時(shí)玉艷， 任勇生， 張玉環(huán)

(山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島 266590)

具有約束層阻尼旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動(dòng)態(tài)特性研究

時(shí)玉艷， 任勇生， 張玉環(huán)

(山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，山東 青島 266590)

復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)軸在高速旋轉(zhuǎn)下的振動(dòng)抑制，是先進(jìn)直升機(jī)和汽車(chē)傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)需要考慮的重要問(wèn)題。約束層阻尼技術(shù)是工程領(lǐng)域內(nèi)普遍采用的實(shí)用有效的阻尼減振設(shè)計(jì)方法；然而通過(guò)采用約束層阻尼處置方式增加復(fù)合材料傳動(dòng)軸的阻尼能力的研究報(bào)道，目前國(guó)內(nèi)外很少見(jiàn)到。從應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系、應(yīng)變-位移關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)出復(fù)合材料Timoshenko軸、約束層與黏彈性層的動(dòng)能及勢(shì)能的數(shù)學(xué)表達(dá)式，采用 Hamilton原理建立具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。采用廣義Galerkin法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了離散化，建立了廣義坐標(biāo)表示的自由振動(dòng)方程組，通過(guò)特征值求解得到系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比；基于比例阻尼假設(shè)和四階Runge-Kutta數(shù)值積分方法求解上述方程，得到系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)曲線。通過(guò)數(shù)值分析揭示了約束層材料、黏彈性層材料、鋪層方式、長(zhǎng)徑比和轉(zhuǎn)速對(duì)具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的固有振動(dòng)特性以及自由振動(dòng)響應(yīng)特性的影響。

被動(dòng)約束層阻尼；復(fù)合材料軸；轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；阻尼自由振動(dòng)

驅(qū)動(dòng)軸是用于直升機(jī)和汽車(chē)動(dòng)力傳輸系統(tǒng)中的一類(lèi)重要的結(jié)構(gòu)部件。與金屬材料軸相比，復(fù)合材料由于具有重量輕、比強(qiáng)度和比剛度高等優(yōu)點(diǎn)，因此，正在逐步取代金屬材料，在現(xiàn)代航空和汽車(chē)驅(qū)動(dòng)軸結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中獲得越來(lái)越廣泛的應(yīng)用[1-5]。高性能飛機(jī)和汽車(chē)的研制對(duì)復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)軸在高速和超高速跨臨界旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的振穩(wěn)定性和工作可靠性，提出了更高的要求，因此，采用實(shí)用有效的方法對(duì)旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料驅(qū)動(dòng)軸實(shí)現(xiàn)振動(dòng)抑制，就顯得十分重要。

被動(dòng)約束層阻尼是通過(guò)利用粘貼于受控結(jié)構(gòu)與約束層之間的高阻尼黏彈性材料耗散結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量，從而達(dá)到減振的目的。約束層阻尼的概念自20世紀(jì)50年代提出以來(lái)，已經(jīng)發(fā)展成為一個(gè)成熟的結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制技術(shù)。采用被動(dòng)約束層阻尼處置能夠在很寬的溫度和頻率范圍內(nèi)獲得較高的阻尼比，具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、減振性能可靠等優(yōu)點(diǎn)，是工程界普遍認(rèn)可的結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制措施之一[6]。

近年來(lái)，約束層阻尼結(jié)構(gòu)的研究成果主要集中在含約束層阻尼的非旋轉(zhuǎn)各向同性材料梁、板和殼類(lèi)結(jié)構(gòu)的阻尼特性研究方面[7-13]，而對(duì)于旋轉(zhuǎn)軸，尤其是針對(duì)旋轉(zhuǎn)各向異性復(fù)合材料軸的研究報(bào)道較少。NAPOLITANO等[14]等對(duì)具有約束層阻尼和拉-扭耦合的復(fù)合材料旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行了阻尼性能研究。他們通過(guò)有限元仿真和實(shí)驗(yàn)分析，發(fā)現(xiàn)扭轉(zhuǎn)阻尼可以通過(guò)設(shè)計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)。VENKATACHALAM等[15]對(duì)具有不同約束層阻尼的軸-盤(pán)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值分析和試驗(yàn)研究，采用基于板殼理論的半解析有限元法，分析了該系統(tǒng)的固有頻率和損耗因子。GHONEIM等[16]基于動(dòng)力平衡方法建立具有部分約束層的Timoshenko復(fù)合材料軸的運(yùn)動(dòng)方程，并結(jié)合有限元法和假設(shè)振型法，對(duì)軸的阻尼能力進(jìn)行研究。

REN等[17]從復(fù)合材料單層的三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和Timoshenko梁理論出發(fā)，在導(dǎo)出復(fù)合材料夾層軸的動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式的基礎(chǔ)上，采用Hamilton原理建立了具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的拉-彎-扭耦合運(yùn)動(dòng)方程，采用廣義Galerkin法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值求解，通過(guò)對(duì)約束層阻尼復(fù)合材料軸的自由振動(dòng)方程進(jìn)行特征值分析，得到約束層阻尼復(fù)合材料軸的前三階固有頻率和阻尼比，研究了約束層厚度、阻尼層厚度的影響。

本文在REN等工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考察約束層材料、纖維鋪層方式、長(zhǎng)徑比和黏彈性材料剪切模量，對(duì)旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的固有頻率及阻尼特性的影響?；诒壤枘峒俣?建立了具有約束層阻尼的復(fù)合材料軸自由振動(dòng)時(shí)間響應(yīng)分析模型，采用四階龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值積分，研究了不同參數(shù)對(duì)軸的自由振動(dòng)響應(yīng)特性的影響。

1 理論建模

如圖1所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的復(fù)合材料軸，是由復(fù)合材料軸、黏彈性層和約束層組成。其中r為復(fù)合材料軸的任意層的半徑，rs是軸的內(nèi)徑。hs，hv和hc分別為軸的厚度、黏彈性層的厚度和約束層的厚度。

為了建立具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動(dòng)力學(xué)方程，利用Hamilton原理

(1)

式中,δT=δTs+δTc+δTv，δU=δUs+δUc+δUv，下標(biāo)“s”、“c”和“v”分別為軸、約束層和黏彈性層。

復(fù)合材料軸、約束層和黏彈性層的動(dòng)能分別表示為

(a)

(b)圖1 具有約束層阻尼的復(fù)合材料軸Fig. 1 Composite shaft with a constrained layer damping

(2)

(3)

(4)

復(fù)合材料軸、約束層及黏彈性層的勢(shì)能分別為

(5)

(6)

(7)

在柱坐標(biāo)系 (x,r,α)下，復(fù)合材料軸和約束層的任意一層的本構(gòu)關(guān)系為

(8)

根據(jù)梁理論，σr,σα和ταx可以不予考慮。但在高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，應(yīng)力σr,σα一般不為0，應(yīng)當(dāng)予以保留，但σr和σα的具體形式暫不確定，可以假設(shè)它們?yōu)檩S對(duì)稱。由式(8)的第一、第二和第六個(gè)方程可知，εr,εα和γrα能夠用εx,γαx,γxr,σr和σα表示。

引入Timoshenko剪切修正系數(shù)κ[18]，得到表達(dá)式

(9)

根據(jù)Timoshenko梁理論，復(fù)合材料軸和約束層內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變表示為

(10)

黏彈性層的本構(gòu)關(guān)系為

(11)

式中,Gv為黏彈性層的復(fù)數(shù)剪切模量。

(12)

將式(9)和式(10)代入式(5)和式(6)，將式(11)和式(12)代入式(7)，分別進(jìn)行變分并代入式(1)，得位移表示的彎曲-橫向剪切耦合運(yùn)動(dòng)方程如下

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

設(shè)軸的兩端具有簡(jiǎn)支邊界條件

uy(0)=uz(0)=0,uy(L)=uz(L)=0

(19)

(20)

為了得到復(fù)合材料軸的近似解，設(shè)位移和轉(zhuǎn)角的表達(dá)式為

(21)

(22)

(23)

式中，[M]、[G]和[K]分別為質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣。

振動(dòng)方程式(23)能夠進(jìn)一步化為廣義特征值問(wèn)題

Ay=λy

(24)

其中，

(25)

對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)式(24)進(jìn)行特征值問(wèn)題求解，可以得到系統(tǒng)的各階固有頻率和阻尼比。

為了簡(jiǎn)化對(duì)自由振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題的分析過(guò)程，具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)振動(dòng)響應(yīng)的影響，基于Raleigh假設(shè)，通過(guò)引入如下比例阻尼矩陣進(jìn)行分析

[C]=a0[M]+a1[K]

(26)

式中:[M]和[K]分別為軸的模態(tài)質(zhì)量矩陣和模態(tài)剛度矩陣；a0,a1為比例系數(shù)，由式(27)確定

(27)

式中：ω1和ω2為軸的前兩階固有頻率；η1和η2為相應(yīng)前兩階阻尼比，這些固有頻率和阻尼比參數(shù)可以通過(guò)自由振動(dòng)分析得到。

將比例阻尼矩陣式(26)與運(yùn)動(dòng)方程式(23)中的陀螺矩陣[G]相疊加，得到系統(tǒng)的阻尼矩陣，對(duì)此阻尼自由運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值積分，可獲得系統(tǒng)的自由振動(dòng)時(shí)間響應(yīng)曲線。

2 數(shù)值結(jié)果與分析

以具有約束層阻尼的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸為研究對(duì)象，軸的材料為石墨環(huán)氧樹(shù)脂(簡(jiǎn)稱石墨/環(huán)氧)，材料常數(shù)為：E11=139 GPa，E22=11 GPa，G12=G13=6.05 GPa，G23=3.78 GPa,v12=0.313,ρs=1 578 kg/m3；軸的基本幾何尺寸為：軸的截面平均半徑50 mm，總厚度為4 mm，約束層總厚度為2 mm。黏彈性層厚度為2 mm。對(duì)振動(dòng)方程式(24)采用特征值技術(shù)進(jìn)行固有振動(dòng)特性分析，可得到固有頻率和阻尼比。

2.1 固有頻率與阻尼比

2.1.1 約束層材料的影響

軸長(zhǎng)L=1 m，共10層等厚，鋪層方式[θ/-θ]5。約束層分別采用高模量碳纖維環(huán)氧樹(shù)脂(簡(jiǎn)稱高模碳/環(huán)氧)、石墨/環(huán)氧、鋼和鋁材料。其中，高模碳/環(huán)氧和石墨/環(huán)氧復(fù)合材料的鋪層方式[β/-β]，鋪層角分別取β=0°、β=45°、β=90°，高模碳/環(huán)氧的材料常數(shù)為：E11=449 GPa，E22=9.3 GPa，G12=G13=3.24 GPa，G23=3.31 GPa，ν12=0.31，ν23=0.39，ρ=1 732 kg/m3；鋼材料常數(shù)為：E=207 GPa，G=79.6 GPa，ν=0.3,ρ=7 680 kg/m3；鋁材料常數(shù)為：E=69 GPa，G=26 GPa，ν=0.33,ρ=2 800 kg/m3；黏彈性材料Gv=69(1+i)MPa，ρv=1 575 kg/m3。

圖2～圖4表示轉(zhuǎn)速Ω=0 ，具有不同約束層材料，約束層的鋪層角分別取0°、45°和90°時(shí)，固有頻率和阻尼比隨軸的鋪層角的變化曲線。結(jié)果表明，隨著約束層復(fù)合材料鋪層角的增加，固有頻率和阻尼比表現(xiàn)出明顯下降的趨勢(shì)。當(dāng)β=0°時(shí)，采用復(fù)合材料約束層軸相對(duì)于采用金屬材料約束層軸的固有頻率和阻尼比而言，總體上有較大的增加；當(dāng)β=90°時(shí)，具有復(fù)合材料約束層軸的固有頻率和阻尼卻低于具有金屬材料約束層軸的固有頻率和阻尼。原因是復(fù)合材料約束層彈性主方向1上的彈性模量與金屬材料彈性模量相比，數(shù)值相當(dāng)或者較大，而復(fù)合材料約束層彈性主方向2上的彈性模量明顯小于金屬材料彈性模量。由此可見(jiàn)，為了能夠最大限度地提高軸的阻尼能力，同時(shí)不會(huì)以犧牲軸的固有頻率為代價(jià)，宜采用復(fù)合材料特別是高模量復(fù)合材料作為約束層。此外，從圖2～圖4中還可知，復(fù)合材料軸的鋪層角θ對(duì)于固有頻率和阻尼比也會(huì)產(chǎn)生明顯的影響。

圖5(a)～圖5(b)表示具有不同約束層材料的軸固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，由于陀螺效應(yīng)的存在，隨著轉(zhuǎn)速的增加，固有頻率和阻尼比曲線分叉為上下兩支，上支隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加，下支隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小。由圖5(a)可知，對(duì)于給定的轉(zhuǎn)速Ω，固有頻率從大到小排列相對(duì)應(yīng)的約束層材料依次是高模碳/環(huán)氧、石墨/環(huán)氧、鋼和鋁；由圖5(b)可知，阻尼比從大到小排列相對(duì)應(yīng)的約束層材料依次是高模碳/環(huán)氧、石墨/環(huán)氧、鋼和鋁。這與圖2(a)～圖2(b)是一致的。

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖2 不同約束層材料復(fù)合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角的變化曲線( β=0°) Fig. 2 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various material of constraining layer( β=0°)

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖3 不同約束層材料復(fù)合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角的變化曲線( β=45°) Fig. 3 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various material of constraining layer( β=45°)

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖4 不同約束層材料復(fù)合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角變化曲線( β=90°) Fig. 4 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various material of constraining layer( β=90°)

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖5 不同約束層材料復(fù)合材料軸固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速變化曲線( β=0°,θ=60°)Fig. 5 The natural frequency and damping ratio versus rotating speed Ω for various material of constraining layer( β=0°,θ=60°)

2.1.2 軸的鋪層方式的影響

軸長(zhǎng)L=1 m，共10層等厚，分別采用[θ/-θ]5和[θ]10兩種鋪層方式；約束層的材料為高模碳/環(huán)氧, 共2層等厚，鋪層方式[β/-β]，β=0°；黏彈性材料剪切模量為Gv=69(1+i)MPa，ρv=1 575 kg/m3。

圖6(a)～圖6(b)表示轉(zhuǎn)速Ω=0時(shí)，在具有不同鋪層方式的情況下，固有頻率和阻尼比隨鋪層角的變化曲線。結(jié)果表明，與鋪層方式[θ/-θ]5對(duì)應(yīng)的固有頻率，高于與鋪層方式[θ]10對(duì)應(yīng)的固有頻率，對(duì)于阻尼比而言，其值的大小與鋪層方式的關(guān)系與上述結(jié)論相反。當(dāng)鋪層角大于65°時(shí)，兩種鋪層方式下的固有頻率和阻尼比曲線基本重合。

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖6 不同鋪層方式下復(fù)合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角變化曲線( β=0°)Fig. 6 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various stacking sequences( β=0°)

圖7(a)～圖7(b)表示鋪層角θ=30°時(shí)，對(duì)應(yīng)于不同鋪層方式的固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，固有頻率和阻尼比大小與鋪層方式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分別與圖6(a)和圖6(b)是一致的。

2.1.3 長(zhǎng)徑比的影響

軸長(zhǎng)分別采用L=0.5 m、L=1 m、L=1.5 m，L=2.5 m(即軸的長(zhǎng)度與軸的截面半徑之比分別為10、20、30、50)，共10層等厚，鋪層方式[θ/-θ]5；約束層的材料為高模碳/環(huán)氧, 共2層等厚，鋪層方式[β/-β]，β=0°；黏彈性材料剪切模量為Gv=69(1+i)MPa，ρv=1 575 kg/m3。

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖7 不同鋪層方式下復(fù)合材料軸固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速變化曲線( β=0°)Fig. 7 The natural frequency and damping ratio versus rotating speed Ω for various stacking sequences( β=0°)

圖8(a)～圖8(b)表示轉(zhuǎn)速Ω=0時(shí)，對(duì)應(yīng)于不同長(zhǎng)徑比固有頻率和阻尼比隨鋪層角的變化曲線。結(jié)果表明，隨著長(zhǎng)徑比的增大，固有頻率和阻尼比隨著長(zhǎng)徑比的增加逐漸減小，大長(zhǎng)徑比下的固有頻率和阻尼比有彼此靠近的趨勢(shì)，在這種情況下，鋪層角的影響減弱。

圖9(a)～圖9(b)表示鋪層角θ=60°時(shí)，不同長(zhǎng)徑比軸的固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，當(dāng)長(zhǎng)徑比增至30和50時(shí)，上下兩支的分叉現(xiàn)象相對(duì)不再明顯。此外，隨著長(zhǎng)徑比的增大，復(fù)合材料軸的固有頻率值逐漸減小，且相互之間也在逐步靠近。這與圖8(a)～圖8(b)所得出的結(jié)論是相符合的。

2.1.4 黏彈性層剪切模量的影響

軸長(zhǎng)L=1 m，共10層等厚，鋪層方式[θ/-θ]5；約束層的的材料為高模碳/環(huán)氧, 共2層等厚，鋪層方式[β/-β]，β=0°。黏彈性材料的剪切模量分別為Gv=(69×107)*(1+i)Pa、Gv=(69×106)*(1+i)Pa、Gv=(69×105)*(1+i)Pa、Gv=(69×104)*(1+i)Pa，ρv=1 575 kg/m3。

圖10(a)～圖10(b)表示轉(zhuǎn)速Ω=0時(shí)，具有不同黏彈性材料剪切模量軸的固有頻率和阻尼比隨鋪層角的變化曲線。結(jié)果表明，黏彈性材料剪切模量對(duì)復(fù)合材料軸的阻尼比有重要的影響，隨著黏彈性材料剪切模量的增大，復(fù)合材料軸的固有頻率也隨之增大；但阻尼比似乎并非

(b)阻尼比圖8 不同長(zhǎng)徑比復(fù)合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角變化曲線( β=0°)Fig.8 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various ratio of the length and radius( β=0°)

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖9 不同長(zhǎng)徑比復(fù)合材料軸固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速變化曲線( β=0°)Fig. 9 The natural frequency and damping ratio versus rotating speed Ω for various ratio of the length and radius( β=0°)

隨著黏彈性材料剪切模量的增大而單調(diào)地增大，當(dāng)黏彈性材料剪切模量增加超過(guò)一定的限度，如圖10(b) 中的Gv=(69×105)*(1+i)Pa，隨著黏彈性材料剪切模量的繼續(xù)增加，阻尼比反而會(huì)產(chǎn)生下降的趨勢(shì)，這與文獻(xiàn)[20]的研究發(fā)現(xiàn)是一致的。

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖10 不同黏彈性材料剪切模量的復(fù)合材料軸固有頻率和阻尼比隨鋪層角θ變化曲線( β=0°)Fig. 10 The natural frequency and damping ratio versus fiber angle θ for various shear modulus of the viscoelastic material( β=0°)

圖11(a)～圖11(b)表示鋪層角θ=60°時(shí)，具有不同黏彈性材料剪切模量軸的固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，黏彈性材料剪切模量大小的變化，對(duì)固有頻率值影響不大，這與圖14(a)～圖14(b)的結(jié)果相一致。

圖11(a)～圖11(b)表示鋪層角θ=60°時(shí)，具有不同黏彈性材料剪切模量軸的固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。結(jié)果表明，當(dāng)剪切模量超過(guò)Gv=(69×105)*(1+i)Pa時(shí)，阻尼比-轉(zhuǎn)速曲線的上下兩支的分叉相對(duì)不再明顯。

2.2 自由振動(dòng)時(shí)間響應(yīng)

(a)固有頻率

(b)阻尼比圖11 不同黏彈性材料剪切模量的復(fù)合材料軸固有頻率和阻尼比隨轉(zhuǎn)速Ω變化曲線( β=0°)Fig. 11 The natural frequency and damping ratio versus rotating speed Ω for various shear modulus of the viscoelastic material( β=0°)

采用四階龍格-庫(kù)塔法對(duì)振動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值積分，得到復(fù)合材料軸的跨截面中點(diǎn)位置分別沿y、z方向的時(shí)間響應(yīng)曲線，研究約束層材料、軸的鋪層方式、長(zhǎng)徑比以及黏彈性層剪切模量對(duì)自由振動(dòng)響應(yīng)特性的影響。

2.2.1 約束層材料的影響

復(fù)合材料軸、約束層和黏彈性層的參數(shù)和鋪層與2.1.1中的取值相同，而軸的鋪層角θ=60°，旋轉(zhuǎn)速度Ω=2 000 r/min。

圖12～圖15分別表示約束層采用高模碳/環(huán)氧、石墨/環(huán)氧、鋼和鋁時(shí)，軸中點(diǎn)(x=L/2)的彎曲位移時(shí)間響應(yīng)uy(L/2,t)和uz(L/2,t)。結(jié)果表明，在軸和約束層的鋪層角一定的條件下，采用復(fù)合材料約束層，特別是高模量的碳纖維復(fù)合材料高模碳/環(huán)氧，能夠獲得比采用金屬材料約束層更為優(yōu)越的阻尼性能，這與圖2的結(jié)論是一致的。

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖12 具有高模碳/環(huán)氧約束層的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.12 Displacement response curves with time the composite shaft using HMCE constraining layer

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖13 具有石墨/環(huán)氧約束層的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.13 Displacement response curves with time the composite shaft using graphite-epoxy constraining layer

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖14 具有鋼約束層的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.14 Displacement response curves with time the composite shaft using steel constraining layer

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖15 具有鋁約束層的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.15 Displacement response curves with time the composite shaft using aluminum constraining layer

2.2.2 軸的鋪層方式的影響

復(fù)合材料軸、約束層和黏彈性層的參數(shù)和鋪層與“2.1.2”中的取值相同，旋轉(zhuǎn)速度Ω=2 000 r/min。圖16～圖17分別對(duì)應(yīng)于采用兩種不同的鋪層方式， [40°/-40°]5和[40°]10，軸中點(diǎn)的彎曲位移時(shí)間響應(yīng)。結(jié)果表明，復(fù)合材料軸在鋪層方式[40°]10下的響應(yīng)曲線比鋪層方式[40°/-40°]5下的響應(yīng)曲線，衰減速度要更快，這一結(jié)論與圖6的結(jié)論是相對(duì)應(yīng)的。

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖16 具有鋪層方式[40°/-40°]5的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.16 Displacement response curves with time the composite shaft with stacking sequence [40°/-40°]5

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖17 具有鋪層方式[40°]10的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.17 Displacement response curves with time the composite shaft with stacking sequence [40°]10

2.2.3 長(zhǎng)徑比的影響

復(fù)合材料軸、約束層和黏彈性層的參數(shù)和鋪層與2.1.3中的取值相同，而軸的鋪層角θ=60°，旋轉(zhuǎn)速度Ω=2 000 r/min。圖18～圖20分別表示軸的長(zhǎng)徑比取10、20、50時(shí)，軸的彎曲位移時(shí)間響應(yīng)。結(jié)果表明，短粗軸比細(xì)長(zhǎng)軸的時(shí)間響應(yīng)曲線衰減更快，因此，阻尼能力也更強(qiáng)，這也印證了圖8的結(jié)果。

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖18 長(zhǎng)徑比為10的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.18 Displacement response curves with time the composite shaft with the ratio of the length and radius 10

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖19 長(zhǎng)徑比為20的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.19 Displacement response curves with time the composite shaft with the ratio of the length and radius 20

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖20 長(zhǎng)徑比為50的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.20 Displacement response curves with time the composite shaft with the ratio of the length and radius 50

2.2.4 黏彈性層剪切模量的影響

復(fù)合材料軸、約束層和黏彈性層的參數(shù)和鋪層與2.1.4中的取值相同，而軸的鋪層角θ=60°，旋轉(zhuǎn)速度Ω=2 000 r/min。圖21～圖23分別表示黏彈性材料的剪切模量分別為Gv=69×103(1+i)Pa，Gv=69×104(1+i)Pa和Gv=69×105(1+i)Pa時(shí)，軸的彎曲位移時(shí)間響應(yīng)。結(jié)果表明，在一定的范圍內(nèi)，時(shí)間響應(yīng)曲線的衰減速度隨著黏彈性材料的剪切模量的增加而增加，這與圖10的規(guī)律是一致的。

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖21 黏彈性層剪切模量Gv=69×103(1+i)Pa的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.21 Displacement response curves with time the composite shaft with the shear modulus Gv=69×103(1+i)Pa

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖22 黏彈性層剪切模量Gv=69×104(1+i)Pa的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.22 Displacement response curves with time the composite shaft with the shear modulus Gv=69×104(1+i)Pa

(a)y向時(shí)間響應(yīng) (b)z向時(shí)間響應(yīng)圖23 黏彈性層剪切模量Gv=69×105(1+i)Pa的復(fù)合材料軸中點(diǎn)位移時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.23 Displacement response curves with time the composite shaft with the shear modulus Gv=69×105(1+i)Pa

最后，值得注意的是，在上述不同參數(shù)影響下的時(shí)間響應(yīng)曲線均出現(xiàn)了拍振現(xiàn)象。原因是在旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下，由于陀螺矩陣的存在，使得軸在y和z方向上的振動(dòng)產(chǎn)生相互耦合，從而產(chǎn)生拍振。顯然，拍振頻率隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加。

3 結(jié) 論

本文采用復(fù)合材料軸、約束層和黏彈性層的應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系、Timoshenko梁理論和Hamilton原理，建立具有約束層阻尼的復(fù)合材料軸的動(dòng)力學(xué)方程?；趶V義Galerkin法得到系統(tǒng)的離散化方程。采用特征值技術(shù)對(duì)上述方程進(jìn)行求解，分析系統(tǒng)的固有振動(dòng)特性(固有頻率與阻尼比)。為了分析系統(tǒng)的自由振動(dòng)時(shí)間響應(yīng)特性，基于Raleigh假設(shè)，將比例阻尼矩陣引入系統(tǒng)的離散化方程，采用四階龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值積分。根據(jù)本文提出的模型與計(jì)算方法，針對(duì)不同的約束層材料、纖維鋪層方式、長(zhǎng)徑比和黏彈性層剪切模量的復(fù)合材料軸，進(jìn)行了固有頻率、阻尼比和時(shí)間響應(yīng)的計(jì)算。主要研究結(jié)論如下：

(1)復(fù)合材料約束層，特別是高模量碳纖維約束層與金屬材料約束層相比，能夠顯著增加約束層阻尼復(fù)合材料傳動(dòng)軸的阻尼能力，同時(shí)不會(huì)以減低結(jié)構(gòu)本身的固有頻率為代價(jià)。

(2)復(fù)合材料軸鋪層方式能夠?qū)S的固有頻率與阻尼比產(chǎn)生不容忽視的影響。

(3)增大復(fù)合材料軸的長(zhǎng)徑比，其固有頻率值和阻尼比均隨之減小。

(4)復(fù)合材料軸的固有頻率隨著黏彈性材料剪切模量的增加而增加，在一定的范圍內(nèi)，黏彈性材料剪切模量的增加將導(dǎo)致復(fù)合材料軸的阻尼比增加，當(dāng)黏彈性材料剪切模量增加超出一定限度，復(fù)合材料軸的阻尼比隨著黏彈性材料剪切模量的增加而減小。

(5)軸的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對(duì)復(fù)合材料軸的振動(dòng)特性能夠帶來(lái)明顯的影響，例如，轉(zhuǎn)速的增加會(huì)導(dǎo)致固有頻率和阻尼比出現(xiàn)分叉現(xiàn)象，旋轉(zhuǎn)狀態(tài)下的自由振動(dòng)時(shí)間響應(yīng)會(huì)發(fā)生拍振現(xiàn)象。

本文的研究可進(jìn)一步擴(kuò)展，研究部分粘貼約束阻尼層的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動(dòng)力學(xué)特性、考慮黏彈性材料頻變特性，以及考慮復(fù)合材料內(nèi)阻的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料軸的動(dòng)力穩(wěn)定性問(wèn)題。

[ 1 ] HETHERINGTON E L, KRAUS R E, DARLOW M S. Demonstration of a super critical composite helicopter power transmission shaft [J]. Journal of American Helicopter Society, 1990, 35(1): 23-28.

[ 2 ] DARLOW M S, CREONTE J. Optimal design of composite helicopter power transmission shafts with axially varying fiber lay-up[J]. Journal of the American Helicopter Society,1995,40(2):50-56.

[ 3 ] LEE D G,KIM H S,KIM J W,et al. Design and manufacture of an automotive hybrid aluminum/composite drive shaft[J].Composite Structures,2004,63(1):87-99.

[ 4 ] TALIB A R A,ALI A, BADIE M A,et al. Developing a hybrid,carbon/glass fiber-reinforced,epoxy composite automotive drive shaft[J].Materials and Design,2010,31(1):514-521.

[ 5 ] BADIE M A, MAHDI E, HAMOUDA A M S.An investigation into hybrid carbon/glass fiber reinforced epoxy composite automotive drive shaft[J].Materials and Design, 2011,32(3):1485-1500.

[ 6 ] 戴德沛.阻尼技術(shù)的工程應(yīng)用[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，1991.

[ 7 ] ROSS D, UNGAR E E, KERWIN E M. Damping of plate flexural vibrations by means of viscoelastic laminate[M].Oxford:Pergamon Press, 1959.

[ 8 ] DITARANTO R A. Theory of vibratory bending for elastic and viscoelastic layered finite-length beams[J]. Journal of Applied Mechanics,1965, 32(4):881-886.

[ 9 ] MEAD D J, MARKUS S. The forced vibrations of a three-layer damped sandwich beam with arbitrary boundary conditions[J]. Journal of Sound & Vibration,1969, 10(2):163-175.

[10] KERWIN E M. Damping of flexural waves by a constrained viscoelastic layer [J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1959, 31(7): 952-962.

[11] CHEN Y C, HUANG S C. An optimal placement of CLD treatment for vibration suppression of plates[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2002, 44(8):1801-1821.

[12] DITARANTO R A. Theory of vibratory bending for elastic and viscoelastic layered finite-length beams[J]. Journal of Applied Mechanics,1965,32(4):881-886.

[13] MEAD, D J, MARKUS S. The forced vibration of a three-layer damping sandwich beam with arbitrary boundary conditions [J]. Journal of Sound and Vibration, 1969, 10(2): 163-175.

[14] NAPOLITANO K L, GRIPPO W, KOSMATKA J B, et al. A comparison of two cocured damped composite torsion shafts [J]. Composite Structures, 1998, 43(2): 115-125.

[15] VENKATACHALAM R, PRABU S B. Vibration characteristics of orthotropic shaft-disk system with different constrained damping layers: experimental and numerical study [J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2013, 65: 601-610.

[16] GHONEIM H, LAWRIE D J. Analysis of the flexural vibration of a composite drive shaft with partial cylindrical constrained layer damping treatment[J].Journal of Vibration and Control,2006,12(1):25-55.

[17] REN Yongsheng,ZHANG Yuhuan. Free vibration and damping of rotating composite shaft with a constrained layer damping[J]. Shock and Vibration, 2016(4):1-20

[18] DHARMARAJAN S, MCCUTCHEN H. Shear coefficients for orthotropic beams[J].Journal of Composite Materials,1973,7(4):530-535.

[19] KIM W, ARGENTO A, SCOTT R A. Free vibration of a rotating tapered composite Timoshenko shaft[J]. Journal of Sound and Vibration,1999,226(1):125-147.

[20] JIN G Y, YANG C M, LIU Z G, et al. A unified method for the vibration and damping analysis of constrained layer damping cylindrical shells with arbitrary boundary conditions[J]. Composite Structures,2015, 130:124-142.

Vibration characteristics of a rotating composite shaft with constrained layer damping

SHI Yuyan, REN Yongsheng, ZHANG Yuhuan

(College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qindao 266590, China)

The vibration suppression of a composite shaft operating at high speeds is an important issue in structural design of advance power transmission of helicopters and automobiles. Constrained layer damping technology is an effective method in engineering field and it is widely used for reducing structural vibration. However, the studies on strengthening damping of a composite shaft by using constrained layer damping treatment are relatively few. Here, a mechanical model was developed for a rotating composite shaft with passive constrained layer damping (PCLD). Based on the constitutive relation of materials and the strain-displacement relation, the kinetic energy and strain energy of the composite shaft, constrained layer and viscoelastic layer were derived. Hamilton’s principle was used to derive the motion equations of the shaft with PCLD. The motion equations were discretized by using the general Galerkin method. The natural frequencies and modal damping ratios were obtained by computing a matrix eigenvalue problem. Using the assumption of proportional damping and Runge-Kutta integration algorithm, the time history responses of the system’s damped free vibration were gained. The effects of constrained layer material, viscoelastic layer material, stacking sequences, ratio of length to diameter and rotating speed on the natural vibration characteristics and damped free vibration responses of the composite shaft with PCLD were analyzed using numerical simulation.

passive constrained layer damping (PCLD); composite shaft; rotor system; damped free vibration

國(guó)家自然科學(xué)基金(11272190)

2016-06-29 修改稿收到日期：2016-08-31

時(shí)玉艷 女，碩士生，1989年生

任勇生 男，博士，教授，1956年生

TB33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.008