李逸良 邱信明

(清華大學航天航空學院，北京100084)

大學生園地

車輛轉彎時內輪差的運動學理論模型1)

李逸良 邱信明2)

(清華大學航天航空學院，北京100084)

基于剛體運動學知識，利用速度投影定理建立了針對單車、半掛車的最大內輪差的運動學理論分析模型.模型可以給出車輛轉彎時不同車輪的軌跡，并得出內輪差的準確計算公式.通過定量討論車輛最大內輪差隨車身尺寸、回轉半徑的變化規(guī)律，對于行人和駕駛員提出了具體的操作建議，以避免內輪差造成的交通事故.

內輪差,半掛車,軸距,速度投影定理,交通安全

由于車輛自身的體積，轉彎時其前后輪的運行軌跡并不相同.內后輪的軌跡半徑要小于內前輪的軌跡半徑，這意味著車輛轉彎過程中會向著圓心的方向不斷靠近.轉彎時車輛內前輪的轉彎半徑與內后輪的轉彎半徑之差，通常被稱為內輪差.如圖 1所示，由于內輪差的存在，前后內車輪軌跡之間會形成一個危險區(qū)域，進入這個區(qū)域的行人和非機動車很容易被車身后半部卷入.此外，由于我國汽車駕駛員位置在車輛左側，車身右前側、右側后視鏡下方是駕駛員的視線盲區(qū)；大卡車的駕駛室相對于路面的行人又很高，駕駛員不容易注意到危險區(qū)域內的行人和非機動車.如果內輪差現(xiàn)象被汽車司機、行人和非機動車忽視，右轉彎時就會帶來嚴重的交通事故[1].

圖1 內輪差引起的路面危險區(qū)域示意圖[2]

以往人們針對這個現(xiàn)象的研究，并沒有給出內輪差的準確定義.通常是從假設車輛前后輪軌跡均為圓形的角度出發(fā)，半定性地分析內輪差的現(xiàn)象，如褚正清等[3]、李鐵洪等[4]、陳思嘉[5]的研究.為了定量分析車輛轉彎過程中向圓心靠近的程度，本文試圖給出一種內輪差的準確數(shù)學定義，并利用理論力學中運動學的知識，定量分析影響內輪差的各種因素.

1 剛體運動學知識介紹

在建立內輪差的理論模型之前，先簡要回顧一下《理論力學》中剛體運動學的相關概念和定理.關于物體最簡單的力學模型是質點，即一個只有質量、無體積和形狀的無限小的點.如果物體的運動和變形尺度遠遠大于自身尺度，則可以簡化為質點進行分析，如分析飛機軌跡時的飛機，或者衛(wèi)星軌道時的衛(wèi)星.但如果關注的運動尺寸與物體自身尺度相當，則需要把物體當成剛體來處理，如分析自身姿態(tài)時的飛機或者衛(wèi)星.作為最基本的力學模型之一，剛體是由無窮多質點構成的有限大小的物體，有質量也有體積和形狀.剛體在任何情況下都不發(fā)生變形，因此任何質點之間的距離始終保持不變[6].

如圖2所示，假設一個剛體上的兩個任意點A和B，由剛體的定義可知，A點和B點之間的連線距離始終不變.根據(jù)理論力學的剛體上兩點的速度關系

圖2 剛體上點的速度分析

這里ω是剛體的轉動角速度向量，方向垂直于紙面，rAB是兩點之間的向徑.由式(1)在向量rAB上的投影顯然有

上式是剛體的速度投影定理，即剛體上任意兩點的速度在這兩點的連線上的投影相等.速度投影定理也可由剛體的概念直接得出，若兩點的速度在連線上的投影不相等，兩點間的距離就會改變，與剛體上任意兩個質點之間距離始終不變的基本假設相矛盾[6].

過A和B兩點，分別做它們速度的垂線，兩條垂線的交點C在這一瞬時速度為零，稱為剛體的速度瞬心，簡稱瞬心.瞬心可能在剛體上，也可能在剛體外(稱為剛體的延拓部分).這一瞬時，剛體上任何點的速度分布，就如同剛體在繞瞬心C做定軸轉動一樣.

2 汽車內輪差的理論分析模型

接下來，我們將利用上述知識建立內輪差問題的運動學理論分析模型.如圖3所示，取汽車底盤的工字型鋼架為剛體研究對象，設車的前后輪間距為l，A點代表內前輪，B點代表內后輪.忽略離心力所引起的車輛側滑與輪胎變形所引起的側向偏離對運動軌跡的影響.設車輛右轉彎時，A點速度恒定為vA，A點軌跡為π/2圓弧(半徑為R、圓心為O)然后接直線段.

圖3 單車內輪差的理論模型示意圖

如圖3所示，以O為坐標原點建立平面直角坐標系Oxy，并定義θ角處的內輪差d(θ)，是A點軌跡和B點軌跡沿θ方向的徑矢之差，即

需要指出的是，上式中對應于相同的位置θ,A點和B點的徑矢處于不同的時刻.其中A點的時刻t=Rθ/vA，而顯然B點的時刻要遲于A點.

定義車輛轉彎過程中的最大內輪差為

在t時刻,A點位置為 (xA,yA)=(-Rcosθ,Rsinθ)，其速度沿著該點軌跡的切線方向w1= (sinθ,cosθ)，其中θ=vAt/R.由于汽車后輪不轉向，因此任何時刻右后輪B點的速度方向始終沿著AB連線方向，即w2=(xA-xB,yA-yB)/l.則A點速度方向與和AB連線間的夾角α滿足

因此，由速度投影定理可知B點速度的分量形式

利用初始條件：t=0時刻，B點坐標(-R,-l)，對上式進行積分即可得B點的軌跡，同時可以計算出內輪差.

對于軸距l(xiāng)=2m的汽車，計算出不同內前輪軌跡半徑R下，最大內輪差的數(shù)據(jù)列在表1中.由表中的數(shù)據(jù)可知，隨著轉彎半徑R的增大，最大內輪差dmax單調降低.可見，為減小內輪差，應盡量轉大彎，而不應轉小彎.

表1 不同轉彎半徑下的最大內輪差(軸距l(xiāng)=2m)

如圖4所示，若內前輪軌跡半徑為確定值R= 4m，在圖中用最靠上的黑實線表示；帶圖標的線為對應不同軸距l(xiāng)=1.5m,2.0m,2.5m,3.0m汽車的內后輪軌跡；其中箭頭指向是l=1.5m的汽車在不同時刻的車身位置.顯然，除轉彎半徑R外，車身軸距l(xiāng)也是影響內輪差大小的一個重要因素，當R半徑相同時，軸距較長的車內輪差明顯更大.

圖4 不同軸距l(xiāng)的車輛轉彎時A點和B點的軌跡(R=4m)

對于汽車而言，方向盤打到極限位置，外側前輪距離轉向中心 (瞬心)的距離通常定義為最小轉彎半徑r.如圖5所示，在已知車寬w和軸距l(xiāng)的情況下，容?易換算出最小的·內前輪軌跡半徑Rmin，即+l2.通過查閱不同車型的數(shù)據(jù)資料，將車身尺寸、最小轉彎半徑、內前輪最小轉彎半徑列于表2中.

圖5 轉彎半徑與內前輪軌跡半徑

表2 典型車型的尺寸[7]和最大內輪差

圖6給出了無量綱化內輪差和轉彎半徑的關系圖，可見內輪差隨轉彎半徑的增大而降低.對于表2給出的典型車型，用不同的圖標在曲線上標示了其dmax和Rmin所在的位置，此處對應該車方向盤打到極限位置時的最大內輪差，實際產生的內輪差在該點右側的曲線上.

圖6 汽車內輪差隨內前輪(A點)轉彎半徑的變化關系圖

根據(jù)表2給出的數(shù)據(jù)，典型車型的最小轉彎半徑與軸距之比都約為2左右，即r/l≈2.但由于軸距l(xiāng)不同，奇瑞QQ等小型車的內輪差僅為dmax= 0.69m，而黃海等大型車則達到dmax=1.73m.由表2可知，所列的典型車型均有dmax/l＜1/3，即最大內輪差小于1/3軸距.那么行人和非機動車要保證自身安全，需要與汽車保持車長1/3以上的距離.

3 半掛車內輪差的理論分析模型

大貨車、水泥攪拌車等半掛車，可認為是兩個剛體(牽引頭、主車身)連接而成的組合體，如圖7所示.設圖中牽引頭AB軸距l(xiāng)1，車身BC軸距l(xiāng)2，剛體AB和BC在B點通過無摩擦轉軸(通常為大王銷)相互連接.考察牽引頭中線AB和車身中線BC的運動規(guī)律.假設A點軌跡為圓弧，半徑為R，圓心為O.以O為坐標原點，建立平面直角坐標系Oxy,如圖7所示，并以順時針方向為轉角θ的正方向.圖中A,B,C三點的軌跡用虛線描繪，而內前輪A′和內后輪C′的軌跡用黑實線描繪.

圖7 半掛車內輪差的理論模型示意圖

由上節(jié)汽車的分析模型，點A和點B的運動規(guī)律與單車的運動規(guī)律完全相同，B點的關于時間的運動方程也與上節(jié)完全相同.而點C的速度方向始終與BC平行，速度大小可由速度投影定理得到.對于時間積分可得C點在任意時刻的位置.計算A,C點軌跡之差d′max

需要指出d′max并非最大內輪差，半掛車的最大內輪差應為A′和C′的軌跡之差，即

如果A點轉彎半徑為R=6m，對于不同軸距l(xiāng)1,l2的半掛車可以得到其轉彎時的軌跡如圖8所示.圖中最上方的黑實線為A點軌跡，帶圖標的三條曲線為C點軌跡.其中帶彎折的箭頭表示不同時刻車身AB-BC線的方位，對應車身尺寸為l1=1.5m,l2=3.0m.顯然，當A軌跡半徑R相同時，軸距較長的車d′max明顯較大.

圖8 不同軸距的半掛車轉彎時C點的軌跡(R=6m)

表3給出了A點和C點軌跡之差最大值d′max與車身/牽引頭軸距比l2/l1的變化關系.可見d′max隨l2/l1的增加而增加.接下來我們考慮車身寬度對內輪差的影響.當車身寬度b1,b2改變而其他條件不變時，作為車身中線的A,B,C三點軌跡均不發(fā)生變化.A′點與A點軌跡相比較，相當于沿著徑向向內移動的距離，其中α為BA與A點軌跡切線方向的夾角.同理，C′點與C點軌跡相比較，相當于沿著徑向向內移動的距離.其中β為線段BC方向與C點軌跡切向的夾角.那么內輪差公式可寫為

由公式知，牽引頭寬度b1增大時，內輪差d線性減?。卉嚿韺挾萣2增大時，內輪差d線性增大.對于車寬b1=b2=1.8m，R/l1=5的半掛車，計算得到的最大內輪差dmax見表3.通過查閱資料，一些典型半掛車的數(shù)據(jù)列于表4中.將表3和表4中數(shù)據(jù)整理得到圖9.從圖9中可以看出，當R/l1=5時，典型半掛車的dmax/l1均在 1以內.因為沒有查到半掛車的最小轉彎半徑數(shù)據(jù)，因此得不到Rmin和最大的內輪差.如果有讀者能夠找到半掛車的最小轉彎半徑，可自行計算最大內輪差.從當前數(shù)據(jù)來看，建議行人和非機動車為了保證自身安全，至少要與半掛車轉彎軌跡保持約牽引車長度l1的距離.

表3 半掛車內輪差與軸距比(l1=1.5m，R=7.5m，b1=b2=1.8m)

表4 典型半掛車的尺寸[7]與最大內輪差(R/l1=5)

圖9 半掛車的內輪差隨軸距比變化規(guī)律(R/l1=5)

4 討論

本文基于理論力學的運動學知識，建立了汽車和半掛車轉彎時內輪差問題的理論模型.此模型可以給出車輛轉彎時不同車輪的軌跡，并得出內輪差的準確計算公式.通過定量分析得到車輛最大內輪差隨車身尺寸、回轉半徑的變化規(guī)律：內輪差隨車身長度增加而增大，隨回轉半徑的減小而增大.

對于駕駛者而言，為了減小內輪差，應采用盡可能大的轉彎半徑R[8].此外，汽車右轉時，駕駛員是通過車輛右側后視鏡觀察路況的，為了減小視覺盲區(qū)和觀察誤差應盡量降低速度[9].當前的大型客車和半掛車的倒后鏡，有些已經考慮了縮小視覺盲區(qū)的因素，比如有些車輛倒后鏡由多塊不同角度的鏡子組成，斜向下方的倒后鏡，可以起到縮小視覺盲區(qū)的作用.而少數(shù)高端的轎車，已經配備圍繞車身的倒車雷達，若周圍物體、行人或車輛與本車距離過近，會自動報警.這些主動控制方案，可以幫助駕駛員避免內輪差產生的交通事故.

內輪差的危害對象通常是汽車右側的行人和非機動車.為了避免內輪差帶來的危險，行人和非機動車需要保持和轉彎汽車的安全距離，不要超越正在右轉彎的車輛.對于一體的單個汽車而言，至少與汽車保持車身長度1/3以上的距離；對于半掛車而言，保持距離需要在牽引頭長度以上.

從車輛設計者的角度，單純?yōu)闇p少內輪差而改變車身尺寸是不現(xiàn)實的.本文的理論模型基于后輪不轉向的基本假設，因此后輪的速度沿著車身方向，這對于當前的絕大多數(shù)車型都是適用的.但是隨著技術的發(fā)展，高端的概念車已經可以實現(xiàn)四輪轉向(也叫全輪轉向)，如在保時捷電動跑車的宣傳中，號稱時速50km以下時后輪偏轉方向與前輪相反，以減少轉彎半徑；而時速超過50km時，后輪偏轉方向將與前輪相同，以獲得更好的循跡性和高速過彎性能[10].這種情況下，內輪差的概念其實已經不適用了.極限狀態(tài)下車可以實現(xiàn)垂直車身長度方向的運動，就像四輪行李箱一樣，這時必須配合復雜的車身控制系統(tǒng)才能保持需要的姿態(tài).雖然目前這些技術距離家用車、大型車的應用還有距離，但將來的應用是完全可以預期的，只是時間的問題.

1 陳詩佳.半掛車路口轉彎時刮倒一對母子 “內輪差”是主因.新藍網·浙江網絡廣播電視臺,2016.http：//n.cztv.com/ news/12014073.html

2 朱文. 了解 “內輪差”，遠離轉彎的大貨車、工程車.海寧日報,2012.http：//hnrb.zjol.com.cn/hnrb/html/2012-12/13/ content 207927.htm.

3 褚正清,劉家保,宋星.貨車右轉彎內輪差的建模研究.河北北方學院學報,2015,31(5)：49-52

4 李鐵洪,吳華金.長直線接小半徑曲線公路交通事故成因及預防對策.中國公路學報,2007,20(1)：35-40

5 陳思嘉.汽車轉彎時由內輪差引發(fā)的交通事故原因建模與分析.數(shù)學通報,2013,52(12)：55-57

6 李俊峰,張雄,任格學等.理論力學.北京：清華大學出版社, 2001

7 唐恒望.內輪差數(shù)學建模. 百度文庫,2007 http：//wenku. baidu.com/link?url=xEHJoIba1dvqiTfQ4gXrx5PtapBR0i Y1r8-dxFhCkdEkJfrkmtkrlwWlNWNmRTHaF3HOtgy4 W1gMgGpCqon6PbGUmV4OZ6SLfX5i6ljWw1G.

8 范朔.車輛內輪差問題的優(yōu)化分析.科技世界,2016,9：31-34

9 萬祿義.公交車“內輪差”，不容忽視.人民公交,2012,(1)：71

10 后橋轉向系統(tǒng).保時捷(中國),2016.http：//www.porsche.com/ china/zh/models/panamera/panamera-4s/drive-chassis/rearaxle-steering/.

(責任編輯：胡 漫)

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10.6052/1000-0879-16-263

本文于2016-08-15收到.

1)國家自然科學基金資助項目(11372163).

2)E-mail：qxm@tsinghua.edu.cn

李逸良,邱信明.車輛轉彎時內輪差的運動學理論模型.力學與實踐,2017,39(1)：94-99

Li Yiliang,Qiu Xinming.A kinematical analysis model of the inner wheel dif f erence.Mechanics in Engineering,2017, 39(1)：94-99