張繁昌,彭德木,張營(yíng)革,高秋菊,張佳佳

(1.中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島266580;2.中國(guó)石油化工股份有限公司勝利油田分公司物探研究院,山東東營(yíng)257031)

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基于對(duì)偶對(duì)數(shù)障礙規(guī)劃算法的基追蹤反演

張繁昌1,彭德木1,張營(yíng)革2,高秋菊2,張佳佳1

(1.中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島266580;2.中國(guó)石油化工股份有限公司勝利油田分公司物探研究院,山東東營(yíng)257031)

常規(guī)基追蹤反演方法僅僅依賴于地震數(shù)據(jù),分辨率依然不足,可能導(dǎo)致反演結(jié)果與實(shí)際工區(qū)情況不符。為此,在基追蹤反演算法中引入地質(zhì)模型約束,構(gòu)建先驗(yàn)?zāi)Ｐ图s束目標(biāo)函數(shù),將其轉(zhuǎn)化為約束最優(yōu)化問(wèn)題,然后利用對(duì)偶對(duì)數(shù)障礙規(guī)劃算法進(jìn)行求解,有效解決了基追蹤反演結(jié)果分辨率較低的問(wèn)題。二維模型數(shù)據(jù)測(cè)試結(jié)果表明,與常規(guī)基追蹤反演方法相比,改進(jìn)的基追蹤反演方法分辨率更高,在實(shí)際資料應(yīng)用中取得了較好的效果。

稀疏約束;基追蹤反演;地震反演;先驗(yàn)約束

隨著石油勘探開(kāi)發(fā)逐漸向復(fù)雜的隱蔽油氣藏和非常規(guī)油氣藏發(fā)展,對(duì)地震反演的精度和分辨能力的要求越來(lái)越高。大部分地震反演問(wèn)題都是不適定和非線性的,因而反演結(jié)果具有多解性和不穩(wěn)定性[1]?；谧兎衷淼腡ikhonov正則化方法能有效提高反演結(jié)果的穩(wěn)定性[2]。通常使用反射系數(shù)序列的L2范數(shù)[3]作為正則化函數(shù),得到較為平滑的反演結(jié)果。而研究結(jié)果表明,塊狀化的地層波阻抗能使地層邊界刻畫清晰。要得到塊狀化的地層波阻抗,則需要反射系數(shù)滿足一定稀疏性。于是在近些年來(lái),基于信號(hào)稀疏表示的L0和L1范數(shù)約束發(fā)展起來(lái)的匹配追蹤算法[4-5]和基追蹤算法成為了研究熱點(diǎn)。

匹配追蹤(Matching Pursuit,MP)算法是在變換域中找出與原信號(hào)匹配最佳,也就是內(nèi)積最大的基原子。該算法絕對(duì)收斂,穩(wěn)定可靠,但是由于每次迭代都需要在過(guò)完備字典中找出最佳原子,因此計(jì)算量巨大。另一方面,作為一種貪婪算法,迭代過(guò)程中受到上一次迭代誤差的影響,最終得到的解的稀疏性較差。隨后發(fā)展出正交匹配追蹤算法[6-7],該算法在每次迭代過(guò)程中,由于基原子的正交性,不會(huì)被同時(shí)選擇兩次,從而提高了部分計(jì)算效率。為了更好地滿足稀疏約束的要求,CHEN等[8]提出了基追蹤反演(Basis Pursuit Inversion,BPI),采用L1范數(shù)表征信號(hào)稀疏性的度量,通過(guò)最小化L1范數(shù)將反演稀疏問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有約束條件的線性規(guī)劃問(wèn)題;THEUNE等[9]基于不同的先驗(yàn)分布假設(shè)討論了塊狀化地層和平滑反演結(jié)果的差異;ZHANG等[10-11]和李愛(ài)山等[12]利用對(duì)偶對(duì)數(shù)障礙規(guī)劃算法進(jìn)行基追蹤反演得到稀疏的反射系數(shù),最終得到塊狀化的反演結(jié)果。

由于常規(guī)的基追蹤反演方法僅依賴于地震資料,其分辨率仍然有所不足,不利于隱蔽油氣藏和微小地質(zhì)體的識(shí)別[12-13]。本文提出一種改進(jìn)的基追蹤反演方法,引入先驗(yàn)?zāi)Ｐ图s束[14],合理地構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),并采用有約束最優(yōu)化問(wèn)題求解算法進(jìn)行反演,在保持地震反演穩(wěn)定性的同時(shí),提高反演結(jié)果的分辨率。

1 基本原理

地震褶積模型可以表示為如下經(jīng)典的矩陣形式:

d=Gm+n

(1)

式中:d,G,m和n分別表示地震記錄、地震子波、反射系數(shù)和噪聲。地震波阻抗反演的過(guò)程就是利用提取到的地震子波和已知的地震記錄,估計(jì)反射系數(shù),再通過(guò)道積分得到波阻抗結(jié)果。設(shè)噪聲服從正態(tài)分布,那么常規(guī)基追蹤反演問(wèn)題可以歸結(jié)為如下極小值優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)框架[15]:

(2)

式中:σ表示噪聲在信號(hào)當(dāng)中的強(qiáng)度;‖·‖p表示p范數(shù)。

常規(guī)基追蹤反演方法對(duì)反射系數(shù)的稀疏性是建立在L1范數(shù)意義下,對(duì)噪聲的抑制采用L2范數(shù)的約束形式。由于地震數(shù)據(jù)的帶限性質(zhì),采用常規(guī)基追蹤反演得到的結(jié)果分辨率不高,不利于儲(chǔ)層地質(zhì)解釋。所以,有必要對(duì)常規(guī)基追蹤反演目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn),使反演結(jié)果更有利于精細(xì)的儲(chǔ)層解釋。

由于L1范數(shù)是一種典型的稀疏分布,為此,修改約束條件,將其替換為L(zhǎng)1范數(shù)約束?？紤]到Lp范數(shù)(p≥2)約束條件下的優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)非凸函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,而L1范數(shù)約束下的優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題[16],同時(shí)它還是一種典型的稀疏分布。所以本文將公式(2)中對(duì)噪聲的約束條件由L2范數(shù)改為L(zhǎng)1范數(shù),同時(shí)引入先驗(yàn)地質(zhì)模型約束,如(3)式所示:

(3)

根據(jù)拉格朗日乘子法,(3)式可等價(jià)為求解以下優(yōu)化問(wèn)題:

(4)

Y-AX=c-d

c-d+A(a-b)=Y

(5)

式中:I為單位矩陣,進(jìn)一步定義x=(c,d,a,b)T,D=(I,-I,A,-A),b=Y,k=(1,…,1,λ,…,λ)T。則(4)式的求解與如下的約束最優(yōu)化問(wèn)題等價(jià):

minkTxs.t.Dx=b

(6)

x≥0

對(duì)(6)式的求解采用對(duì)偶對(duì)數(shù)障礙規(guī)劃算法[18],反演得到反射系數(shù)之后利用(7)式將其轉(zhuǎn)化為地層縱波阻抗信息[19]。

(7)

式中:Z(t0)為初始波阻抗值;Z(t)為計(jì)算得到的最終波阻抗值。

2 模型測(cè)試

為了說(shuō)明基于模型約束下的基追蹤反演方法的效果,構(gòu)建圖1所示的二維波阻抗模型。模型中包含斷層、透鏡體、尖滅和薄層(圖中橢圓內(nèi))。采用30Hz雷克子波生成該模型的疊后地震數(shù)據(jù),然后加入10%的高斯噪聲,結(jié)果如圖2所示。從圖2中可以看出,薄層難以區(qū)分,斷層、尖滅等不明顯。對(duì)圖2所示的地震剖面分別進(jìn)行常規(guī)基追蹤反演和改進(jìn)的基追蹤反演,得到圖3和圖4所示的反射系數(shù)剖面。對(duì)比圖3和圖4中黑色橢圓部分可以看出,常規(guī)基追蹤反演方法由于沒(méi)有加入先驗(yàn)?zāi)Ｐ图s束,反演結(jié)果欠穩(wěn)定,容易出現(xiàn)虛假反射系數(shù)序列,地層邊界刻畫不清晰;而改進(jìn)的基追蹤反演方法得到的反射系數(shù)剖面結(jié)果更加稀疏、穩(wěn)定,能夠更好地識(shí)別薄層、透鏡體的邊界。圖5,圖6分別是由圖3和圖4得到的波阻抗剖面。對(duì)比圖5和圖6可以看出,改進(jìn)的基追蹤反演結(jié)果分辨率優(yōu)于常規(guī)基追蹤反演結(jié)果,在保持反演結(jié)果穩(wěn)定性的同時(shí),能夠更好地識(shí)別出薄層與尖滅。

圖1 波阻抗模型

圖2 合成地震剖面

圖3 常規(guī)基追蹤反演得到的反射系數(shù)剖面

圖4 改進(jìn)基追蹤反演得到的反射系數(shù)剖面

圖5 常規(guī)基追蹤反演得到的波阻抗剖面

圖6 改進(jìn)的基追蹤反演得到的波阻抗剖面

3 實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用

圖7為某實(shí)際地震剖面。該地區(qū)主力儲(chǔ)層為河流相沉積,目標(biāo)層段儲(chǔ)層較薄,薄互層發(fā)育,并且地層橫向變化較大。對(duì)此地震剖面分別進(jìn)行常規(guī)基追蹤反演和改進(jìn)基追蹤反演,得到的反射系數(shù)剖面分別如圖8和圖9所示。對(duì)比圖8和圖9可以看出,常規(guī)基追蹤反演結(jié)果地層邊界模糊,同時(shí)出現(xiàn)虛假反射系數(shù),這和模型測(cè)試結(jié)果一致。圖10為常規(guī)基追蹤反演得到的波阻抗剖面(其中的測(cè)井曲線為井中波阻抗值),可見(jiàn)反演結(jié)果只能反映出較厚的砂體;圖11為用改進(jìn)的基追蹤反演方法得到的波阻抗剖面,可以看出反演結(jié)果的整體分辨率得到了提高,與測(cè)井曲線吻合得更好,能更好地識(shí)別位于黑色橢圓部位的薄儲(chǔ)層。

圖7 實(shí)際地震剖面

圖8 常規(guī)基追蹤反演得到的反射系數(shù)剖面

圖9 改進(jìn)基追蹤反演得到的反射系數(shù)剖面

為檢驗(yàn)改進(jìn)的基追蹤反演方法的計(jì)算結(jié)果,從圖10 和圖11中取出井旁道波阻抗反演結(jié)果與測(cè)井曲線進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果如圖12所示。圖12中從左至右依次為實(shí)際地震記錄、改進(jìn)基追蹤反演結(jié)果的合成記錄、反演結(jié)果與測(cè)井曲線的對(duì)比,粉紅色直線為井所在的位置。從圖12中可以看出,改進(jìn)的基追蹤反演結(jié)果的合成記錄與實(shí)際地震記錄匹配良好;同時(shí),相比于常規(guī)基追蹤反演方法,改進(jìn)的基追蹤反演結(jié)果與測(cè)井曲線更吻合,對(duì)于薄層有更好的識(shí)別能力。

圖10 常規(guī)基追蹤反演得到的波阻抗剖面

圖11 改進(jìn)基追蹤反演得到的波阻抗剖面

圖12 井旁地震道及波阻抗反演結(jié)果

4 結(jié)論

常規(guī)基追蹤反演方法由于僅僅依賴地震資料,缺乏有效的高頻信息,導(dǎo)致分辨率較低,在薄層識(shí)別和儲(chǔ)層非均質(zhì)性研究中受到限制。本文通過(guò)引入模型約束,合理的補(bǔ)償?shù)卣鹳Y料缺失的頻帶信息,同時(shí)利用L1范數(shù)進(jìn)行稀疏約束,采用對(duì)偶對(duì)數(shù)障礙規(guī)劃算法求解有約束最優(yōu)化問(wèn)題。模型測(cè)試和實(shí)際資料反演結(jié)果表明,該方法反演過(guò)程穩(wěn)定,得到的反演剖面不僅整體面貌與地震剖面一致,而且能夠提高反演結(jié)果的分辨率,更有利于識(shí)別較薄的地層。

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(編輯：顧石慶)

A basis pursuit inversion method based on the primal-duallog-barrier programming algorithm

ZHANG Fanchang1,PENG Demu1,ZHANG Yingge2,GAO Qiuju2,ZHANG Jiajia1

(1.SchoolofGeosciences,ChinaUniversityofPetroleum,Qingdao266580,China; 2.SinopecGeophysicalInstitutionofShengliOilField,Dongying257031,China)

Because the conventional basis pursuit inversion method merely depends on the seismic data,the inversion resolution is still insufficient and may cause the inversion results being not consistent with the actual geological situation.By introducing geological model constraint in the basis pursuit inversion and creating new objective function constrained via prior model,we convert it to a constrained optimization problem and solve it by the primal-dual log-barrier programming algorithm.The issue of insufficient resolution in the conventional basis pursuit inversion can be effectively addressed.Two-dimensional model tests indicate that the inversion result obtained by the improved basis pursuit inversion has better resolution than that of the conventional basis pursuit inversion method.Furthermore,better inversion result in the application of real data is achieved.

sparse constraint,basis pursuit inversion,seismic inversion,priori constraint

2016-03-22;改回日期：2016-08-05。

張繁昌(1972—),男,教授,主要從事地震反演與儲(chǔ)層預(yù)測(cè)方法研究工作。

國(guó)家自然科學(xué)基金(41404088)、中國(guó)石油天然氣股份有限公司科技重大專項(xiàng)(2014E-2107)和勝利油田分公司科研課題(YKW1605)聯(lián)合資助。

P631

A

1000-1441(2017)02-0273-07

10.3969/j.issn.1000-1441.2017.02.014

This research is financially supported by National Natural Science Foundation of China (Grant No.41404088),the Science and Technology Major Project of Petrochina(Grant No.2014E-2107) and the Scientific Research Project of Shengli Oil Field (Grant No.YKW1605).

張繁昌,彭德木,張營(yíng)革,等.基于對(duì)偶對(duì)數(shù)障礙規(guī)劃算法的基追蹤反演[J].石油物探,2017,56(2):-279

ZHANG Fanchang,PENG Demu,ZHANG Yingge,et al.A basis pursuit inversion method based on the primal-dual log-barrier programming algorithm[J].Geophysical Prospecting for Petroleum,2017,56(2):-279