李俊峰

(清華大學航天航空學院，北京100084)

教授講題

非彈性碰撞之困惑

李俊峰1)

(清華大學航天航空學院，北京100084)

題目

一根長為2a的均勻桿與豎直線成θ角，自高處無初速落下,與光滑水平地面作完全非彈性碰撞，桿下端與地面接觸后又立刻離開地面，問：桿下落高度H應滿足什么條件？假設桿始終在豎直平面內運動. (改編自：李俊峰、張雄編著《理論力學(第2版)》習題7.31)

解題思路

這個問題的難點在于，按照學生以前學習中形成的習慣看法，“完全非彈性碰撞”和“桿下端與地面接觸后又立刻離開地面”這兩個說法是相互矛盾的，讓學生困惑，我們先給出相應的數學表達.設桿下端為A，桿質心為C，建立直角坐標系(如圖1所示)，Ax軸沿著地面.“完全非彈性碰撞”的數學表達：碰撞后瞬時A點速度的豎直分量uAy=0.“桿下端與地面接觸后又立刻離開地面”的數學表達：碰撞后瞬時地面的壓力N=0并且A點加速度的豎直分量aAy＞0

圖1

下面分兩個子問題來研究.

首先，研究剛體碰撞問題，我們可以利用動量定理和動量矩定理的積分形式，由碰撞前瞬時桿的角速度和質心速度，求得碰撞后瞬時桿的角速度和質心速度.

在桿下落過程中作剛體平動，在碰撞前瞬√時，桿的角速度為零，桿上所有點的速度都等于2gH.

設碰撞后瞬時桿的角速度為ω，質心速度的水平和豎直分量分別為uCx和uCy，由于地面光滑，不能給桿水平沖量，故碰撞后瞬時質心速度的水平分量仍然是零，與碰撞前一樣.設碰撞過程中地面給桿的豎直沖量為Iy(重力等常規(guī)力的沖量可以忽略)，根據動量定理和動量矩定理的積分形式，有

這兩個動力學方程包括3個未知數：ω，uCy，Iy，需要再補充一個運動學關系式.我們注意到，碰撞后瞬時桿作平面運動，C點速度沿著豎直方向，A點速度沿著水平方向(完全非彈性碰撞uAy=0).可知，瞬時速度中心為C?(如圖2所示)，由此可得

圖2

動力學方程(1)～(2)及運動學補充條件(3)聯(lián)立解得

接下來，利用質心運動定理和動量矩定理，分析碰撞結束后瞬時桿的瞬時角加速度和質心加速度.碰撞后瞬時，不再有碰撞沖量作用，桿在重力作用下運動(地面壓力N=0).容易判斷，此瞬時桿的角加速度為零，桿質心加速度即為重力加速度.以C為基點計算A點的加速度可得aAy=ω2acosθ-g，再利用前面求出的ω和“桿下端與地面接觸后又立刻離開地面”條件之一aAy＞0，可得

10.6052/1000-0879-16-399

(責任編輯：胡 漫)

本文于2016-12-08收到.

1)E-mail：lijunf@mail.tsinghua.edu.cn

李俊峰.非彈性碰撞之困惑.力學與實踐,2017,39(1)：86-87

Li Junfeng.Confussion about non-elastic collision.Mechanics in Engineering,207,39(1)：86-87