沈祺欣++陳雪++蔡志超

摘 要：運(yùn)用懸鏈線、幾何受力分析、非線性約束優(yōu)化等方法求解基于懸鏈線的系泊系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計的3個問題，得到在給定條件下，系泊系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)據(jù)以及在未定條件下怎樣選擇最優(yōu)錨鏈、重物球配置來設(shè)計系泊系統(tǒng)。利用躺底和不躺底的懸鏈線公式，計算出使錨鏈躺底的臨界風(fēng)速ν0，再根據(jù)錨鏈的不同形態(tài)，對兩種風(fēng)速下的系統(tǒng)，借助于非線性方程組計算求解，通過建立非線性約束優(yōu)化模型，求出重物球質(zhì)量m1上下限。而在極端條件下，重新整合目標(biāo)函數(shù)和約束條件，獲得新的多目標(biāo)非線性約束優(yōu)化模型，把吃水深度和鋼桶傾斜角度作為約束條件，用浮標(biāo)游動區(qū)域為目標(biāo)對模型優(yōu)化。

關(guān)鍵詞：系泊系統(tǒng) 懸鏈線 受力分析 非線性方程組 非線性約束優(yōu)化 多目標(biāo)優(yōu)化模型

中圖分類號：P751 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）12（a）-0055-03

近淺海觀測網(wǎng)的傳輸節(jié)點由浮標(biāo)系統(tǒng)、系泊系統(tǒng)和水聲通訊系統(tǒng)組成。如圖1所示，浮標(biāo)系統(tǒng)可簡化為底面直徑2 m、高2 m的圓柱體，浮標(biāo)質(zhì)量1 000 kg。系泊系統(tǒng)由鋼管、鋼桶、重物球、錨鏈和錨組成，錨質(zhì)量600 kg，鋼管共4節(jié)，每節(jié)長1 m直徑50 mm，每節(jié)質(zhì)量10 kg，要求錨鏈末端與錨鏈接處切線方向與海床夾角不超過16°。水聲通訊系統(tǒng)安裝在長1 m、外徑30 cm的密封圓柱形鋼桶內(nèi)，設(shè)備和鋼桶總質(zhì)量100 kg，鋼桶上接第4節(jié)鋼管下接錨鏈，鋼桶豎直時，水聲通訊設(shè)備工作效果最佳，若鋼桶傾斜，則影響設(shè)備工作效果，鋼桶傾斜角超過5°時，設(shè)備工作效果較差，為控制鋼桶傾斜角度，鋼桶與電焊錨鏈鏈接處可懸掛重物球。

1 分析

該系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計類似一個懸鏈線模型，但與普通的懸鏈線模型又有不同，其主要分為兩部分，鋼桶以下連接錨鏈可看成懸鏈線模型；鋼桶以上連接4根鋼管，需單獨分析。問題一，首先，建立平面直角坐標(biāo)系并對系統(tǒng)各部受力進(jìn)行分析；如圖2所示，要考慮系統(tǒng)臨界狀態(tài)，計算出使錨鏈?zhǔn)欠裉傻椎呐R界風(fēng)速ν0；最后根據(jù)錨鏈的不同形態(tài)，對兩種風(fēng)速下的系統(tǒng)，借助于非線性方程組計算求解。問題二利用一種所得模型，直接解出風(fēng)速為36 m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀和浮標(biāo)的游動區(qū)域，再通過建立非線性約束優(yōu)化模型，求出重物球質(zhì)量m1下限。根據(jù)浮標(biāo)恰好浸沒于海平面時的受力分析，求出重物球質(zhì)量m1上限。問題三采用極限思想的方法，假設(shè)風(fēng)速和海水速度均達(dá)到最大值，取水深16 m和20 m的兩種情況，利用問題二的模型，重新整合目標(biāo)函數(shù)和約束條件，獲得新的多目標(biāo)非線性約束優(yōu)化模型，然后對模型計算求解。

1.1 系統(tǒng)各部受力分析

對系統(tǒng)進(jìn)行受力分析，建立方程求解，對每一個力F建立坐標(biāo)，進(jìn)行關(guān)于水平方向和豎直方向的正交分解。接下來自下而上對系統(tǒng)內(nèi)各部分進(jìn)行受力分析。以鋼桶為例，得到如下受力分析圖如圖3、圖4所示。

各分力在水平和豎直方向受力平衡，桶長度為1 m，以及以P1點作為基點分析力矩平衡，可列出如下方程組：

4根鋼管與此類似，而浮標(biāo)的方程組如下：

1.2 懸鏈線計算公式

根據(jù)文獻(xiàn)[1]可知，常見有3種懸鏈線構(gòu)型及張力分布情況如圖5所示。

躺底的懸鏈線計算公式[1]：

不躺底的懸鏈線計算公式[1]：

2 求解

2.1 判斷臨界值求解問題一

把傾角5°作為一個限制條件，假設(shè)極端情況——鋼管與鋼桶全都成一條直線，這樣計算出的誤差值Δd為0.019 m.可見即使在鋼管和鋼桶都傾斜5°的情況下，豎直高度誤差也是極小的。把浮標(biāo)以下所連物體都看成一整體，則參照浮標(biāo)受力分析圖解出臨界風(fēng)速：ν0=22.3 m/s（如圖6所示）。

圖6 浮標(biāo)下鋼管堅直與傾斜的高度差

最后兩種風(fēng)速下的情況分別套用躺底和不躺底的公式，聯(lián)合其他條件用Mtalab中的fsolve函數(shù)就能求出結(jié)果見表1所示。

2.2 用非線性約束優(yōu)化模型求解問題二

下限質(zhì)量的求解其實可以在問題一模型的基礎(chǔ)上，附加一組約束條件，形成一個非線性約束優(yōu)化模型。為此，只要找出問題二需要的目標(biāo)函數(shù)，即：minG1。給出的限制條件為鋼桶傾斜角度θ5不超過5°，錨鏈在錨點與海床的夾角α不超過16°。結(jié)合鋼桶受力分析圖，得到如下不等式約束：

由于36 m/s時錨鏈同樣不躺底，與24 m/s情況相同，所以我們?nèi)圆捎梦刺傻椎膽益溇€計算公式。結(jié)合上文受力分析所得的非線性方程組，整合方程組即為我們需要的等式約束條件.用Matlab中的fmincon函數(shù)求解得：重物球質(zhì)量m1下限2 045.8 kg；根據(jù)浮標(biāo)恰好浸沒于海平面時的受力分析，求出重物球質(zhì)量m1上限6 109 kg。

2.3 多目標(biāo)非線性約束優(yōu)化求解問題三

新的優(yōu)化模型有3個目標(biāo)函數(shù)，即minχ6、minθ5和minθ5。但由于多目標(biāo)優(yōu)化問題求解困難，考慮到問題中的要求（鋼桶傾斜不超過5°，浮標(biāo)必須露出海面），我們將其中兩個目標(biāo)轉(zhuǎn)化為約束條件，即將吃水深度和鋼桶傾斜角度轉(zhuǎn)化為約束條件.這樣游動區(qū)域就成了唯一的目標(biāo)函數(shù)，即：minχ6。

3 結(jié)語

我們主要建立的是一個靜力平衡模型，從水平方向、豎直方向來分析受力平衡，通過位置與力分析力矩平衡，建立非線性方程組，最終解得所有未知量。我們還建立了非線性約束優(yōu)化模型，求出了最優(yōu)解。對于最后一問，我們將多目標(biāo)優(yōu)化模型，將其中的兩個目標(biāo)轉(zhuǎn)換為約束條件。在處理過程中，我們忽略了海水對錨鏈的作用力，存在一定誤差。

多目標(biāo)優(yōu)化模型在當(dāng)今社會的生活中很有非常廣泛的應(yīng)用，比如：有時候我們既想要獲得最小風(fēng)險又想要獲得最大收益，對此我們就可以運(yùn)用多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行解答。

參考文獻(xiàn)

[1] 袁夢，范菊，朱仁傳，等.基于懸鏈線理論的系泊系統(tǒng)勢能[J].上海交通大學(xué)學(xué)報，2011，45（4）：597-603.

[2] 王丹.一般狀態(tài)下懸鏈線方程的應(yīng)用[J].航海工程，2007，36（S）：26-28.