江蘇省興化市陳堡初級(jí)中學(xué)(225714) 韋海關(guān) ●

縝密思維 嚴(yán)謹(jǐn)答題

江蘇省興化市陳堡初級(jí)中學(xué)(225714) 韋海關(guān) ●

中考?jí)狠S題的綜合性較強(qiáng)，不僅考查考生掌握的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想，還需要考生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)縝密地思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卮痤}、認(rèn)真地書(shū)寫(xiě)．考生由于思維的不嚴(yán)密，造成失分的情況比比皆是．以下以一道中考?jí)狠S題談?wù)勅绾慰b密思維、嚴(yán)謹(jǐn)答題:

拋物線;兩點(diǎn)間距離;一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系;最大值;分類

一、原題呈現(xiàn)

(江蘇省泰州市2016中考數(shù)學(xué)試題第26題)已知兩個(gè)二次函數(shù)y1=x2+bx+c和y2=x2+m．對(duì)于函數(shù)y1，當(dāng)x=2時(shí)，該函數(shù)取最小值．

(1)求b的值;

(2)若函數(shù)y1的圖象與坐標(biāo)軸只有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，求這兩個(gè)公共點(diǎn)間的距離;

(3)若函數(shù)y1、y2的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－2)，過(guò)點(diǎn)(0，a－3)(a為實(shí)數(shù))作x軸的平行線，與函數(shù)y1、y2的圖象共有4個(gè)不同的交點(diǎn)，這4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4－x3+x2－x1的最大值．

二、解法探究

(2)①如圖1，如果函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則c=0，此時(shí)其解析式為y1=x2－4x，由拋物線的軸對(duì)稱性可知它與x軸的另一公共點(diǎn)為(4，0)，∴函數(shù)y1的圖象與坐標(biāo)軸的兩個(gè)公共點(diǎn)間的距離為4．

②如圖2，如果函數(shù)y1的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∵函數(shù)y1的圖象與y軸定有一個(gè)交點(diǎn)，∴函數(shù)y1的圖象與x軸必只有1個(gè)公共點(diǎn)，∴Δ=(－4)2－4c=0，解得c=4．∴函數(shù)y1解析式為y1=x2－4x+4，設(shè)其圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．當(dāng)y1=x2－4x+4=0時(shí)，解得x1=x2= 2，∴A(2，0)，OA=2;當(dāng)x=0時(shí)，y1=x2－4x+4=4，∴ B函數(shù)y1的圖象與坐標(biāo)軸的兩個(gè)公共點(diǎn)間的距離為．綜上，函數(shù)y1的圖象與坐標(biāo)軸的兩個(gè)公共點(diǎn)間的距離為4或

評(píng)注 該小題考生在答題時(shí)考慮函數(shù)y1的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，往往會(huì)因?yàn)樗季S的不縝密，存在漏解的情況．為了避免該情況的出現(xiàn)，考生在答題時(shí)要認(rèn)真審題，分類討論，嚴(yán)謹(jǐn)答題，做到會(huì)的做對(duì)、對(duì)的做全．

(3)由題意得y1中，1－4+c=－2，∴c=1，∴y1=x2－4x+1．又y2中，1+m=－2，∴m=－3，∴y2=x2－3．易求得y1、y2的頂點(diǎn)分別是(2，－3)、(0，－3)，∴函數(shù)y1的圖象可以看成是由函數(shù)y2的圖象向右平移2個(gè)單位得到的．且易求得函數(shù) y1、y2的圖象的交點(diǎn) E坐標(biāo)為(1，－2)．

方法1:設(shè)點(diǎn)(0，a－3)為點(diǎn)P，設(shè)過(guò)點(diǎn)P與x軸的平行線為直線MN，設(shè)MN與函數(shù)y1、y2的圖象的4個(gè)不同的交點(diǎn)從左到右分別是A、B、C、D．則AC=BD=2．由圖3知，當(dāng)MN在點(diǎn)E(1，－2)下方時(shí)，x4－x3+x2－x1=AB+ CD＜AC+BD=4，∴此時(shí)0＜x4－x3+x2－x1＜4．

由圖4知，當(dāng)MN在點(diǎn)(1，－2)上方時(shí)，x4－x3+x2－x1=AB+CD=4．綜上，x4－x3+x2－x1的最大值為4．

評(píng)注 將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化幾為何問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)拋物線在同一坐標(biāo)系的相互平移關(guān)系，是該法應(yīng)用的精髓．但是有些考生臨場(chǎng)答卷時(shí)，會(huì)因忽略圖3情形的說(shuō)明而失分．這就需要考生在答題時(shí)有較強(qiáng)的作圖能力，并且考慮到直線MN位于點(diǎn)E上方、下方兩種情形．

方法2:①當(dāng)－3＜a－3＜－2，即0＜a＜1時(shí)，如圖3，令y1=a－3，則x2－4x+1=a－3，即x2－4x－a+4=0，則令y2=a－3，則

②a－3＞－2，即a＞1時(shí)，如圖4，令y1=a－3，則x2－4x+1=a－3，即x2－4x－a+4=0，則x4+x2=4，令y2=a－3，則x2－3=a－3，∴x2=a，則x3+x1=0，∴x4－x3+x2－x1=(x4+x2)－(x3+1)=4－0=4．

③a－3=－2，即a=1時(shí)，x2=x3，不符合題意．

綜上，x4－x3+x2－x1的最大值為4．

評(píng)注 將一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系巧妙運(yùn)用到求值式中，結(jié)合合理的分類、縝密的思維，解題嚴(yán)謹(jǐn)．

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1008－0333(2017)02－0012－01