摘 要：用補(bǔ)集思想解題可以使一類在常規(guī)解法中應(yīng)該分類討論的數(shù)學(xué)問題避開討論，從而簡化計(jì)算步驟，減少盲目性。這樣在考場上可以節(jié)省時(shí)間，爭得解題主動(dòng)權(quán)。

關(guān)鍵詞：補(bǔ)集思想；分類討論；反面；妙用

高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，不是高一高二數(shù)學(xué)內(nèi)容的簡單重復(fù)，需要在復(fù)習(xí)過程中進(jìn)行一些歸納和整理，以便能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。而分類討論思想作為學(xué)生的一個(gè)難點(diǎn)在于既要對(duì)事物所包含的所有情況一覽無余，還要對(duì)題設(shè)所容納的類型全面細(xì)致的分析處理。但在一些題目類型中，若能就其題設(shè)所容納的對(duì)立面進(jìn)行思考，可能會(huì)帶來極大的方便。美國教育心理學(xué)家布魯納指出：“掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和便利于記憶，領(lǐng)會(huì)基本數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的光明之路”。補(bǔ)集思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，補(bǔ)集思想的妙用可以使一類含有“特殊”詞語的數(shù)學(xué)問題得以輕松解決。比如在題設(shè)中出現(xiàn)“至少有一個(gè)”，“至多有一個(gè)”，“不等關(guān)系”等類型的題目。我們分析事物的全集時(shí)發(fā)現(xiàn)題設(shè)中所容納的類型較多，而其對(duì)立面容納的情況較少，此時(shí)就應(yīng)該采用補(bǔ)集思想達(dá)到事半功倍的效果。而利用補(bǔ)集思想解題的必要條件是確定事物的全集和題設(shè)中所包含的全部類型。因此利用補(bǔ)集思想解題的一般思路是：確定全集，就題設(shè)的反面求出結(jié)果，將上面所求出的結(jié)果取其補(bǔ)集，即為題設(shè)條件的正面所要求的結(jié)果。

一、補(bǔ)集思想在函數(shù)中的妙用

1.題設(shè)中含有“至少有一個(gè)”的妙用

例1. 若三個(gè)方程：至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，試求 的取值范圍。

分析：若從方程有實(shí)根考慮，則有下列七種可能：（1）①有實(shí)數(shù)根，②③無實(shí)數(shù)根；（2）②有實(shí)數(shù)根，①③無實(shí)數(shù)根；（3）③有實(shí)數(shù)根，①②無實(shí)數(shù)根；（4）①②有實(shí)數(shù)根，③無實(shí)數(shù)根；（5）②③有實(shí)數(shù)根，①無實(shí)數(shù)根；（6）①③有實(shí)數(shù)根，②無實(shí)數(shù)根；（7）①②③均有實(shí)數(shù)根。這樣要解七個(gè)不等式組，再求出它們的并集，情況比較復(fù)雜， 計(jì)算量大且容易出錯(cuò)，確實(shí)非常麻煩。如果我們考慮“至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根”的反面，即“三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根”那么在實(shí)數(shù)為全集的條件下。它們的取值范圍恰好互為補(bǔ)集，求出“三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根”的k的取值范圍，取它的補(bǔ)集就是“至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根”的k的取值范圍，只需解一個(gè)不等式組，非常簡便。

解：若三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根，則

易解得：.

因此當(dāng)時(shí)，三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根。

所以，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，k應(yīng)屬于的補(bǔ)集，即k。

歸納：該題的全集是三個(gè)方程實(shí)數(shù)根的情況包含8個(gè)基本事件，此題題設(shè)含有7個(gè)基本事件，其對(duì)立面只含有一個(gè)基本事件，從而考慮補(bǔ)集是最佳方案。

二、補(bǔ)集思想在概率統(tǒng)計(jì)中的妙用

例2. 甲、乙、丙三人將參加某項(xiàng)測試，他們能達(dá)標(biāo)的概率分別是0.8、0.6、0.5，三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是 .

解：如果我們按常規(guī)方法解此題，我們要分三類來討論：

（1）只有一人達(dá)標(biāo)其概率為：

+=

（2）有兩人達(dá)標(biāo)其概率為：+=

（3）三人都達(dá)標(biāo)其概率為：

三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率是：0.26+0.46+0.24=0.96

分析：此類解法情況比較復(fù)雜，計(jì)算量大易出錯(cuò)，確實(shí)非常麻煩。如果我們求其反面，再用補(bǔ)集思想來處理就會(huì)簡單很多。

采用“補(bǔ)集思想”解答如下：

解：“三人中至少有一人達(dá)標(biāo)”的反面是“三人都不達(dá)標(biāo)”，且“三人都不達(dá)標(biāo)”的概率為：

三人中至少有一人達(dá)標(biāo)的概率為：

三、補(bǔ)集思想在解析幾何中的妙用

例3. 若橢圓 與連接兩點(diǎn) ， 的線段沒有公共點(diǎn)，則a的取值范圍為 .

思路一：正面解答

分A， B兩點(diǎn)都在橢圓內(nèi)或 都在橢圓外兩種情況考慮。

解：與連接兩點(diǎn)，的線段沒有公共點(diǎn)。

A， B兩點(diǎn)都在橢圓內(nèi)或A， B都在橢圓外。

當(dāng)A， B兩點(diǎn)都在橢圓內(nèi)時(shí)，則，解得；

當(dāng)A， B兩點(diǎn)都在橢圓外時(shí)，則，解得；

實(shí)數(shù)a的取值范圍是：

思路二：運(yùn)用“補(bǔ)集思想”求解

考慮其反面“有公共點(diǎn)”，則可避免分情況討論，使問題簡化。

解：根據(jù)題意，設(shè)全集，先求橢圓與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍，易得線段 的方程為：，，

由方程得：，

求解得：，又，

當(dāng)橢圓與線段AB沒有公共點(diǎn)時(shí)，

實(shí)數(shù)a的取值范圍是：

分析：從兩種思路的解題過程中，不難看出，運(yùn)用“補(bǔ)集思想”避免了分類討論且讓運(yùn)算更簡便，出現(xiàn)意想不到的效果。

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，歸納總結(jié)出題目中含有“至多”，“至少”，“不等”等這類詞語的問題，正面求解比較復(fù)雜抽象，往往從問題的反面入手，根據(jù)補(bǔ)集思想，從詞義反面考慮，對(duì)原問題作部分或全部的否定，用這種方法轉(zhuǎn)化問題就可化繁為簡，化難為易，從而實(shí)現(xiàn)快速而精準(zhǔn)的解題。

總之，“補(bǔ)集思想”在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，通常遇到帶“至多、至少、不等”的題目或是存在性命題，只要認(rèn)真審題，抓住問題的本質(zhì)特征，運(yùn)用補(bǔ)集思想，注意運(yùn)用一些基本策略和解題技巧，適當(dāng)轉(zhuǎn)變思路，嘗試用逆向思維對(duì)問題進(jìn)行分析，就可能找到捷徑，使問題迎刃而解，往往都能達(dá)到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]張春杰.知識(shí)與能力并重，思想和方法同行[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（11）.

[2]王頌文.也談補(bǔ)集思想的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2009（9）：26.

作者簡介：楊杰（1976- ），女，漢族，學(xué)士，云南保山人，職稱：中教一級(jí)，單位：云南省保山市第一中學(xué)，研究方向：數(shù)學(xué)教育。