樂 源， 繆鵬程

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都 610031)

一類碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的激變和擬周期-擬周期陣發(fā)性

樂 源， 繆鵬程

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都 610031)

研究了一類三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的激變和陣發(fā)性。六維龐加萊(Poincaré)映射能夠表示成另外一個(gè)不對(duì)稱映射的二次迭代，這表明系統(tǒng)具有對(duì)稱性。該系統(tǒng)普遍存在發(fā)生Hopf分岔后得到的一對(duì)共軛擬周期運(yùn)動(dòng)。根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)的極限集理論，討論了極限集的對(duì)稱性，得到系統(tǒng)發(fā)生激變的條件，并引入一個(gè)距離函數(shù)判定對(duì)稱性恢復(fù)和激變臨界點(diǎn)。當(dāng)共軛混沌吸引子和不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)的最小距離等于0時(shí)，一對(duì)共軛混沌吸引子將會(huì)與不穩(wěn)定的對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)在其吸引域邊界發(fā)生碰撞，從而導(dǎo)致激變。通過數(shù)值模擬，揭示了激變之后的一種新的陣發(fā)性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象：擬周期-擬周期陣發(fā)性。其分岔機(jī)制是：兩個(gè)共軛擬周期吸引子→兩個(gè)共軛擬周期吸引子倍化→兩個(gè)共軛帶狀混沌吸引子→一個(gè)對(duì)稱混沌吸引子→一個(gè)對(duì)稱擬周期引子，通過對(duì)稱極限集理論來區(qū)分對(duì)稱吸引子和共軛吸引子，同時(shí)采用QR法計(jì)算Lyapunov指數(shù)并用來確定吸引子的類型。激變導(dǎo)致的擬周期-擬周期陣發(fā)性，對(duì)于多自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究及優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。

碰撞振動(dòng)系統(tǒng)；擬周期運(yùn)動(dòng)；激變；陣發(fā)性

具有對(duì)稱性的映射動(dòng)力系統(tǒng)普遍存在對(duì)稱性恢復(fù)分岔，即：兩個(gè)或多個(gè)混沌吸引子融合并形成一個(gè)對(duì)稱混沌吸引子[1]。當(dāng)參數(shù)穿過激變臨界值時(shí)，兩個(gè)吸引子同時(shí)接觸吸引域的邊界。這意味著兩個(gè)吸引子與不穩(wěn)定鞍型軌道在吸引域邊界發(fā)生碰撞[2]。激變之后，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為展示出陣發(fā)性特征。激變誘發(fā)的陣發(fā)性這一概念用于描述動(dòng)力系統(tǒng)在激變后出現(xiàn)的特殊動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。文獻(xiàn)[3]的研究結(jié)果表明，所謂的對(duì)稱性破缺以及對(duì)稱性增長(zhǎng)導(dǎo)致的吸引子的碰撞和爆發(fā)，本質(zhì)都是共軛吸引子與對(duì)稱極限集之間發(fā)生碰撞的結(jié)果。然而，上述文獻(xiàn)關(guān)于激變之后誘發(fā)的陣發(fā)性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象僅僅針對(duì)混沌-混沌陣發(fā)性，目前尚未見關(guān)于擬周期運(yùn)動(dòng)的陣發(fā)性的研究和報(bào)道。通過研究一類具有對(duì)稱性的三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的激變和陣發(fā)性，首次揭示了激變之后的一種新的陣發(fā)性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象：擬周期-擬周期陣發(fā)性。

碰撞振動(dòng)現(xiàn)象廣泛存在于實(shí)際工程領(lǐng)域，例如齒輪的拍擊、引擎的錘擊、存在止擋沖撞的機(jī)械系統(tǒng)、船舶和浮體在波浪作用下的沖擊振動(dòng)、機(jī)器人操作器與環(huán)境接觸和脫離引起的碰撞、航天器伸展系統(tǒng)由于關(guān)節(jié)間隙而發(fā)生沖擊等。由于存在碰撞，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性和非光滑性。研究碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和噪聲控制具有重要意義。非線性動(dòng)力學(xué)的分岔和混沌的研究是近十幾年來非線性科學(xué)領(lǐng)域十分活躍的研究前沿[4-5]。隨著非線性動(dòng)力系統(tǒng)理論、動(dòng)態(tài)測(cè)試技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的研究進(jìn)入了全新的階段。HOLMES等[6-7]考慮單自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，研究了周期運(yùn)動(dòng)的存在性和穩(wěn)定性、分岔和混沌行為。對(duì)于多自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，在分岔點(diǎn)處可能同時(shí)存在兩種類型的分岔，這就導(dǎo)致了余維二分岔。各種分岔之間相互作用，對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的局部動(dòng)力學(xué)具有重要的影響。文獻(xiàn)[8-11]采用中心流型—范式理論和數(shù)值模擬的方法研究了各種余維二分岔，包括Hopf-flip分岔、Hopf-Hopf分岔以及各種強(qiáng)共振情況下的Hopf分岔。ZHANG等[12]對(duì)振動(dòng)篩系統(tǒng)的兩類余維三分岔進(jìn)行了研究。當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)穿過某個(gè)臨界值時(shí)，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的振子將會(huì)以零速度與剛性約束發(fā)生碰撞。這種現(xiàn)象在碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中被稱為“擦邊”。在擦切點(diǎn)處，系統(tǒng)的龐加萊映射是不連續(xù)的，并且會(huì)產(chǎn)生由這樣的非光滑因素誘發(fā)的一些非典型的分岔[13-14]。近年來其他關(guān)于碰撞振動(dòng)系統(tǒng)力學(xué)的研究參見文獻(xiàn)[15-17]。然而目前還未見關(guān)于碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的對(duì)稱性恢復(fù)和激變的研究報(bào)道。

文獻(xiàn)[18-19]的研究結(jié)果表明，具有對(duì)稱性的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)普遍存在一對(duì)共軛吸引子，并引入一個(gè)虛擬的隱式映射來捕獲這對(duì)共軛吸引子。通過研究三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的激變和陣發(fā)性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，引入一個(gè)距離函數(shù)判定激變臨界點(diǎn)。當(dāng)共軛混沌吸引子和不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)的最小距離接近0時(shí)，一對(duì)共軛混沌吸引子將會(huì)與不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)在其吸引域邊界發(fā)生碰撞，從而導(dǎo)致對(duì)稱性恢復(fù)和激變。數(shù)值結(jié)果表明，當(dāng)控制參數(shù)在一定區(qū)間變化時(shí)，共軛擬周期運(yùn)動(dòng)將會(huì)恢復(fù)對(duì)稱性，并出現(xiàn)激變誘發(fā)的陣發(fā)性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。通過對(duì)稱極限集的概念來區(qū)分對(duì)稱吸引子和共軛吸引子，同時(shí)采用QR法計(jì)算Lyapunov指數(shù)并用來確定吸引子的類型。

1 力學(xué)模型，對(duì)稱性和Lyapunov指數(shù)

圖1表示一類軸向振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型。該系統(tǒng)有三個(gè)質(zhì)量塊M1，M2，M3，其中M2上在M3兩邊分別有一個(gè)剛性約束，因此是具有雙側(cè)剛性約束的三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)。M2通過剛度為K2的線性彈簧與阻尼為C2的線性阻尼器與剛性平面相連。M1通過剛度為K1的線性彈簧，阻尼為C1的線性阻尼器與M2相連。M3通過剛度為K3的線性彈簧，阻尼為C3的線性阻尼與M2相連。質(zhì)量塊Mi(i=1,2,3)上作用振幅為Pi的簡(jiǎn)諧激勵(lì)力。當(dāng)激勵(lì)力振幅很小時(shí)，系統(tǒng)做強(qiáng)迫振動(dòng)，是一個(gè)線性系統(tǒng)。當(dāng)激勵(lì)力振幅增加到一定值時(shí)，M3會(huì)依次與M2上的兩個(gè)剛性約束發(fā)生碰撞，系統(tǒng)變成強(qiáng)非線性系統(tǒng)。碰撞以一個(gè)恢復(fù)系數(shù)R來描述。假設(shè)碰撞的時(shí)間很短，與激勵(lì)力的周期相比可以忽略不計(jì)。假定C1，C2，C3為比例阻尼。

圖1 具有對(duì)稱剛性約束的三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)Fig. 1 Three-degree-of-freedom vibro-impact system with symmetry

在任意兩次連續(xù)碰撞之間, 無(wú)量綱化的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(1)

y2+=δ11y2-+δ12y3-，y3+=δ21y2-+δ22y3-

(2)

(3)

碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的相空間為

(4)

式中，S1為單位圓。把Poincaré截面選在與左邊剛性約束碰撞后的瞬時(shí)，即

(5)

定義變換

(6)

Poincaré映射P是由四個(gè)子映射組成的：①P1映射，質(zhì)量塊M3與左邊擋板碰撞后的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)到到與右邊擋板碰撞前的瞬時(shí)所確定的映射；②P2映射，質(zhì)量塊M3與右邊擋板碰撞的過程；③P3映射，M3質(zhì)量塊與右邊擋板碰撞后的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)到與左邊擋板碰撞前的瞬時(shí)所確定的映射；④P4映射,質(zhì)量塊M3與左邊擋板碰撞的過程。因此，Poincaré映射可以表示為

P=P4·P3·P2·P1

(7)

Poincaré映射的Jacobi矩陣為

DP=DP4(P3·P2·P1(X0))·DP3(P2·P1(X0))×
DP2(P1(X0))·DP1(X0)

(8)

令

Q=R-1Q1

(9)

式中，Q1為與左邊擋板碰撞后的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)到與右邊擋板碰撞前的瞬時(shí)所確定的映射。則Poincaré映射可以寫為

P=Q2

(10)

式中，Poincaré映射P是映射Q的二次迭代。令TP(x*)=Dx*P為Poincaré映射在初始點(diǎn)x*處的Jacobi矩陣。則

(11)

(12)

2 對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)與對(duì)稱極限集

如果X*滿足P(X*)=X*，那么X*為Poincaré映射P的不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)。采用符號(hào)“(n,p)”來表示對(duì)稱碰撞系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)。其中p為碰撞次數(shù)，n為激勵(lì)力的周期數(shù)。因此，對(duì)稱周期(n,2)(n為奇數(shù))運(yùn)動(dòng)表示n個(gè)激勵(lì)周期發(fā)生左右兩次對(duì)稱碰撞。對(duì)稱碰撞是指質(zhì)量塊M3與左右兩個(gè)擋板發(fā)生碰撞后，系統(tǒng)相應(yīng)的坐標(biāo)絕對(duì)值相等，方向相反。

定義1 (對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn))如果不動(dòng)點(diǎn)X*滿足

X*=Q(X*)

(13)

則X*為Poincaré映射P的一個(gè)對(duì)稱(周期(n,2))不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)相應(yīng)的對(duì)稱周期(n,2)運(yùn)動(dòng)。

(14a)

(14b)

則存在對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)。

定義2 (對(duì)稱極限集)如果X的ω極限集滿足

ωP(X)=ωP(Q(X))

(15)

則ωP(X)為對(duì)稱極限集。

引理1 如果ωP(X)是吸引子或者是周期解(不一定是吸引的)，且滿足ωP(X)與ωP(Q(X))(即ωQ2k(X)與ωQ2k+1(X))的交集為非空，則ωP(X)是對(duì)稱ω極限集。

引理1表明，一對(duì)共軛吸引子ωQ2k(X)與ωQ2k+1(X)發(fā)生碰撞會(huì)產(chǎn)生一個(gè)單一的對(duì)稱吸引子。一對(duì)共軛吸引子互相碰撞意味著它們同時(shí)與不穩(wěn)定鞍形軌道(即不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn))在吸引域的邊界發(fā)生碰撞。激變導(dǎo)致的陣發(fā)性是指吸引子尺寸突然變大并互相融合后產(chǎn)生的一種特殊動(dòng)力學(xué)行為。在激變臨界點(diǎn)處，兩個(gè)共軛吸引子同時(shí)接觸吸引域的邊界。

3 對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)的解析解和對(duì)稱性激變

(16)

令φkj為矩陣Ψ中的元素，式(1)的解為

(17)

將式(17)代入式(14)得τ0，aj，bj的解為

(18a)

aj=Eajcosτ0+Fajsinτ0

(18b)

bj=Ibja1+Jbja2+Kbja3

(18c)

式中，Vc，Uc，Eaj，F(xiàn)aj，Ibj，Jbj，Kbj為系統(tǒng)參數(shù)確定的常數(shù)。將t=0和τ0，aj，bj代入式(17)得到對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)的解X*=(x*1,y*1,x*2,y*2,x*3,y*3)。

這里不考慮Poincaré映射的擦邊分岔產(chǎn)生的奇異性。因此假定映射Q1，Q，P都是連續(xù)的和可逆的。相點(diǎn)X在P映射下的ω極限集為ωP(X)，在Q映射下的ω極限集為ωQ(X)。極限集可以是吸引和排斥

的，定義吸引子為漸近穩(wěn)定的ω極限集。因?yàn)閄和Q(X)是一對(duì)共軛的映射點(diǎn)，由X和Q(X)產(chǎn)生的ω極限集即ωP(X)和ωQ(X)稱為一對(duì)共軛的ω極限集。

點(diǎn)X在映射Q下的軌道為：X，Q(X)，Q2(X)，Q3(X)，Q2k(X)，Q2k+1(X)，…由于映射P是映射Q的二次迭代，則有

Q2k(X)=Pk(X)

(19)

Q2k+1(X)=Pk(Q(X))

(20)

即映射Q的偶數(shù)次迭代即為點(diǎn)X在映射P下的軌道；而映射Q的奇數(shù)次迭代即為點(diǎn)Q(X)在映射P下的軌道。因此式(20)和式(21)隱含了ωQ2k(X)=ωP(X)和ωQ2k+1(X)=ωP(Q(X))，則有

ωQ(X)=ωP(X)∪ωP(Q(X))

(21)

又因?yàn)?/p>

Q(Pk(X))=Q2k+1(X)=Pk(Q(X))

(22)

則

(23)

即

Q(ωP(X))=ωP(Q(X))

(24)

式(15)等價(jià)于ωQ2k(X)=ωQ2k+1(X)。也就是說，如果X的ω極限等于它的共軛極限集，那么ωP(X)是對(duì)稱極限集。根據(jù)式(21)，如果P和Q有相同的極限集，即ωP(X)=ωQ(X)，那么它就是一個(gè)對(duì)稱的ω極限集。此外根據(jù)式(24)，如果ωP(X)通過Q映射到自身，即Q(ωP(X))=ωP(X)，則它是對(duì)稱ω極限集。

此處Poincaré映射P本身不能表現(xiàn)出對(duì)稱性，但是由式(15)可知非對(duì)稱映射Q能夠得到一對(duì)共存的共軛ω極限集，這表示碰撞振動(dòng)系統(tǒng)具有對(duì)稱性。

為了找到發(fā)生激變的臨界點(diǎn)，在兩個(gè)共軛吸引子與不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)X*(表示不穩(wěn)定對(duì)稱周期軌道)之間定義一個(gè)距離函數(shù)

(25)

式中：(x*1,y*1,x*2,y*2,x*3,y*3)為不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(x10,y10,x20,y20,x30,y30)為吸引子中點(diǎn)的坐標(biāo)。Dmin=0表示ωQ2k(X)與ωQ2k+1(Q(X))有非空交集，因此是激變的臨界點(diǎn)。

4 擬周期運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性恢復(fù)和激變

4.1 擬周期吸引子的演變

考慮碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)：n=1，ζ=0.008 6，R=0.85，h=0.06，um3=0.6，um2=2.8，um1=1，uk3=0.8，uk2=0.2，uk1=1，uf3=0.4,uf2= 0.5，uf1=1。取系統(tǒng)激勵(lì)力的頻率ω為控制參數(shù)。當(dāng)ω=3.05時(shí)，有兩個(gè)共軛擬周期吸引子，在相空間中表示兩個(gè)共軛的環(huán)面(見如圖2(a))。為了獲得一對(duì)共軛擬周期吸引子，需要給不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)X*(根據(jù)第3節(jié)計(jì)算)施加一個(gè)ΔX的擾動(dòng)，并且通過映射Q對(duì)初始相點(diǎn)X=X*+ΔX進(jìn)行迭代。當(dāng)ω=3.05時(shí)，首先得到兩個(gè)不穩(wěn)定的共軛映射點(diǎn)，然后分別在Poincaré截面上收斂到一對(duì)共軛的擬周期吸引子(在相空間中表示為一對(duì)共軛環(huán)面)，見圖2(b)。當(dāng)控制參數(shù)增加到ω=2.985時(shí)，有一個(gè)單一的擬周期吸引子，見圖3。由于ωQ2k(X)=ωQ2k+1(X)，所以圖3所示的擬周期吸引子是對(duì)稱的，映射點(diǎn)首先進(jìn)入對(duì)稱擬周期吸引子上部區(qū)域并停留一段時(shí)間，然后進(jìn)入下部區(qū)域并停留一段時(shí)間，如此循環(huán)。這種在對(duì)稱擬周期吸引子的兩部分無(wú)限交替的過程叫做激變誘導(dǎo)的擬周期運(yùn)動(dòng)陣發(fā)性。這種擬周期運(yùn)動(dòng)的陣發(fā)性現(xiàn)象只存在于多自由度對(duì)稱碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中，目前尚未見相關(guān)報(bào)道。圖2所示的一對(duì)共軛擬周期吸引子是如何演變成如圖3所示的單一的對(duì)稱擬周期吸引子的？這個(gè)問題的解答需要以吸引子的對(duì)稱性恢復(fù)分岔理論為基礎(chǔ)。

(a)一個(gè)不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)和一對(duì)共軛擬周期吸引子(迭代160 000次截取最后60 000個(gè)點(diǎn))

(b)從初始點(diǎn)X*+ΔX開始的整個(gè)收斂過程

圖3 一個(gè)對(duì)稱擬周期吸引子：ω=2.985(迭代160 000次截取最后60 000個(gè)點(diǎn))Fig.3 A symmetric quasi-periodic attractor:ω=2.985(plot the last 60 000 points after 160 000 iterations)

圖2所示的一對(duì)共軛吸引子有各自的吸引域，以通過不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)X*的吸引域邊界分開。

4.2 擬周期吸引子的激變和對(duì)稱性恢復(fù)分岔

當(dāng)ω增加到激變點(diǎn)ωc時(shí)，這對(duì)共軛吸引子就會(huì)擴(kuò)大和合并，最終產(chǎn)生一個(gè)單一的對(duì)稱吸引子。激變可以通過共軛吸引子與不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)的最小距離來檢測(cè)，這一距離函數(shù)由式(25)定義。當(dāng)ω=3.004 2時(shí)，由式(25)計(jì)算的距離D見圖4。結(jié)果表明當(dāng)參數(shù)ω=3.004 2時(shí)，最小距離為Dmin≈4×10-4，這一距離非常接近0。因此得出結(jié)論，在ω=3.004 2附近將發(fā)生激變。

圖4 擬周期吸引子與不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)之間的距離ω=3.004 2；Dmin≈4×10-4Fig.4 The distance between the quasi-periodic attractors and the unstable symmetric fixed point ω=3.004 2；Dmin≈4×10-4

當(dāng)控制參數(shù)ω減小時(shí)，Poincaré截面的投影相圖如圖5所示。當(dāng)ω=3.018時(shí)，首先發(fā)生環(huán)面倍化，產(chǎn)生一個(gè)如圖5(a)所示的2T環(huán)面。當(dāng)ω=3.016時(shí)，通過第二次環(huán)面倍化產(chǎn)生一個(gè)4T環(huán)面，如圖5(b)所示。當(dāng)ω=3.013時(shí)，將不會(huì)有環(huán)面倍化分岔，但是將會(huì)產(chǎn)生如圖5(c)所示的一對(duì)共軛的帶狀混沌吸引子。當(dāng)ω=3.01時(shí)，兩個(gè)共軛的帶狀混沌吸引子將會(huì)分別演化成一個(gè)帶狀混沌吸引子。如圖5(d)所示，看起來非常接近不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)X*。當(dāng)ω=3.005時(shí)，共軛混沌吸引子將會(huì)大幅度擴(kuò)大并且會(huì)相互重疊，如圖5(e)所示?？雌饋硭鼈円呀?jīng)和不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)X*發(fā)生了碰撞。然而此時(shí)共軛吸引子與不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)的最小距離為Dmin≈8.5×10-3，這表明碰撞還沒有發(fā)生。在Poincaré截面的投影相圖上，這對(duì)共軛吸引子的重疊不能判斷它們之間的碰撞是否已經(jīng)發(fā)生，因?yàn)槿鐖D5所示的二維相圖僅僅是六維相空間的投影。當(dāng)ω=3.004 2時(shí)，類似的情況如圖5(f)所示。然而，在這種情況下，最小距離Dmin≈4×10-4(見圖4)，這一距離非常接近0。當(dāng)ω=3.004 1時(shí)，兩個(gè)共軛的混沌吸引子已經(jīng)與不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)X*發(fā)生了碰撞，并且形成了一個(gè)單一的更大的混沌吸引子，如圖5(g)所示。這一結(jié)果再次證實(shí)了ωc=3.004 2是吸引子碰撞的臨界點(diǎn)。當(dāng)ω減小時(shí)，例如取ω=2.985，對(duì)稱混沌吸引子將會(huì)變成一個(gè)對(duì)稱擬周期吸引子，如圖5(h)所示。因此，擬周期運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性恢復(fù)的路徑是：兩個(gè)共軛擬周期吸引子→兩個(gè)共軛擬周期吸引子倍化→兩個(gè)共軛帶狀混沌吸引子→一個(gè)對(duì)稱混沌吸引子→一個(gè)對(duì)稱擬周期吸引子。

(a)ω=3.018

(b)ω=3.016

(c)ω=3.013

(d)ω=3.01

(e)ω=3.005

(f)ω=3.004 2

(g)ω=3.004 1

(h)ω=2.985

4.3 擬周期吸引子激變誘發(fā)的陣發(fā)性

由圖6可觀察到激變后誘發(fā)的陣發(fā)性。當(dāng)ω=3.004 1時(shí)，兩個(gè)共軛混沌吸引子同時(shí)與對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)接觸，此時(shí)已經(jīng)發(fā)生激變，并導(dǎo)致混沌-混沌的陣發(fā)性，如圖6(a)所示。當(dāng)ω=2.985時(shí)，混沌-混沌陣發(fā)性轉(zhuǎn)變?yōu)閿M周期-擬周期陣發(fā)性，如圖6(b)所示。

以“2”節(jié)介紹的對(duì)稱極限集理論為基礎(chǔ)，通過投影相圖可以區(qū)分對(duì)稱吸引子和共軛吸引子。很顯然，如圖5(a)～圖5(d)所示的兩個(gè)吸引子，因?yàn)棣豎2k(X)≠ωQ2k+1(X)，所以這兩個(gè)吸引子是共軛的；因?yàn)棣豎2k(X)=ωQ2k+1(X)，所以如圖圖5(f)和5(g)所示的兩個(gè)吸引子是對(duì)稱的。但是在Poincaré截面投影出現(xiàn)相互重疊的情況時(shí)，需要進(jìn)一步的判斷。例如，如圖5(e)和圖5(f)所示的吸引子，盡管兩個(gè)吸引子在某些區(qū)域內(nèi)重疊，但是它們并不是分布在整個(gè)區(qū)域，這就表示ωQ2k(X)≠ωQ2k+1(X)，因此，吸引子在這兩種情況下是共軛的，但不是對(duì)稱的。

Lyapunov指數(shù)是一種判斷吸引子類型的有效工具，并采用第二節(jié)介紹的方法來計(jì)算。對(duì)于擬周期吸引子，至少有一個(gè)Lyapunov指數(shù)等于0。對(duì)于混沌吸引子，至少有一個(gè)Lyapunov指數(shù)大于0?？梢酝ㄟ^如表1所示的Lyapunov指數(shù)來判斷吸引子的類型。結(jié)果表明，混沌吸引子產(chǎn)生于吸引子碰撞激變之后，且最大的Lyapunov指數(shù)總是大于0。

(a)ω=3.004 1

(b)ω=2.985

圖號(hào)λ1λ2λ3λ4λ5λ6吸引子的類型圖2(a)0.0000-0.0035-0.0487-0.0615-0.2307-0.4786擬周期圖5(c)0.00220.0000-0.0470-0.0636-0.2390-0.4756混沌圖5(e)0.00830.0000-0.0450-0.0666-0.2518-0.4671混沌圖5(g)0.00990.0000-0.0461-0.0655-0.2570-0.4653混沌圖3(a)0.0000-0.0013-0.0442-0.0442-0.2845-0.4255擬周期

5 結(jié) 論

對(duì)于對(duì)稱碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，數(shù)值結(jié)果表明一對(duì)共軛擬周期運(yùn)動(dòng)能夠轉(zhuǎn)變成單個(gè)對(duì)稱的擬周期運(yùn)動(dòng)，并且在發(fā)生激變之后會(huì)出現(xiàn)擬周期運(yùn)動(dòng)的陣發(fā)性現(xiàn)象。對(duì)稱性恢復(fù)和激變?cè)谶@個(gè)轉(zhuǎn)換過程中具有關(guān)鍵作用。本文定義一個(gè)距離函數(shù)來確定激變臨界點(diǎn)。當(dāng)共軛吸引子與不穩(wěn)定對(duì)稱不動(dòng)點(diǎn)在Poincaré截面上的最小距離為零時(shí)，一對(duì)共軛混沌吸引子將會(huì)同時(shí)與不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)在吸引域邊界發(fā)生碰撞，這將會(huì)引起吸引子擴(kuò)大和合并。擬周期運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性恢復(fù)機(jī)制是：兩個(gè)共軛擬周期吸引子→兩個(gè)共軛擬周期吸引子倍化 → 兩個(gè)共軛帶狀混沌吸引子 → 一個(gè)對(duì)稱混沌吸引子 → 一個(gè)對(duì)稱擬周期吸引子。

基于六維Poincaré映射能夠表示成另外一個(gè)非對(duì)稱映射的二次迭代，定義對(duì)稱極限集來區(qū)分對(duì)稱吸引子和共軛吸引子。QR法是一種連續(xù)正交化的手段，可以用于計(jì)算Lyapunov指數(shù)，進(jìn)而判別吸引子的類型。

目前關(guān)于激變誘導(dǎo)的陣發(fā)性的研究，都集中在混沌-混沌陣發(fā)性，以及周期-周期陣發(fā)性[21-24]。本文揭示了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)中由于激變導(dǎo)致的擬周期-擬周期陣發(fā)性現(xiàn)象，這對(duì)于高維非線性動(dòng)力系統(tǒng)吸引子的分岔研究以及碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，均具有一定的理論和實(shí)踐意義。

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Crisis and quasiperiod-quasiperiod intermittency in a vibro-impact system

YUE Yuan, MIAO Pengcheng

(Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province, School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031,China)

Crisis and quasiperiod-quasiperiod intermittency in a 3-DOF vibro-impact system with symmetry were studied. The system’s 6-dimensional Poincaré map was expressed as the second iteration of another unsymmetric map, it implied that the system has a symmetry.Two conjugate quasi-periodic motions, coming from two conjugate periodic motions after Hopf bifurcation coexisted widely in such a dynamic system. According to the limit set theory of dynamic systems and the symmetry of the limit set, a distance function was introduced to detect the crisis of symmetry increasing. It was shown that when the minimum distance between a pair of conjugate chaotic attractors and an unstable symmetric fixed point is close to zero, a pair of conjugate chaotic attractors do not collide with the unstable symmetric fixed point on the attracting field boundary, to lead to a crisis. Numerical simulations revealed that a new intermittency behavior named the quasiperiod-quasiperiod intermittency occurs; the mechanism of symmetry restoring of quasi-periodic motion is two conjugate tori (quasi-periodic) → doubling of two conjugate tori → two conjugate band chaos attractors → a pair of symmetric chaos attractors → one symmetric torus (quasi-periodic); the symmetric limit set is introduced to distinguish symmetric attractors from conjugate ones; Lyapunov exponent spectrum computed with QR method is used to determine the type of attractors; the quasiperiod-quasiperiod intermittency is of importance for the optimization design of vibro-impact systems.

vibro-impact system; quasi-periodic motion; crisis; intermittency

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11672249；11272268；11172246)

2015-11-25 修改稿收到日期：2016-03-07

樂源 男，博士，教授，1974年2月生

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.001