遼寧省鐵嶺縣高級中學(xué)(112000)

楊寧寧●

由一道高考題談三角換元法

遼寧省鐵嶺縣高級中學(xué)(112000)

楊寧寧●

解決數(shù)學(xué)問題時，換個角度思考，往往會有意想不到的收獲，甚至有時可以把復(fù)雜的問題簡單化，換元法——三角換元，可以把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，對具備某些條件的問題能起到事半功倍的效果.在保證換元前后變量范圍一致的前提條件下，三角換元法在求最值，求某些函數(shù)值域，證明不等式問題上，可以化繁為簡，優(yōu)化解題過程.

三角換元；值域；不等式

一、求表達式最值

解 設(shè)x=2cosθ,y-1=2sinθ,0≤θ<2π,

例2 在橢圓4x2+9y2=36上存在一點P,求點P到直線x+2y+36=0的距離最小值.

設(shè)x=3cosθ,y=2sinθ

例3a,b為實數(shù)，a2-ab+b2=1,求a+b的最大值.

例4x,y∈R,4x2+y2+xy=1.求2x+y的最大值.

二、求函數(shù)值域

三、證明條件不等式

例6 設(shè)a2+b2=1,c2+d2=1.求證：ac+bd≤1.

證明 設(shè)a=sinθ,b=cosθ,c=sinφ,d=cosφ,

∴ac+bd≤1.

例7 設(shè)x2+y2≤1，求證：x2-y2+2xy≤2.

證明 設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1).

三角換元，關(guān)鍵是選擇合適的換元對象，目的是變換研究對象，把復(fù)雜的問題簡單化，在保證換元過程是等量代換的前提下，合理地把條件和結(jié)論聯(lián)起來，甚至在解決數(shù)列，方程等問題中也有廣泛的應(yīng)用.

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1008-0333(2017)07-0024-01