鄧魁英 楚天廣

?(河北大學(xué)工程力學(xué)系,河北保定071002)?(北京大學(xué)工學(xué)院,北京100871)

洛倫茲變換的幾何導(dǎo)出1)

鄧魁英?,2)楚天廣?,3)

?(河北大學(xué)工程力學(xué)系,河北保定071002)?(北京大學(xué)工學(xué)院,北京100871)

狹義相對(duì)論是牛頓力學(xué)的重要發(fā)展,因其概念抽象,國(guó)內(nèi)力學(xué)專(zhuān)業(yè)的教學(xué)中鮮有涉及.洛倫茲變換在相對(duì)論力學(xué)中處于核心地位,由其可導(dǎo)出相對(duì)論運(yùn)動(dòng)學(xué)的全部重要結(jié)論.本文首先介紹洛倫茲變換的一種典型的代數(shù)導(dǎo)出方式,然后利用閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D以完全幾何的方式給出一種不同的更為直觀的導(dǎo)出方式.希望能以一種簡(jiǎn)潔明了的方式引導(dǎo)力學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)狹義相對(duì)論.

相對(duì)論,洛倫茲變換,閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D,經(jīng)典力學(xué)

力學(xué)是處理宏觀物體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科,它包括愛(ài)因斯坦相對(duì)論 (theory of relativity)[1].狹義相對(duì)論是牛頓力學(xué)在高速運(yùn)動(dòng)極限的發(fā)展,是現(xiàn)代物理理論的基石[2-3],歐美的經(jīng)典力學(xué)教材中一般都會(huì)講解[4],但國(guó)內(nèi)力學(xué)專(zhuān)業(yè)的教學(xué)中鮮有涉及,一定程度上與相對(duì)論的主要概念比較抽象、與直覺(jué)相悖、難于教學(xué)等因素有關(guān).洛倫茲變換在相對(duì)論力學(xué)中處于核心地位,可以通過(guò)多種途徑導(dǎo)出[4-9].本文首先介紹了洛倫茲變換的一種典型的代數(shù)導(dǎo)出方式,然后利用閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D以完全幾何的方式給出一種不同的更為直觀的導(dǎo)出方式.這兩種導(dǎo)出方式簡(jiǎn)潔明了,且互為補(bǔ)充,本文旨在由此引導(dǎo)力學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)狹義相對(duì)論.

狹義相對(duì)論的出發(fā)點(diǎn)是相對(duì)性原理和光速不變?cè)韮蓷l基本假定.相對(duì)性原理即假定一切物理定律在所有慣性參考系中具有形式不變性,與觀測(cè)者的運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān).光速不變?cè)砑醇俣ü庾釉谡婵罩幸院愣ㄋ俾蔯傳播,與觀測(cè)者的運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān).由這兩條基本假定即可導(dǎo)出洛倫茲變換,進(jìn)而導(dǎo)出諸如動(dòng)尺收縮、動(dòng)鐘變慢、質(zhì)速關(guān)系及質(zhì)能關(guān)系等相對(duì)論力學(xué)的全部重要結(jié)論.在低速運(yùn)動(dòng)時(shí),洛倫茲變換可用伽利略變換來(lái)近似,相對(duì)論力學(xué)可用牛頓力學(xué)來(lái)近似[2-5].

現(xiàn)給定任意兩個(gè)慣性參考系S(x,ct) 和S′(x′,ct′),并假定空間軸x和x′的正方向一致.慣性系S′相對(duì)于慣性系S以速率u沿空間軸x的正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),且當(dāng)t=t′=0時(shí),x=x′=0.同一事件在兩個(gè)慣性系S和S′中可以分別表示為E(xE,ctE)和E(x′E,ct′E),在下文中非特指某一事件時(shí)將省略下標(biāo).

根據(jù)相對(duì)性原理假定,若任意一個(gè)事件E(x,ct)在慣性系S中做勻速直線運(yùn)動(dòng),則同一事件E(x′,ct′)在慣性系S′中仍做勻速直線運(yùn)動(dòng),故二者之間存在線性映射關(guān)系

由于慣性系S′相對(duì)于慣性系S以速率u做勻速直線運(yùn)動(dòng),也即式(1)定義的線性映射將x=ut映射為x′=0,代入式 (1)中的第 1式可得α2=-α1u/c.重新記α1=γ,且u/c=β(0≤β≤1),則可將式(1)中的第1式表示為

同時(shí),相對(duì)于慣性系S′中的觀測(cè)者,慣性系S以速率u沿空間軸x′的負(fù)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),故由式(2)可得

根據(jù)光速不變?cè)砑俣?光子在慣性系S中的運(yùn)動(dòng)軌跡為x=ct,在慣性系S′中的運(yùn)動(dòng)軌跡為x′=ct′,二者互為映射,分別代入式(2)和式(3)得

將式(4)中的第1式代入第2式,且空間軸x和x′的正方向一致這一條件決定了γ不能取負(fù)值,于是得到

文獻(xiàn)中通常將γ稱(chēng)為膨脹系數(shù)[2].

再將式(2)代入式(3),并考慮到式(5)給出的γ與β之間的關(guān)系式,可以直接導(dǎo)出

也即在式(1)的第2式中α3=-γβ,α4=γ.

至此,將式(5)代入式(2)和式(6),便得到了以速率u做相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)慣性參考系S(x,ct)和S′(x′,ct′)之間的線性映射關(guān)系式

這就是洛倫茲變換(Lorentz transformation),其中β為慣性系S′相對(duì)于慣性系S的運(yùn)動(dòng)速率u與光速c之比.在式 (7)的變換式中,慣性參考系S(x,ct)的空間軸x與時(shí)間軸ct處于完全對(duì)稱(chēng)的位置.當(dāng)u?c時(shí),式(7)可用伽利略相對(duì)性變換來(lái)近似,即

此時(shí),慣性系S的空間軸x與時(shí)間軸t的位置就不再具有對(duì)稱(chēng)性了.

由式(7)中的第2式和式(8)中的第2式可知,相對(duì)論力學(xué)相對(duì)于牛頓力學(xué)的革新,關(guān)鍵在于不再采用絕對(duì)同時(shí)性假定,而假定同時(shí)(simultaneity)也具有相對(duì)性,即對(duì)于在一個(gè)慣性參考系中不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件,在另一個(gè)做相對(duì)運(yùn)動(dòng)的慣性參考系中觀測(cè),二者就不再是同時(shí)發(fā)生的了.

由式(7)的洛倫茲變換可知,在兩個(gè)慣性系S和S′中分別觀測(cè)同一事件E時(shí),其時(shí)空坐標(biāo)滿足條件

此式蘊(yùn)含著相對(duì)論時(shí)空的一個(gè)重要不變量,即閔可夫斯基距離測(cè)度.歐氏空間中的距離測(cè)度在相對(duì)論時(shí)空中不再適用.另外,式(7)的雅各比行列式的值等于1,即

也即做相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)慣性參考系之間的洛倫茲變換是保面積的.

由式(7)可知,洛倫茲變換將慣性系S中的運(yùn)動(dòng)軌跡x=βct和ct=βx分別映射為慣性系S′中的x′=0和ct′=0.若將慣性參考系S(x,ct)的空間軸x和時(shí)間軸ct用平面內(nèi)的兩條互相垂直的坐標(biāo)軸來(lái)表示,則光子的運(yùn)動(dòng)軌跡沿著各象限的角平分線,而慣性參考系S′(x′,ct′)的空間軸x′=0和時(shí)間軸ct′=0則關(guān)于光子的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)稱(chēng).此即為閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D(圖1).

圖1 閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D與光錐

在閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D中,因果律決定了可能事件E(xE,ctE)只能發(fā)生在以光子的運(yùn)動(dòng)軌跡為邊界且以ct為軸的光錐內(nèi)(圖1).勻速直線運(yùn)動(dòng)的軌跡是位于光錐內(nèi)的一條直線,如慣性系S′的時(shí)間軸ct′即為在慣性系S中觀測(cè)到的慣性系S′的運(yùn)動(dòng)軌跡.

閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D為相對(duì)論運(yùn)動(dòng)學(xué)的討論提供了一種非常直觀簡(jiǎn)明的方式.但就我們所知,文獻(xiàn)中尚未見(jiàn)到如何從閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D出發(fā)利用幾何方式導(dǎo)出式(7)中的洛倫茲變換,此即為我們?cè)谙挛闹械闹饕ぷ?

在圖2所示的閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D中,慣性系S的空間軸x和時(shí)間軸ct互相垂直,作菱形OADB.在圖3所示的閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D中,慣性系S′的空間軸x′和時(shí)間軸ct′互相垂直,則菱形OADB相應(yīng)變換為正方形O′A′D′B′.那么,圖2中等腰三角形OAD內(nèi)的任意一個(gè)事件E(xE,ctE)總與圖3中等腰直角三角形O′A′D′中的一個(gè)事件E(x′E,ct′E)對(duì)應(yīng),故可認(rèn)為二者的面積相等,表示為

也即假定慣性參考系S(x,ct)和S′(x′,ct′)之間的線性變換是保面積的.這是我們以幾何方式導(dǎo)出洛倫茲變換的出發(fā)點(diǎn).

圖2 閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D與菱形OADB

圖3 閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D與正方形O′A′D′B′

在圖2所示的閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D中,作AK垂直于OB,則菱形OADB的面積

設(shè)事件A在慣性系S中可以表示為A(xA,ctA),則由圖2中的幾何關(guān)系及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系xA=utA顯然可得

和

再由式(14)通過(guò)三角關(guān)系可得

將式(13)和式(15)代入式(12)中,得到在圖2所示的閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D中菱形OADB的面積

而在圖 3所示的閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D中,正方形O′A′D′B′的面積顯然為

于是由式(11)可知

此式對(duì)于在慣性系S′中觀測(cè)時(shí)靜止于原點(diǎn)O′處的任意事件A′(0,ct′A′)均成立,也即式 (18)為式 (9)的特例.從由式(12)導(dǎo)出式(18)的過(guò)程我們可以非常直觀地看出,式(9)中的閔可夫斯基距離測(cè)度與式(10)中洛侖茲變換的保面積性是完全等價(jià)的.

設(shè)事件E在慣性系S和S′中可以分別表示為E(x,ct)和E(x′,ct′).由圖4可知,慣性系S′中的同時(shí)線EA與慣性系S中的空間軸x的夾角也為θ,并注意到運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系xA=utA,則

結(jié)合式(14)中已知的關(guān)系式tanθ=β,可以解得

又由式(18)及xA=utA可知

將式(20)代入式(21),便導(dǎo)出了

此即為式(7)中洛倫茲變換的第2式.

圖4 閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D與事件E

再注意到圖4中慣性系S′中的同地線EG與慣性系S中的時(shí)間軸ct的夾角也為θ,由幾何關(guān)系還可知

于是有

同樣結(jié)合式(14)中的tanθ=β,可以得到

又由式(18)及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系xF=utF可得

將式(25)代入式(26),便導(dǎo)出了

此即為式(7)中洛倫茲變換的第1式.

至此,我們便通過(guò)幾何的方式導(dǎo)出了由式 (22)和式(27)表示的洛倫茲變換,其中起關(guān)鍵作用的是式(18)蘊(yùn)含的相對(duì)論時(shí)空中的閔可夫斯基距離測(cè)度.

由圖4可知,事件E(x,ct)在慣性系S中的速率為v=x/t,同一事件E(x′,ct′)在慣性系S′中的速率為v′=x′/t′.將式(27)與式(22)相比可得

再將u/c=β代入其中即可得

此即為相對(duì)論運(yùn)動(dòng)學(xué)中同一事件在不同慣性參考系中運(yùn)動(dòng)速率之間的關(guān)系式.當(dāng)u?c時(shí),式(29)即可用牛頓力學(xué)中同一動(dòng)點(diǎn)在不同慣性參考系中運(yùn)動(dòng)速率之間的關(guān)系式來(lái)近似,即

由式(29)可知,當(dāng)v=c時(shí),v′=c,即光子在所有慣性參考系中的速率保持不變,這就是作為狹義相對(duì)論出發(fā)點(diǎn)的兩個(gè)基本假設(shè)之一.值得一提的是,不少工作指出,光速不變?cè)砑俣▽?duì)于導(dǎo)出洛倫茲變換并不是必要的[6-9].任何非伽利略時(shí)空線性變換必然要求存在一個(gè)速率上限,以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出的廣義洛倫茲變換使得相對(duì)論的理論基礎(chǔ)更為穩(wěn)固,即使將來(lái)發(fā)現(xiàn)超光速粒子的存在,相對(duì)論中以光速不變?cè)砑俣榍疤釋?dǎo)出的相關(guān)結(jié)論經(jīng)適當(dāng)調(diào)整后仍然成立[8-9].

洛倫茲變換在狹義相對(duì)論中處于核心地位,可用其將相對(duì)性原理假定更具體地表述為：一切物理定律的方程式在洛倫茲變換下具有形式不變性[2].由洛倫茲變換出發(fā),便可導(dǎo)出諸如動(dòng)尺收縮、動(dòng)鐘變慢、質(zhì)速關(guān)系及質(zhì)能關(guān)系等相對(duì)論力學(xué)的全部重要結(jié)論.同樣也可以利用閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D從幾何的角度為這些重要結(jié)論給出更為直觀的解釋[10].

從本文以幾何方式導(dǎo)出洛倫茲變換的過(guò)程可以清楚地看出,狹義相對(duì)論仍然假定空間是平直、均勻和各向同性的,時(shí)間是均勻流逝的,而牛頓力學(xué)是相對(duì)論力學(xué)在低速運(yùn)動(dòng)極限的近似.但牛頓萬(wàn)有引力公式在洛倫茲變換下不具有形式不變性,愛(ài)因斯坦為解決這個(gè)困難建立起來(lái)的廣義相對(duì)論則是一種彎曲時(shí)空引力理論[3-5],該理論預(yù)言的引力波(gravitational waves)于整整100年后的2015年9月14日第一次被科學(xué)家直接探測(cè)到[11].

綜上所述,本文利用閔可夫斯基時(shí)空?qǐng)D從幾何的角度導(dǎo)出了洛倫茲變換,與其代數(shù)導(dǎo)出互為補(bǔ)充,有利于學(xué)習(xí)者從更直觀的角度理解狹義相對(duì)論的平直時(shí)空假定和非歐距離測(cè)度等概念,以及相對(duì)論力學(xué)相對(duì)于牛頓力學(xué)的關(guān)鍵革新,即不再采用絕對(duì)同時(shí)性假定,而是利用光速不變性定義了同時(shí)的相對(duì)性.本文在導(dǎo)出洛倫茲變換的過(guò)程中只應(yīng)用了基本的線性代數(shù)和平面幾何知識(shí),希望能以這種簡(jiǎn)潔明了的方式引導(dǎo)力學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)狹義相對(duì)論.

1 錢(qián)學(xué)森．我對(duì)今日力學(xué)的認(rèn)識(shí)．力學(xué)與實(shí)踐,1995,17(4)：1-1

2 張?jiān)伲畯呐ｎD力學(xué)到狹義相對(duì)論．力學(xué)與實(shí)踐,2005,27(4)：1-7

3 張?jiān)伲畯V義相對(duì)論的產(chǎn)生與發(fā)展．力學(xué)進(jìn)展,2002,32(4)：495-504

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10 楊志萬(wàn)．閔氏時(shí)空?qǐng)D在相對(duì)論教學(xué)中的應(yīng)用．大學(xué)物理,2016, 35(2)：27-29

11 Abbott BP,et al.Observation of gravitational waves from a binary black hole merger.Phys Rev Lett,2016,116：061102

(責(zé)任編輯：胡 漫)

O412.1

A

10.6052/1000-0879-16-125

2016-04-13收到第1稿，2016-06-05收到修改稿.

1)河北大學(xué)優(yōu)秀博士引進(jìn)人才項(xiàng)目(2014-304)和國(guó)家“973計(jì)劃”項(xiàng)目(2012CB821200)資助.

2)鄧魁英，博士，副教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制.E-mail：RossDeng@pku.edu.cn

3)楚天廣，博士，教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制.E-mail：chutg@pku.edu.cn

鄧魁英,楚天廣.洛倫茲變換的幾何導(dǎo)出.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(1)：82-86

Deng Kuiying,Chu Tianguang.Geometric derivation of the Lorentz transformation.Mechanics in Engineering,2017, 39(1)：82-86