山西省長(zhǎng)治學(xué)院附屬太行中學(xué)(046011) 郭永芳 ●

基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)遷移理論下的一道課本習(xí)題的教學(xué)

山西省長(zhǎng)治學(xué)院附屬太行中學(xué)(046011) 郭永芳 ●

根據(jù)奧蘇貝爾的有意義學(xué)習(xí)理論，學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中可利用的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)越多，越有利于學(xué)習(xí)的遷移．在一道解析幾何習(xí)題的教學(xué)中，筆者想通過(guò)改變教材呈現(xiàn)的方式，改進(jìn)學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而達(dá)到促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移的目的，即學(xué)生對(duì)曲線方程求解方法的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和掌握．

認(rèn)知結(jié)構(gòu);遷移;曲線方程

在現(xiàn)行的人教A版教材選修《數(shù)學(xué)2—1》的第37頁(yè)有一道課后練習(xí):如圖，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2，2)，過(guò)點(diǎn)C的直線CA與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

這道題出現(xiàn)在求曲線方程這一節(jié)中，課本兩個(gè)例題的目的都是要求學(xué)生逐步掌握求曲線方程的一般步驟:建立直角坐標(biāo)系——設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)——寫(xiě)動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系——列出式子——化簡(jiǎn)式子——證明(可省略)．用這樣的方法步驟可求解的曲線方程是有局限性的，即并不是所有的曲線方程都可以用這種方法求．事實(shí)上，求曲線方程的方法還有另外幾種，但是課本中并沒(méi)有涉及，但在課后命制了這么一道練習(xí)題，我便以這道題為載體，讓學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過(guò)這道題的教學(xué)，學(xué)習(xí)和掌握曲線方程的其他求法，以達(dá)到學(xué)習(xí)的遷移．

課堂上在講授這道題的時(shí)候，我先讓學(xué)生讀題，并讓他們思考如下問(wèn)題:

1．這道題已知什么，要求的是什么?

2．點(diǎn)M滿足的幾何等量關(guān)系是什么呢?

3．觀察圖形，你還能發(fā)現(xiàn)哪些幾何關(guān)系呢?

4．點(diǎn)M的坐標(biāo)與點(diǎn)A，B的坐標(biāo)有什么關(guān)系?

5．如何求解這道題，你有哪些方法?

學(xué)生原有的知識(shí)是求曲線方程的一般步驟，還有平面幾何中直角三角形知識(shí)．經(jīng)過(guò)思考，學(xué)生回答如下:

1．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)，CA⊥CB，M是AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

2．因?yàn)镃A⊥CB，所以△CAB是直角三角形，M是斜邊AB中點(diǎn)，可得

∴∣CM∣=∣OM∣．

4．設(shè)M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)．

∵ M是AB中點(diǎn)，則因?yàn)閷W(xué)生剛學(xué)過(guò)課本上講的求解曲線方程的一般步驟，他們首先想用一般方法解這個(gè)題目，所以自然而然地就這樣回答第5個(gè)問(wèn)題．

5．解:設(shè)點(diǎn)M(x，y)，A(2x，0)，B(0，2y)．

∵∣CM∣=∣AB∣，∴化簡(jiǎn)得x+y－2=0．

∴點(diǎn)M的軌跡方程是x+y－2=0．

在老師提供的問(wèn)題3的提示下，有一個(gè)學(xué)生立刻想到第二種解法:

解法2 設(shè)點(diǎn)M(x，y)．∵AB是兩個(gè)直角三角形△CAB和△AOB的公共斜邊，M是AB中點(diǎn)，∴∣CM∣=∣OM∣．∴化簡(jiǎn)得x+y－2=0．

我給學(xué)生總結(jié):這兩種方法都是利用點(diǎn)M滿足的幾何關(guān)系列方程，然后化簡(jiǎn)得出曲線方程，這種方法我們叫做直接法．

學(xué)生原有的認(rèn)知除了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，還有的同學(xué)想到勾股定理，于是又有學(xué)生指出第三種解法:

解法3 ∵C(2，2)，A(a，0)，B(0，b)，△CAB是直角三角形，∴∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2，

∴a2+b2=(a－2)2+(b－2)2化簡(jiǎn)得a+b=4(*)．

由問(wèn)題4得a=2x，y=2b，代入*式，得x+y－2=0．

此解法先得到a，b滿足的關(guān)系式，然后找到a與x，b與y的關(guān)系，再代入而得方程，這也是求曲線方程的一種方法，叫代入法，也叫相關(guān)點(diǎn)法．

重新讀題目，再看已知條件:過(guò)點(diǎn)C的直線CA與x軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)C且與直線CA垂直的直線CB與y軸交于點(diǎn)B．也就是說(shuō)點(diǎn)A是CA與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是CB與y軸的交點(diǎn)，那能不能求出直線CA，CB的方程，再求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而得點(diǎn)M的坐標(biāo)．于是第四種解法是:

解法4 設(shè)AC的斜率為k．

(1)當(dāng)k不存在時(shí)，A(2，0)，B(0，2)，M(1，1)．

(2)當(dāng)k存在時(shí)，直線CA的方程是:y－2=k(x－2)．

(1)中點(diǎn)M的坐標(biāo)也適合方程x+y－2=0．

此解法是把M點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都用同一個(gè)參數(shù)k表示出來(lái)，然后消去參數(shù)后得x，y的關(guān)系即為點(diǎn)M的軌跡方程，叫參數(shù)法．

學(xué)生原有認(rèn)知是:會(huì)求直線的方程，上述解法學(xué)生是可以接受的．可能是老師的解法刺激了某些學(xué)生，他們的積極性被調(diào)動(dòng)起來(lái)，紛紛尋找本題的其他解法．其中有一個(gè)學(xué)生這樣求解:

解法5 ∵∠O+∠C=180°，∴A，C，O，B四點(diǎn)共圓．

∵∠ACB=90°，∴AB是圓的直徑．

∵ M是AB中點(diǎn)，∴M是圓心．

設(shè)M(a，b)，則圓M方程是(x－a)2+(y－b)2=r2．將O(0，0)，C(2，2)代入圓的方程，消去r得a+b－2=0．

即點(diǎn)M的軌跡方程是x+y－2=0．

這種解法抓住了本題的又一個(gè)幾何特征，在學(xué)生原有認(rèn)知判斷四點(diǎn)共圓的方法和圓的方程的基礎(chǔ)上順利得解本題，也不失為一種好方法．

美國(guó)心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾認(rèn)為，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)于新的學(xué)習(xí)始終是一個(gè)最關(guān)鍵的因素．他說(shuō):“我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況去教學(xué)”．至此，我們用了5種方法解本題，每種方法都是建立在學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和作出結(jié)論，學(xué)生就可以將新知識(shí)和新信息融入進(jìn)去，而且學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中可利用的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)越多，越有利于學(xué)習(xí)的遷移．

［1］鐘毅平，葉茂林．認(rèn)知心理學(xué)高級(jí)教程［M］．合肥:安徽人民出版社，2010

［2］羅增儒．中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析［M］．西安:陜西師大出版社，2003．

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