趙榮俊 劉應(yīng)開(kāi)

·現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)·

用智能手機(jī)加速度傳感器分析彈簧振動(dòng)現(xiàn)象

趙榮俊 劉應(yīng)開(kāi)

（云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，云南昆明 650000）

將智能手機(jī)作為振子隨著彈簧一起在豎直方向上運(yùn)動(dòng)，利用基于安卓系統(tǒng)的智能手機(jī)加速度傳感器Accelogger軟件記錄振動(dòng)過(guò)程中三維空間的加速度并作出圖像．通過(guò)分析加速度隨時(shí)間的變化曲線，再結(jié)合彈簧做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)理論求出在單個(gè)彈簧和多個(gè)彈簧串聯(lián)兩種情況下的振動(dòng)周期、勁度系數(shù)和重力加速度，與傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行比較．

智能手機(jī)；加速度傳感器；勁度系數(shù)；重力加速度

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展與社會(huì)的進(jìn)步，智能手機(jī)、平板電腦等電子產(chǎn)品廣泛進(jìn)入人們的日常生活．這些擁有高科技附加值的電子產(chǎn)品擁有高精度的力傳感器、音頻傳感器、光學(xué)傳感器、GPS定位系統(tǒng)等，大大提高了手機(jī)的通訊質(zhì)量和水平．同時(shí)也為我們利用這些高精度的傳感器研究物理學(xué)中的力學(xué)、電學(xué)、聲學(xué)、原子物理等學(xué)科中的物理問(wèn)題提供了新技術(shù)和新方法，如何利用智能手機(jī)中的特殊功能的傳感器研究基本的物理問(wèn)題也成為新時(shí)期物理學(xué)教學(xué)研究的課題．［1－6］由于這些傳感器具有高的靈敏度和精確度，與傳統(tǒng)的物理實(shí)驗(yàn)方法比較，能夠更加準(zhǔn)確地測(cè)量有關(guān)的物理量，為開(kāi)展物理教學(xué)研究、準(zhǔn)確再現(xiàn)物理現(xiàn)象、揭示物理規(guī)律提供了新的方法、途徑．本文利用基于安卓系統(tǒng)的智能手機(jī)加速度傳感器Accelogger軟件對(duì)彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中每一時(shí)刻的三維空間的加速度進(jìn)行測(cè)量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)畫(huà)出各方向的加速度與時(shí)間的關(guān)系曲線．［7］結(jié)合彈簧做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的理論分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，求出所用彈簧的勁度系數(shù)、彈簧振動(dòng)周期，從而求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣龋c傳統(tǒng)方法測(cè)得的重力加速度比較表明：智能手機(jī)加速度傳感器能完整呈現(xiàn)彈簧做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律及物理圖像，且結(jié)果更加準(zhǔn)確．這為利用智能手機(jī)開(kāi)展物理教學(xué)研究提供有益嘗試，可為研究聲學(xué)、磁學(xué)等不容易被學(xué)生直覺(jué)感知的物理問(wèn)題、物理現(xiàn)象提供借鑒，準(zhǔn)確、形象生動(dòng)地再現(xiàn)物理規(guī)律．

1 加速度傳感器原理

智能手機(jī)加速度傳感器測(cè)量和記錄了任意時(shí)刻三維空間x，y，z三個(gè)方向獨(dú)立的加速度．在三維空間中，無(wú)論手機(jī)如何放置，x軸和y在同一個(gè)平面內(nèi)，y軸指向是手機(jī)底部到頂端的方向，而且這個(gè)方向?yàn)槭謾C(jī)的正方向．x軸則從左至右的走向，該方向亦是正方向；z軸走向則是面向使用者的方向．如果在某一方向上位移大小沒(méi)有發(fā)生變化，則在該方向上的加速度不變．在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中可以通過(guò)改變加速度傳感器的參數(shù)設(shè)置來(lái)獲取所需要的信息．

2 利用智能手機(jī)加速度傳感器研究單個(gè)彈簧振子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

2．1 實(shí)驗(yàn)裝置

取一根長(zhǎng)度為70mm的彈簧，其上端用一段細(xì)線固定于支架上，下端與智能手機(jī)連接，因此形成一個(gè)豎直方向上的彈簧振子．從平衡位置開(kāi)始讓手機(jī)由靜止開(kāi)始下落，并啟動(dòng)加速度傳感器，當(dāng)手機(jī)隨著彈簧一起振動(dòng)時(shí)，加速度傳感器記錄下彈簧振子的加速度大小并以曲線的形式將變化顯示出來(lái)．［8］由于彈簧振幅較小并且空氣阻力可以忽略，因此彈簧的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．

2．2 實(shí)驗(yàn)原理

在彈簧的振動(dòng)過(guò)程中，一個(gè)具有一定質(zhì)量的智能手機(jī)可以用作一個(gè)振子置于彈簧一端，跟隨著彈簧一起運(yùn)動(dòng)，此時(shí)手機(jī)的加速度傳感器會(huì)自動(dòng)記錄下彈簧在振動(dòng)過(guò)程中各個(gè)時(shí)刻三維空間的加速度大?。畬?duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，作出各方向上加速度變化曲線．在彈簧振動(dòng)方向上加速度變化曲線近似為正弦曲線，從圖像中可讀出彈簧振子的振動(dòng)周期，并根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)理論進(jìn)行彈簧勁度系數(shù)和當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊挠?jì)算，并與傳統(tǒng)方法測(cè)量結(jié)果相比較．

2．3 測(cè)量彈簧勁度系數(shù)

2．3．1 用加速度傳感器測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)

一個(gè)彈簧和振子組成的系統(tǒng)，其振動(dòng)周期［］為

在式（1）中，m為振子的質(zhì)量，M為彈簧的質(zhì)量，k為彈簧的勁度系數(shù)．實(shí)驗(yàn)中所選取的M m，因此，將彈簧的質(zhì)量M忽略不計(jì)．所以，在不考慮彈簧質(zhì)量的情況下，彈簧振動(dòng)周期［9］為

根據(jù)加速度傳感器所記錄的各個(gè)時(shí)刻的加速度數(shù)值，作出豎直方向加速度隨時(shí)間變化關(guān)系為正弦曲線．在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，振動(dòng)在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)加速度兩次達(dá)到最大值，因此，從圖像中可求出在一段時(shí)間t內(nèi)完成完整振動(dòng)的次數(shù)為n，則彈簧振子振動(dòng)的周期為

將式（3）代入式（2）并兩邊平方，則可得彈簧的勁度系數(shù)k為

2．3．2 實(shí)驗(yàn)步驟

（1）用天平稱量出智能手機(jī)的質(zhì)量m．

（2）打開(kāi)手機(jī)中的加速度傳感器并對(duì)其進(jìn)行相關(guān)參數(shù)設(shè)置．

（3）將彈簧固定，并把智能手機(jī)置于彈簧一端，放于平衡位置．

（4）靜止釋放彈簧振子，使其在豎直方向上自由振動(dòng)．

（5）同步按下加速度傳感器“開(kāi)始”按鈕，并記錄數(shù)據(jù)．

（6）將記錄的數(shù)據(jù)導(dǎo)入到電腦中進(jìn)行數(shù)據(jù)處理并作出加速度隨時(shí)間變化曲線．

2．3．3 胡克定律靜態(tài)測(cè)量彈簧勁度系數(shù)

根據(jù)胡克定律［10］F＝－kx和平衡條件

式中x為彈簧的伸長(zhǎng)量，因此，利用胡克定律測(cè)量靜態(tài)情況下的彈簧勁度系數(shù)

在靜止的狀態(tài)下通過(guò)增加砝碼改變?chǔ)，則彈簧會(huì)被拉伸，用米尺測(cè)量出豎直方向上彈簧的伸長(zhǎng)量Δx，將相應(yīng)的數(shù)值代入（6）式，作出相應(yīng)的圖像，可知彈簧的伸長(zhǎng)量與質(zhì)量的改變量成線性相關(guān)，圖像的斜率即為靜態(tài)情況下的彈簧勁度系數(shù)k．實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示．

2．4 彈簧勁度系數(shù)的計(jì)算

2．4．1 加速度傳感器計(jì)算k值

在彈簧振子的振動(dòng)過(guò)程中，手機(jī)加速度傳感器記錄了在任意時(shí)刻三維空間的加速度數(shù)值．如圖2所示為彈簧在豎直方向上振動(dòng)過(guò)程中x，z兩個(gè)方向的加速度變化情況．

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖2 彈簧振動(dòng)過(guò)程中x，z方向的加速度變化

圖中實(shí)線為z方向，虛線為x方向的加速度變化曲線．當(dāng)手機(jī)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)加速度理論值為0，在某方向上運(yùn)動(dòng)發(fā)生改變時(shí)，則會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的加速度．在該實(shí)驗(yàn)中，智能手機(jī)隨著彈簧在豎直方向上作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由于受到手機(jī)重力作用，彈簧受力較大，因此豎直方向的加速度隨著時(shí)間變化較大．嚴(yán)格意義上講手機(jī)不是質(zhì)點(diǎn)，是剛體，除了在豎直方向振動(dòng)外，在x，z兩個(gè)方向上會(huì)發(fā)生些微轉(zhuǎn)動(dòng)，且在x方向比z方向明顯，因而x、z方向加速度也會(huì)有變化，只不過(guò)沒(méi)有y方向明顯．

通過(guò)對(duì)所采集的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到了豎直方向上的加速度隨時(shí)間的變化曲線，如圖3所示．

圖3 豎直方向加速度變化圖

由圖可知，在彈簧振子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，豎直方向上彈簧的加速度隨時(shí)間的變化為正弦關(guān)系，在一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)周期中加速度達(dá)到兩次最大值．由圖可見(jiàn)，在Δt＝13s的時(shí)間間隔內(nèi)，彈簧完成了24個(gè)完整的振動(dòng)，據(jù)式（3）得彈簧的振動(dòng)周期為0．54（s）．結(jié)合（4）式，振子的質(zhì)量m＝0．27864kg，可求出彈簧的勁度系數(shù)為k＝37．72N／m．

不確定度分析：由于在使用智能手機(jī)加速度傳感器測(cè)量彈簧勁度系數(shù)的實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)誤差主要來(lái)自振子質(zhì)量的測(cè)量，根據(jù)直接測(cè)量的物理量的不確定度分析，存在兩類不確定度：A類不確定度和B類不確定度．［9］據(jù)此可得m的A，B類不確定度分別為0．17g和質(zhì)量不確定度μm＝．所以，彈簧勁度系數(shù)的不確定度［8］為因此，利用智能手機(jī)加速度傳感器測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)時(shí)，勁度系數(shù)的值為k＝（37．72±0．02）N／m．

2．4．2 胡克定律計(jì)算k值

通過(guò)改變?chǔ)使得彈簧的伸長(zhǎng)量發(fā)生變化Δx，彈簧原長(zhǎng)為x0，實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)列表1．取昆明當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭＝9．784N／kg，根據(jù)胡克定律可得到力與伸長(zhǎng)量的關(guān)系曲線如圖4所示．由圖可知，直線的斜率即為彈簧的勁度系數(shù)k＝37．79N／m．

表1 胡克定律測(cè)量勁度系數(shù)

___續(xù)表

圖4 胡克定律計(jì)算k值

2．4．3 兩種方法的對(duì)比

利用胡克定律測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)是教學(xué)與科學(xué)研究中常用的一種靜態(tài)測(cè)量法，運(yùn)用這種方法可以很方便地求出所需要的物理量，但是不能求出彈簧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中加速度變化情況，且過(guò)程繁瑣．然而，使用手機(jī)加速度傳感器研究豎直方向上彈簧的振動(dòng)并測(cè)量相應(yīng)的勁度系數(shù)，是一種動(dòng)態(tài)的測(cè)量方法．經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，測(cè)出彈簧勁度系數(shù)為k＝（37．72±0．02）N／m，與靜態(tài)情況下所得k＝37．79N／m比較接近．同時(shí)，加速度傳感器可以記錄各時(shí)刻的加速度大小并且能通過(guò)圖像直觀地展示加速度在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化圖像．因此，利用智能手機(jī)加速度傳感器研究彈簧振動(dòng)現(xiàn)象物理圖像清楚，運(yùn)動(dòng)情況直觀，且具有較高的精確度，對(duì)于中學(xué)物理教學(xué)非常實(shí)用．

3 重力加速度g的測(cè)量

3．1 加速度傳感器計(jì)算重力加速度

根據(jù)智能手機(jī)加速度傳感器所測(cè)得的彈簧勁度系數(shù)k，根據(jù)平衡條件并結(jié)合式（5）可得伸長(zhǎng)量x與所加質(zhì)量m的關(guān)系表達(dá)式為

即伸長(zhǎng)量x與質(zhì)量m為線性相關(guān)．

令α＝g／k，根據(jù)（7）式線性關(guān)系求出α值，從而根據(jù)α＝g／k，代入加速度傳感器測(cè)得的k值，即可求出重力加速度g．

圖5 彈簧伸長(zhǎng)量與質(zhì)量的關(guān)系

由直線方程可知α＝0．2573，而加速度傳感器所測(cè)得的勁度系數(shù)為k＝（37．72±0．02）N／m，且α＝g／k，因此由加速度傳感器所測(cè)得的重力加速度為g＝α×k＝9．721m／s2．已知昆明當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹間＝9．784m／s2．其相對(duì)誤差為E＝

3．2 單擺測(cè)量重力加速度

單擺實(shí)驗(yàn)中，單擺周期［9］為，兩邊平方并化簡(jiǎn)可得周期的平方與擺長(zhǎng)成線性關(guān)系，令斜率β＝4π2／g，根據(jù)斜率即可求出重力加速度，相關(guān)數(shù)據(jù)列入表2．

表2 單擺測(cè)量重力加速度

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，擬合周期T的平方與擺長(zhǎng)l的關(guān)系如圖6所示，由圖可見(jiàn)β＝4．1047，從而求得g＝9．628m／s2．加速度的相對(duì)誤差為

圖6 擬合單擺周期的平方與擺長(zhǎng)的關(guān)系曲線

3．3 結(jié)論

通過(guò)兩種方法測(cè)量重力加速度并加以比較．結(jié)果表明：使用智能手機(jī)加速度傳感器測(cè)量得到的加速度值大小與昆明當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝9．784m／s2較為接近，且相對(duì)誤差較?。脝螖[法測(cè)得昆明的重力加速度為g＝9．628m／s2，誤差較大．因此，在分析彈簧振動(dòng)及常見(jiàn)的物理現(xiàn)象中使用加速度傳感器作為研究工具比較精確且方便．與傳統(tǒng)方法相比較，智能手機(jī)加速度傳感器具有精度高的特點(diǎn)，測(cè)量的加速度更準(zhǔn)確．

4 彈簧串聯(lián)時(shí)的勁度系數(shù)k1

上述研究中，使用智能手機(jī)加速度傳感器分析了單個(gè)彈簧的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并且在動(dòng)態(tài)的情況下測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)值，與靜態(tài)情況下所得結(jié)果較為吻合．同時(shí)，分析x，z方向上加速度變化情況．對(duì)于兩個(gè)及以上的彈簧串聯(lián)或并聯(lián)的情況，利用智能手機(jī)加速度傳感器方法同樣可以測(cè)量它們的勁度系數(shù)．

將兩個(gè)完全相同的彈簧首尾相連接在一起，組成一個(gè)串聯(lián)彈簧組．其上端固定在支架上，下端懸掛手機(jī)，從平衡位置開(kāi)始靜止釋放在豎直方向上振動(dòng)，加速度傳感器記錄下任意時(shí)刻的加速度大小，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并作圖7．

可見(jiàn)，當(dāng)串聯(lián)彈簧在豎直方向的加速度隨時(shí)間的變化接近于一個(gè)正弦曲線．在Δt＝14s時(shí)間間隔內(nèi)，兩個(gè)串聯(lián)彈簧完成了18個(gè)完整振動(dòng)，在不考慮彈簧自身質(zhì)量的情況下，根據(jù)式（4）可以求得兩個(gè)串聯(lián)彈簧的勁度系數(shù)為18．18N／m．而每個(gè)彈簧的勁度系數(shù)為k＝37．79N／m，這樣的兩個(gè)彈簧串聯(lián)其勁度系數(shù)的理論值為k／2，即為18．89N／m．相對(duì)誤差為3．7%，二者符合較好．

圖7 串聯(lián)時(shí)豎直方向加速度變化

綜上所述，在利用智能手機(jī)加速度傳感器測(cè)量多個(gè)串聯(lián)彈簧的勁度系數(shù)接近理論值．因此，智能手機(jī)的加速度傳感器不僅可以研究單個(gè)彈簧的振動(dòng)，而且可以研究多個(gè)彈簧的組合振動(dòng)問(wèn)題及其串并聯(lián)彈簧的勁度系數(shù)，對(duì)于研究彈簧問(wèn)題具有普適性．

5 結(jié)論與總結(jié)

智能手機(jī)加速度傳感器作為一種新的工具研究彈簧的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，不僅使實(shí)驗(yàn)結(jié)果更加精確，而且物理圖像清晰，運(yùn)動(dòng)情況直觀．同時(shí)還能獲得傳統(tǒng)方法不能獲得的信息，如x，z方向的運(yùn)動(dòng)情況，能對(duì)彈簧的振動(dòng)有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)．同時(shí)，利用智能手機(jī)加速度傳感器還可以研究多個(gè)彈簧的組合問(wèn)題，并把這一方法推廣，利用智能手機(jī)的其他功能的傳感器研究聲學(xué)問(wèn)題、磁學(xué)問(wèn)題、原子物理問(wèn)題等，這將對(duì)自制教具的現(xiàn)代化將起到推動(dòng)作用，促進(jìn)物理教學(xué)方式、實(shí)驗(yàn)方式的多樣化和定量化．

1 Patrik Vogt and Jochen Kuhn．Analyzing free－fall with a smartphone acceleration sensor［J］．The Physics Teacher，2012（50）：182－183．

2 Patrik Vogt and Jochen Kuhn．Acceleration Sensors of smartphone：Possibilities and Examples of experiments for Application in Physics Lessons［J］．PdN－Phis，2011（7）：15－23．

3 Patrik Vogt and Jochen Kuhn．Analyzing spring pendulum phenomena with a smartphone acceleration sensor［J］．The physics Teacher，2012（50）：504－505．

4 Patrik Vogt and Jochen Kuhn．Analyzing simple pendulum phenomena with a smartphoneacceleration sensor［J］．The Physics Teacher，2012（50）：439－440．

5 K．Forinash and R．Wisman．Smartphone as portable oscillosco－pes for physics labs［J］．The Physics teacher，2012（50）：242－243．

6 Patrik Vogt and Jochen Kuhn．Analyzing radical acceleration with a smartphone acceleration sensor［J］．The Physics Teacher，2013（51）：182－183．

7 加速度傳感器＿互動(dòng)百科．http：／／www．baidu．com．／link？Url＝S－Alj．2016－02－14．

8 張春斌，王妍琳，周少娜，肖化，楊友源，THO Siew－wei．利用手機(jī)加速度傳感器探究豎直方向彈簧振子運(yùn)動(dòng)［J］．大學(xué)物理，2015，34（7）：15－19．

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2016－07－04）