馬廣明 浦仕畢

·競(jìng)賽園地·

用相對(duì)運(yùn)動(dòng)方法解兩道競(jìng)賽試題

馬廣明 浦仕畢

（北京市第十二中學(xué)，北京 100071）

相對(duì)運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)是分析運(yùn)動(dòng)問題的一種重要思想方法，尤其是在分析處理運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩個(gè)物體同時(shí)發(fā)生運(yùn)動(dòng)的相關(guān)問題時(shí)十分必要且有效．本文對(duì)物理競(jìng)賽試題中的兩道運(yùn)動(dòng)問題用相對(duì)運(yùn)動(dòng)方法進(jìn)行實(shí)例分析，以凸顯此種方法的精妙．

相對(duì)運(yùn)動(dòng)；相對(duì)速度；矢量關(guān)系

第33屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試題，有兩道涉及同一平面上兩物體的直線運(yùn)動(dòng)內(nèi)容．這兩個(gè)問題，若運(yùn)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)處理，解法簡(jiǎn)單、直觀．

題1．從樓頂邊緣以大小為v0的初速度豎直上拋一小球；經(jīng)過t0時(shí)間后在樓頂邊緣從靜止開始釋放另一小球．若要求兩小球同時(shí)落地，忽略空氣阻力，則v0的取值范圍和拋出點(diǎn)的高度

解析：兩個(gè)小球都在豎直方向上發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，在其中一個(gè)球上觀察另一個(gè)球，其做勻速直線運(yùn)動(dòng)．

圖1

設(shè)球1某時(shí)刻開始做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，球2經(jīng)過時(shí)間t0開始做自由落體運(yùn)動(dòng)．要求兩小球同時(shí)落地，就是在t0時(shí)刻，在球2上觀察球1，看到球在其上方距離球2一定距離h處，并向下以一定速度向球2運(yùn)動(dòng)．如圖1所示．

t0時(shí)刻球2的速度為0，球1此時(shí)的速度v1＝v0－gt0就是球1相對(duì)球2做勻速運(yùn)動(dòng)的速度．兩個(gè)要求：①v1方向豎直向下；②v1的大小小于v0．否則球1回到了拋出點(diǎn)或以下，先于球2落地．由此得出＜v0＜gt0．

滿足上述速度要求的條件下，t0時(shí)刻球1位于球2上方，且以速度v1勻速向球2運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷時(shí)間t＝H／v1球1追上球2，兩球相遇．則拋出點(diǎn)距地面的高度也就是對(duì)應(yīng)時(shí)間內(nèi)球2自由落體運(yùn)動(dòng)下落的高度為

此題選項(xiàng)（C）正確．

題2．一足球運(yùn)動(dòng)員1自A點(diǎn)向球門的B點(diǎn)踢球，已知A、B之間的距離為s，球自A向B的運(yùn)動(dòng)可視為水平地面上的勻速直線運(yùn)動(dòng)，速率為u，另一足球運(yùn)動(dòng)員2到AB連線的距離為l，到A、B兩點(diǎn)的距離相等．運(yùn)動(dòng)員1踢出球后，運(yùn)動(dòng)員2以勻速v沿直線去攔截該球．設(shè)運(yùn)動(dòng)員2開始出發(fā)去攔截球的時(shí)刻與球被運(yùn)動(dòng)員1踢出的時(shí)刻相同．

（1）如果運(yùn)動(dòng)員2能攔截到球，求運(yùn)動(dòng)員2開始出發(fā)去攔截球直至攔截到球的時(shí)間間隔，球被攔截時(shí)球到A點(diǎn)的距離、球到運(yùn)動(dòng)員2出發(fā)點(diǎn)的距離和運(yùn)動(dòng)員2運(yùn)動(dòng)的方向與A、B連線的夾角．

（2）為了使運(yùn)動(dòng)員2能攔截到球，求u、v、s和l應(yīng)當(dāng)滿足的條件．

參考解答給出的解法是：記運(yùn)動(dòng)員1踢出球的時(shí)刻為零時(shí)刻．設(shè)運(yùn)動(dòng)員2沿著與A、B連線夾角為θ的方向運(yùn)動(dòng)，球在時(shí)刻t被運(yùn)動(dòng)員2攔截．令球被攔截時(shí)球到A點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)員2到出發(fā)點(diǎn)的距離分別為s1和s2，則

由幾何關(guān)系有

從（3）、（4）消去θ，并利用（1）、（2）式得

此即

這是關(guān)于t的一元二次方程，解為

由（1）、（2）、（7）式得

由（4）、（9）式得

（2）方程（6）有實(shí)數(shù)解的條件是

依題意有t＞0的條件要求，則

（7）～（10）式則為

運(yùn)動(dòng)員2只能在一處攔截到球．

本文給出運(yùn)用相對(duì)運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)的分析如下．

由題設(shè)，開始時(shí)，球與運(yùn)動(dòng)員2的位置之間幾何關(guān)系如圖2所示：圖中AB與AC間夾角為α，其中AC間的距離為運(yùn)動(dòng)員2與1相遇，就是在運(yùn)動(dòng)員2看來，球于距離為的A處向自己勻速運(yùn)動(dòng)過來．其速度矢量圖如圖3所示，滿足：

圖2

圖3

從分解的角度來認(rèn)識(shí)相應(yīng)關(guān)系．

（1）在垂直AC線方向上，兩運(yùn)動(dòng)員的分速度相等，則

（2）在平行于AC線方向上，ucosα，vcosβ構(gòu)成了兩者的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度，但存在圖3中標(biāo)注的（2）和（1）兩種情況．

① 計(jì)算．相遇時(shí)間間隔，球運(yùn)動(dòng)的路程，運(yùn)動(dòng)員2運(yùn)動(dòng)的路程分別為

② 攔截條件的分析．

若矢量三角形存在，v有最小值vmin，圖3所示．則v≥usinα，代入sinα值，所求條件為

需要特別說明的是，參考答案給出的解法中關(guān)于u的數(shù)值關(guān)系的（14）式，即，是不全面、不準(zhǔn)確的，其正確關(guān)系表示應(yīng)如上式所示．

由上比較可見，用相對(duì)運(yùn)動(dòng)方法分析層次分明，物理意義明顯，對(duì)問題理解有特殊功效，不可忽視．

2016－09－16）