè)不同階段的數(shù)據(jù)，以更加全面地了解我國(guó)股市的波動(dòng)特征，并以此為例來(lái)檢驗(yàn)厚尾SV模型在新興資本市場(chǎng)當(dāng)中的擬合效果.結(jié)合對(duì)上證指數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析以及MCMC抽樣方法中參數(shù)的樣本軌跡收斂性，本文認(rèn)為，在股市經(jīng)歷較大幅度波動(dòng)時(shí)，厚尾SV模型仍然能夠比較準(zhǔn)確地描述中國(guó)股市的波動(dòng)性特征.

參考文獻(xiàn)

[1]Engel R F. Automatic conditional heteroscedasticity with estimation of the variance of the united kingdom inflation [J].Econometrica， 1982， 50（4）：987-1007.

[2]Taylor S J. Modelling financial time series [M].Hoboken： John Wiley，1986.

[3]Harvey A， Shephard N. Estimation of an asymmetryic stochastic volatility model for asset returns [J].Journal of Business and Economic Statistics，1996，14（4）：429-434.

[4]郝利亞， 朱慧明. 貝葉斯金融隨機(jī)波動(dòng)模型及應(yīng)用[M].北京：經(jīng)濟(jì)管理出版社， 2015.

[5]于冉春. 基于MCMC貝葉斯方法的隨機(jī)波動(dòng)率模型實(shí)證研究[D].上海：上海師范大學(xué)商學(xué)院. 2014.

[6]Dimitrakopoulos S. Semiparametric Bayesian inference for timevarying parameter regression modelswith stochastic volatility [J].Economics Letters. 2017，150（1）：10-14.

[7]Milan M， Jan P， Tomá S. Oncalibration of stochastic and fractional stochastic volatility models [J].European Journal of Operational Research. 2016，254（3）：1036-1046.

[8]黃超. 基于貝葉斯跳躍厚尾隨機(jī)波動(dòng)模型的中國(guó)股市波動(dòng)性研究[D]. 長(zhǎng)沙：湖南大學(xué)工商管理學(xué)院. 2010.

[9]Breidt F J， Crato N， Lima P. The detection andestimation of long memory in stochastic volatility[J].Journal of Econometrics，1998，83（1）：325-348.

[10]劉鳳芹，吳喜之. 隨機(jī)波動(dòng)模型參數(shù)估計(jì)的新算法及其在上海股市的實(shí)證[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐， 2006， 26（4）：27-31.

[11]朱慧明， 李鋒， 楊錦明. 基于MCMC模擬的貝葉斯厚尾金融隨機(jī)波動(dòng)模型分析[J].運(yùn)籌與管理. 2007， 16（4）：111-115.

[12]吳鑫育，馬超群，汪壽陽(yáng). 隨機(jī)波動(dòng)率模型的參數(shù)估計(jì)及對(duì)中國(guó)股市的實(shí)證[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐. 2014，34（1）：35-44.

[13]Kim S，Shephard C.Stochastic volatility：likelihood inference and comparison with ARCH models[J].Review of Economics Studies， 1998，224（65）：361-393.

[14]Jun，Yu. Forecasing volatility in the New Zealand stock market[J].Journal of Finance Economics， 2002，12（3）：193-202.

[15]Meyer R， Jun Y. BUGS for a Bayesian analysisof stochastic volatility models[J].Econometrics Journal， 2000，3（2）：198-215.