劉中坡， 呂西林， 王 棟， 烏建中

(1.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804；2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)

非線性能量阱剛度優(yōu)化計(jì)算與振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)

劉中坡1， 呂西林2， 王 棟2， 烏建中1

(1.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804；2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200092)

介紹了一種通過幾何非線性產(chǎn)生非線性回復(fù)力的NES，并對(duì)它的寬頻控制特性進(jìn)行了研究。通過解析方式求得1∶1共振下頻率與能量之間的關(guān)系并繪制頻率能量圖，頻率能量圖直觀的表達(dá)了當(dāng)NES與線性振子連接到一起的時(shí)候，其相對(duì)于線性振子的振動(dòng)頻率與系統(tǒng)中能量水平有著直接關(guān)系。在多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)空間中使用解析法將NES剛度與線性振子的能量、頻率與振型建立相關(guān)的表達(dá)式。由表達(dá)式得到振動(dòng)系統(tǒng)在一定能量水平下，NES達(dá)到較優(yōu)控制效果所需的非線性剛度。根據(jù)較優(yōu)剛度計(jì)算方法，設(shè)計(jì)了NES振動(dòng)控制試驗(yàn)并進(jìn)行振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)。為了試驗(yàn)NES寬頻控制特性，振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面輸入采用了針對(duì)頻域測試的Chirp信號(hào)，試驗(yàn)過程中通過改變NES的彈簧剛度與增加被控框架質(zhì)量來改變框架動(dòng)力學(xué)特性的方法以檢驗(yàn)NES寬頻控制的效果。試驗(yàn)結(jié)果表明NES有較好的寬頻控制效果，即使其剛度偏離優(yōu)化值或被控對(duì)象動(dòng)力學(xué)特性發(fā)生一定改變，NES依然能發(fā)揮較好的振動(dòng)控制作用。

非線性能量阱；振動(dòng)控制；振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)；非線性振動(dòng)

振動(dòng)控制裝置被廣泛用于航天、汽車、機(jī)械與建筑工程中，目前大多數(shù)振動(dòng)控制裝置都是基于線性吸振器。隨著對(duì)非線性振動(dòng)研究的深入，非線性吸振器由于其寬頻控制的特性引起了相關(guān)研究者們的廣泛關(guān)注。ROBERSON[1]最早提出了采用非線性振子作為吸振器進(jìn)行振動(dòng)控制,VAKAKIS等[2]將一個(gè)非線性振子與一個(gè)線性振子相連接,研究了系統(tǒng)在沖擊載荷下1∶1的共振響應(yīng)，并提出非線性靶向能量傳遞現(xiàn)象，將該類剛度近似為立方剛度用于振動(dòng)控制的非線性振子命名為“非線性能量阱”(Nonlinear Engergy Sink，NES)[3]。GOURDON等[4]通過數(shù)值方法驗(yàn)證了該現(xiàn)象并指出NES優(yōu)于傳統(tǒng)的線性調(diào)頻類吸振裝置。PANAGOPOULOS等[5]研究了具有多個(gè)自由度的線性振動(dòng)系統(tǒng)與NES振子相連并發(fā)生1∶1共振時(shí)的共振頻率作用范圍的問題。GENDELMAN等[6]利用非線性分叉理論對(duì)NES的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，從而揭示了單自由度主振動(dòng)系統(tǒng)連接NES后的各個(gè)分叉枝，為NES的減振機(jī)理研究提供了分析基礎(chǔ)；LEE等[7]采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法對(duì)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程進(jìn)行分解，繪制了頻率能量圖，這幾位研究者的成果為研究NES的振動(dòng)控制提供了有效的工具。國內(nèi)學(xué)者張也弛等[8-9]對(duì)引發(fā)最優(yōu)靶向能量傳遞的條件與NES的參數(shù)優(yōu)化做了研究，孔憲仁等[10]對(duì)兩自由度NES在簡諧荷載下的力學(xué)特性與振動(dòng)控制效果使用數(shù)值方法進(jìn)行了研究。陳勇等[11]使用數(shù)值仿真方法研究了NES在高聳結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制中的應(yīng)用。通過解析方式對(duì)試驗(yàn)用框架在一定外界載荷作用下NES的剛度進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，求得較優(yōu)的NES剛度后進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。在頻域中考查NES，并在較優(yōu)與偏離優(yōu)化值的剛度參數(shù)下獲得振動(dòng)控制效果，通過改變?cè)囼?yàn)框架的質(zhì)量來改變框架的動(dòng)力學(xué)特性并考查NES的寬頻控制效果。

1 NES及其特性

1.1 NES結(jié)構(gòu)與動(dòng)力方程

NES由非線性回復(fù)力裝置、質(zhì)量塊和阻尼器構(gòu)成。利用線性彈簧，通過構(gòu)造幾何非線性使其提供非線性的回復(fù)力(見圖1)。

圖1 非線性振子實(shí)現(xiàn)方式Fig.1 Structure of nonlinear oscillator

質(zhì)量塊m在平衡位置時(shí)由兩根剛度相同且等長的彈簧拉住，當(dāng)彈簧受力沿中垂線移動(dòng)到平衡位置，可以得到回復(fù)力與位移關(guān)系的表達(dá)式

(1)

式中：F為沿中垂線方向作用到質(zhì)量塊的力；k為線性彈簧的剛度；un為質(zhì)量塊相對(duì)絕對(duì)坐標(biāo)系沿中線垂直方向的位移;l為彈簧被拉伸的長度。使用麥克勞林級(jí)數(shù)將式(1)展開得到式(2)

(2)

式中：l0為彈簧未受拉力下的原始長度，在質(zhì)量塊m處于水平平衡位置，彈簧處于不受力的狀態(tài)時(shí)，l0=l；將l0=l代入式(2)得到質(zhì)量塊m回復(fù)力近似表達(dá)式

(3)

式中：kn=k/l2；當(dāng)質(zhì)量塊位移un的絕對(duì)值在l長度40%以內(nèi)時(shí)，式(3)的誤差在5%以內(nèi)[12]。

圖2 單自由度線性振子與NESFig.2 SDOF linear oscillator and NES

把NES與單自由度線性振子連接到一起，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

(5)

1.2NES連接到線性振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性

NES在與線性系統(tǒng)連接到一起時(shí)，對(duì)線性系統(tǒng)的振動(dòng)控制主要通過與線性振子發(fā)生內(nèi)共振的方式實(shí)現(xiàn)的，內(nèi)共振形式有：主共振、亞諧波共振和非線性拍振，這些共振形式并不是同時(shí)出現(xiàn)，而是隨系統(tǒng)能量水平的不同被激發(fā)，但其中起主要作用的是主共振。在目前的研究中大多數(shù)學(xué)者一般通過頻率能量圖描述NES的振動(dòng)控制特性，本文對(duì)這種相對(duì)于以往非線性振動(dòng)分析中常用的幅頻、相頻圖較新的工具使用解析的方法進(jìn)行介紹，并使用頻率能量圖描述NES振動(dòng)控制中起主要作用的1∶1主共振，由此來說明使用NES振動(dòng)控制的時(shí)候，NES振動(dòng)頻率與被控對(duì)象能量相關(guān)的聯(lián)系。這里的1∶1主共振指的是式(4)所定義的非線性微分方程在式(6)所定義的初始狀態(tài)下

x(-T/4)=u(-T/4)=0

(6)

式中，T為非線性微分方程式(4)周期解的周期值，滿足式(7)條件且半周期一致的周期解[13]。

(7)

使用復(fù)化平均法來求解單自由度線性振子與NES連接到一起時(shí)候的1∶1共振[14]，定義復(fù)變量

(8)

由式(8)可以得到使用定義的復(fù)變量來表示的NES與線性振子的位移與加速度

(9)

式(9)中*表示復(fù)變量的共軛關(guān)系，定義的復(fù)變量可以使用式(10)進(jìn)行近似表達(dá)

ψ1(t)=φ1(t)ejωt,ψ2(t)=φ2(t)ejωt

(10)

將式(9)與式(10)代入式(5)可得到

(11)

根據(jù)復(fù)化平均法對(duì)式(11)消除快變頻率高于ω的項(xiàng)(e2jωt，e3jωt，…)，整理可得到

(12)

引入極坐標(biāo)變換

φ1=Aejα,φ2=Bjβ

(13)

式中：A與B為實(shí)幅值；α與β為實(shí)相位。將式(13)代入式(12)之后，兩個(gè)方程的實(shí)部與虛部各自為0，得到4個(gè)方程。定義相位α=β與對(duì)時(shí)間t的微分為0，將4個(gè)方程整理得到方程組

(14)

整理式(14)中的第一個(gè)方程并積分可以得到

A2+εB2=N2

(15)

式中，N為積分常數(shù)，式(15)為保守系統(tǒng)中的全部動(dòng)能。對(duì)式(14)方程組第二、第三個(gè)方程求解可以得到A、B的表達(dá)式，將其代入式(13)、式(10)與式(9)中的x與u的表達(dá)式，根據(jù)歐拉公式可以得到

(16)

根據(jù)式(16)可以得到保守系統(tǒng)的勢能與頻率之間的關(guān)系為

(17)

由式(17)得到的關(guān)系式，即可以在FEP(Frequency Energy Picture)中繪制S11±脊線的曲線。

1.3 頻率能量圖算例

考慮由式(4)定義并去掉阻尼項(xiàng)的一個(gè)保守系統(tǒng)的例子，令參數(shù)ε=0.05,C=1,ω∈[0.01～2]，并根據(jù)表達(dá)式(17)與式(16)在MATLAB中進(jìn)行求解，由求解結(jié)果繪制NES的頻率與能量相關(guān)的曲線(見圖3)。

圖3 S11±脊線的頻率能量圖Fig.3 FEP of backbone branch S11±

在時(shí)程數(shù)據(jù)中計(jì)算u-v，將得到的相對(duì)位移時(shí)程數(shù)據(jù)在MATLAB中進(jìn)行小波變換，得到分解的各個(gè)振動(dòng)頻率、頻率的幅值和時(shí)間序列，將這些數(shù)據(jù)通過時(shí)間序列與振動(dòng)時(shí)程中系統(tǒng)總體的能量建立關(guān)系，得到圖5。圖5與中x軸為系統(tǒng)的動(dòng)能與勢能之和，y軸為小波變換后分解得到的振動(dòng)頻率，z軸為各個(gè)分解頻率能量。對(duì)照?qǐng)D5可知，各個(gè)頻率的能量峰值對(duì)應(yīng)系統(tǒng)能量的坐標(biāo)值與S11+脊線所描述的關(guān)系基本一致，可以從圖5觀察出NES這種寬頻振動(dòng)的特性。由此算例說明FEP，相對(duì)傳統(tǒng)的幅頻響應(yīng)圖和相頻響應(yīng)圖可以更為形象的描述非線性振動(dòng)中頻率變化與系統(tǒng)能量變化的關(guān)系。且從圖5的分析結(jié)果，使用NES對(duì)被控目標(biāo)特定頻率范圍的振動(dòng)進(jìn)行控制需要根據(jù)振動(dòng)系統(tǒng)的能量水平來設(shè)計(jì)NES的參數(shù)。

圖4 線性振子與NES的位移時(shí)程Fig.4 Displacement time history of linear oscillator and NES

圖5 小波變換后各個(gè)頻率幅值與系統(tǒng)振動(dòng)能量關(guān)系Fig.5 Variation of frequency amplitude with the variation of the system’s energy

2 NES剛度優(yōu)化與仿真計(jì)算

2.1 NES剛度優(yōu)化理論

從上述分析可以得出結(jié)論在使用NES進(jìn)行振動(dòng)控制時(shí)，需要針對(duì)線性振子的能量水平來設(shè)計(jì)NES的參數(shù),不少文獻(xiàn)都涉及到NES參數(shù)優(yōu)化的內(nèi)容，在這里對(duì)NES的剛度優(yōu)化推導(dǎo)過程做簡要介紹。為了優(yōu)化單NES對(duì)多自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)控制效果，需要建立起線性振子頻率、能量與NES剛度之間的聯(lián)系。除此之外，與其他被動(dòng)振動(dòng)控制裝置類似，為了獲得較好的振動(dòng)控制效果，還需要結(jié)合被控系統(tǒng)的振型設(shè)計(jì)NES的安裝位置。

為了方便進(jìn)行分析，將式(4)表達(dá)的動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)到集中質(zhì)量多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)空間中。定義X=φq，φ為多自由度線性系統(tǒng)的模態(tài)振型矩陣，q為模態(tài)坐標(biāo)向量。在本文中關(guān)注的是NES對(duì)試驗(yàn)對(duì)象一階模態(tài)振動(dòng)的控制，所以通過該式將方程轉(zhuǎn)換到一階模態(tài)空間之中， 如式(18)

(18)

式中：M*1,C*1,K*1分別為多自由度系統(tǒng)一階模態(tài)質(zhì)量、阻尼與剛度；φn,1為歸一化之后一階模態(tài)振型在集中質(zhì)量n處的值；q1為一階模態(tài)坐標(biāo)；mn，u，kn和cn分別為NES的質(zhì)量、位移、非線性剛度與阻尼。定義mn/M*1=ε，cn/M*1=ελn，kn/M*1=εΩω*40，C*1/M*1=ελ*和K*1/M*1=ω*0，代入式(18)中，并通過式(19)進(jìn)行坐標(biāo)變換

(19)

得到式(18)經(jīng)過變換之后的近似表達(dá)式

(20)

使用式(8)與式(10)定義的復(fù)變量對(duì)s,vn進(jìn)行替換，并使用式(21)定義的多尺度進(jìn)行展開

(21)

展開之后消除久期項(xiàng)，并使用式(22)定義的極坐標(biāo)變量替換復(fù)變量

(22)

得到方程

(23)

(24)

得到式(24)，通過該式將被控的線性振子能量水平與NES的參數(shù)：質(zhì)量、剛度與阻尼聯(lián)系到一起，方便了對(duì)NES振動(dòng)控制性能的研究。將式(24)的第二式兩側(cè)對(duì)En求偏導(dǎo)，得到E1和En的解析表達(dá)式

(25)

圖6 E1與En多重解關(guān)系Fig.6 Multiplicity solution between E1 and En

為了簡化極值點(diǎn)的表達(dá)式，定義以下變量

(26)

E1極值與對(duì)應(yīng)En的值表達(dá)式為

(27)

(28)

式(27)與式(28)建立關(guān)系，求得當(dāng)滿足這個(gè)條件時(shí)的NES剛度表達(dá)式為

(29)

通過以上推導(dǎo)過程，得到了NES對(duì)一定能量水平的線性振子進(jìn)行較優(yōu)振動(dòng)控制所需的剛度，為后面試驗(yàn)設(shè)計(jì)提供了計(jì)算依據(jù)。

2.2 基于試驗(yàn)對(duì)象的較優(yōu)剛度參數(shù)仿真計(jì)算

由于在試驗(yàn)過程中無法直接測得框架頂層的速度，而NES剛度優(yōu)化計(jì)算又與線性振子的速度有關(guān)，所以采用數(shù)值仿真計(jì)算的方法來求得被控框架的速度。仿真計(jì)算的對(duì)象為試驗(yàn)中使用的小型兩層框架，每層高度0.3 m、寬度0.25 m、質(zhì)量4 kg，立柱為高0.6 m、寬0.15 m、厚1.2 mm的65Mn彈簧鋼板。試驗(yàn)過程中使用振動(dòng)測試系統(tǒng)中常用的Chirp信號(hào)對(duì)振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面進(jìn)行基于位移的激勵(lì)，設(shè)定信號(hào)的幅值2 mm，頻率范圍為1～15 Hz。從振動(dòng)臺(tái)控制系統(tǒng)中獲取到如圖7所示Chirp信號(hào)激勵(lì)下振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面實(shí)際的位移時(shí)程作為計(jì)算用的外部激勵(lì)，使用有限元軟件計(jì)算得到框架弱軸向的剛度陣和質(zhì)量陣作為仿真計(jì)算用模型的參數(shù)，將這些數(shù)值帶入兩自由度線性振子動(dòng)力學(xué)方程并在MATLAB中編寫方程積分計(jì)算的程序，計(jì)算程序中動(dòng)力學(xué)微分方程的積分求解使用四階龍格-庫塔法。框架在下的空框架速度時(shí)程見圖8。

圖7 Chirp信號(hào)Fig.7 Chirp signal

圖8 仿真得到框架頂層的速度時(shí)程Fig.8 Velocity time history at roof of the frame

3 NES振動(dòng)控制的振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)對(duì)象與設(shè)備

試驗(yàn)對(duì)象為一個(gè)小型二層鋼框架，框架詳細(xì)尺寸信息與“2.2”節(jié)中仿真對(duì)象的尺寸一致。經(jīng)過掃頻測試，框架一階頻率為3.8 Hz、二階頻率為10.6 Hz。使用Shake Table II型振動(dòng)臺(tái)，振動(dòng)臺(tái)與框架的安裝狀態(tài)如圖9(a)所示?？蚣苊繉影惭b一個(gè)IEPE型加速度計(jì)用來記錄框架動(dòng)力反應(yīng)信息，加速度信號(hào)經(jīng)過信號(hào)調(diào)理后輸入數(shù)據(jù)采集卡。數(shù)據(jù)采集設(shè)備使用9125型16位四通道同步采集卡，試驗(yàn)過程中采樣頻率200 Hz。

NES質(zhì)量塊為一通過直線軸承在光軸上滑動(dòng)的鋼塊，鋼塊兩側(cè)使用線性彈簧與框架的頂板連接，結(jié)構(gòu)如圖9(b)所示。NES的質(zhì)量與“2.2”節(jié)中計(jì)算取值一致，為130 g。張也馳等指出NES相對(duì)被控結(jié)構(gòu)質(zhì)量比≥5.6%是觸發(fā)最優(yōu)靶向能量傳遞的條件，在試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)的時(shí)候考慮到在應(yīng)用中NES的質(zhì)量較輕的話利于實(shí)施，同時(shí)參考了結(jié)構(gòu)振動(dòng)中線性調(diào)頻質(zhì)量阻尼器的質(zhì)量比設(shè)定范圍，將其設(shè)定為一階模態(tài)質(zhì)量的2.5%。該質(zhì)量比雖然不能滿足動(dòng)力學(xué)模型中最優(yōu)的完全能量傳遞，但在試驗(yàn)中還是發(fā)揮了較好的振動(dòng)控制作用。

(a) 框架安裝在臺(tái)面上 (b) NES結(jié)構(gòu)

3.2 試驗(yàn)過程

振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面的輸入使用本文“2.2”節(jié)介紹過的Chirp信號(hào)，起始與截至頻率為1～15 Hz，幅值2 mm。在試驗(yàn)中除了驗(yàn)證仿真計(jì)算得到NES的彈簧剛度對(duì)試驗(yàn)用框架加速度的控制，還改變NES彈簧的剛度試驗(yàn)不同剛度對(duì)框架的振動(dòng)控制效果的影響，所采用的彈簧見表1所列。另外為了考察NES對(duì)振動(dòng)控制的魯棒性，在試驗(yàn)過程中保持NES參數(shù)不變，改變框架的動(dòng)力特性以考察其控制的寬頻特性。由于改變框架的剛度比較難，試驗(yàn)中通過給框架頂板添加附加質(zhì)量塊來改變框架的振動(dòng)頻率。共有4個(gè)附加質(zhì)量塊，每塊質(zhì)量為0.4 kg，試驗(yàn)過程中每次遞加一個(gè)，附加質(zhì)量塊與框架的安裝見圖10。

表1 試驗(yàn)中使用的彈簧

圖10 附加質(zhì)量塊Fig.10 Attached mass of the frame

3.3 試驗(yàn)結(jié)果

NES彈簧使用表1中編號(hào)1的彈簧來近似得到仿真計(jì)算中求得的較優(yōu)剛度216 N/m，無附加質(zhì)量空框架和NES控制下框架頂層加速度的時(shí)程與加速度響應(yīng)譜對(duì)比分別如圖11(a)和圖11(b)所示。

(a) 框架頂層加速度時(shí)程對(duì)比

(b) 框架頂層加速度響應(yīng)譜對(duì)比

由圖11(a)所示框架頂層加速度的時(shí)程曲線可以看出：在Chirp信號(hào)作用的起始階段的5～13 s內(nèi)，振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面振動(dòng)的頻率接近框架一階模態(tài)頻率。在該范圍內(nèi)框架頂層的加速度得到了較好的控制，最大加速度由1.9g降低至0.79g。在13 s之后，振動(dòng)臺(tái)加載的頻率接近框架的二階頻率，框架振動(dòng)以二階頻率為主。此時(shí)從圖11(a)中加速度時(shí)程曲線可以觀察到，相對(duì)無控狀態(tài)，NES控制下框架頂層加速度雖然有一定量的削弱但是從加速度減小的比例上不如13 s之前。對(duì)兩個(gè)加速度時(shí)程分別計(jì)算其均方根，空框架的為0.913，NES控制下的為0.761相對(duì)空框架減少17%。

將頂層加速度時(shí)程數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT變換，轉(zhuǎn)到頻域范圍內(nèi)進(jìn)行分析，得到頂層加速度的反應(yīng)譜如圖11(b)所示。從圖11(b)中可以觀察到一階頻率3.8 Hz下加速的響應(yīng)譜幅值從0.39減小到0.11，降低了70%。二階頻率10.8 Hz下響應(yīng)譜的幅值并無變化，這個(gè)與剛度優(yōu)化計(jì)算中對(duì)一階模態(tài)振動(dòng)控制的目標(biāo)是一致的。另外在頂層加速度的時(shí)程曲線中，在振動(dòng)臺(tái)激勵(lì)頻率接近框架二階模態(tài)頻率范圍內(nèi)的時(shí)候，NES控制下的頂層加速度相對(duì)于無控下的也有減小，這種現(xiàn)象由頻域分析的結(jié)果可以得出結(jié)論：這個(gè)階段NES還是削弱振動(dòng)中一階振動(dòng)的部分。

表1中其他不同剛度的彈簧對(duì)試驗(yàn)用框架振動(dòng)控制的頻域效果對(duì)比如圖12所示,從圖中結(jié)果可以得到：①當(dāng)NES使用比優(yōu)化計(jì)算值大50%，剛度為300 N/m的彈簧時(shí)，響應(yīng)譜中一階模態(tài)頻率的峰值為0.15g。與空框架的峰值0.39g相比還是降低了61%，這個(gè)試驗(yàn)工況通過將彈簧剛度偏移優(yōu)化值，對(duì)比空框架的動(dòng)力響應(yīng)，說明了NES對(duì)振動(dòng)控制的寬頻特性。②隨著剛度的增加，NES對(duì)一階模態(tài)的振動(dòng)控制開始減弱，對(duì)二階模態(tài)的振動(dòng)控制開始加強(qiáng)。這個(gè)與剛度優(yōu)化計(jì)算公式中所體現(xiàn)的隨著被控頻率的增加，需要同時(shí)增加NES剛度的關(guān)系是一致的。需要指出的是，雖然振動(dòng)控制的效果在趨向二階模態(tài)振動(dòng)控制的同時(shí)，一階模態(tài)的振動(dòng)還是在一定程度上被削弱，這體現(xiàn)了NES的寬頻振動(dòng)控制的優(yōu)點(diǎn)。另外，由于Chirp信號(hào)激勵(lì)的特點(diǎn)，在接近二階頻率時(shí)候振動(dòng)臺(tái)輸入的能量相對(duì)一階頻率時(shí)候要高，使得試驗(yàn)框架頂板振動(dòng)的速度值相對(duì)較大，同時(shí)在NES剛度優(yōu)化計(jì)算中隨著被控結(jié)構(gòu)能量水平越高反而需要相對(duì)低能量水平時(shí)更低的彈簧剛度。這樣造成了試驗(yàn)中隨著彈簧剛度的增加，剛度越來越趨近較高速度條件下對(duì)頂板二階振動(dòng)控制所需的較優(yōu)的NES剛度，試驗(yàn)中出現(xiàn)了對(duì)頂板二階振動(dòng)控制效果開始明顯提升的現(xiàn)象。

圖12 不同剛度彈簧控制效果對(duì)比Fig.12 Comparison of control effect between different stiffness of NES spring

在通過改變?cè)囼?yàn)框架的動(dòng)力特性來考察NES寬頻控制效果試驗(yàn)中，將4個(gè)質(zhì)量塊同時(shí)附加在框架頂板上的時(shí)候，同時(shí)保持NES的質(zhì)量130 g與剛度參數(shù)210 N/m不變。對(duì)附加質(zhì)量的框架在無控與NES控制下分別進(jìn)行試驗(yàn)，外界激勵(lì)依然使用與之前試驗(yàn)相同的Chirp信號(hào)，無控與有控下頂層加速度時(shí)程、響應(yīng)譜對(duì)比分別見圖13(a)和圖13 (b)。對(duì)圖13(a)所示的兩個(gè)加速度時(shí)程分別統(tǒng)計(jì)其均方根，無控下為0.507，NES控制下為0.411相對(duì)無控下降低了19%。從圖13(b)可以觀察到，在給框架增加了1.6 kg的附加質(zhì)量后一階頻率變?yōu)?.8 Hz。盡管一階頻率改變較大，但是從響應(yīng)譜對(duì)比可以看出NES對(duì)框架的一階振動(dòng)還是起到了較好的控制效果，將框架的一階頻率對(duì)應(yīng)的加速度響應(yīng)譜最大幅值從0.27降至0.15，減少44%。由于附加質(zhì)量安裝在框架的頂部，框架的二階頻率改變并不大，僅降低為10 Hz，但是由于附加質(zhì)量對(duì)框架振型的改變，NES對(duì)框架的二階振動(dòng)也有了一定的控制效果，響應(yīng)譜幅值從0.23降至0.17，減少26%。除此之外，從框架頂層的加速度時(shí)程可以看出，由于附加質(zhì)量對(duì)框架的動(dòng)力學(xué)特性做了較大的改變，頂板的加速度值也低于未附加的。在振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面激勵(lì)不變的前提下，可以判斷頂板的速度也低于未附加質(zhì)量的框架。在該試驗(yàn)工況中，相對(duì)剛度優(yōu)化計(jì)算中設(shè)定的條件，兩方面較為顯著的不同：①框架動(dòng)力學(xué)特性不同；②優(yōu)化對(duì)象的速度不同。在這兩個(gè)實(shí)際條件顯著偏移優(yōu)化計(jì)算設(shè)定的參數(shù)下，對(duì)比空框架與附加質(zhì)量的框架分別在無控與有控下加速度的時(shí)域與頻域的對(duì)比結(jié)果，NES依然對(duì)一階振動(dòng)有著較好的控制作用，可以說明NES在振動(dòng)控制中有較高的魯棒性。

(a) 加速度時(shí)程

(b) 加速度響應(yīng)譜

4 結(jié) 論

本文對(duì)被動(dòng)式NES進(jìn)行了研究，使用頻率能量圖說明了NES與線性振子連接到一起時(shí)候的動(dòng)力學(xué)特性，介紹了一種解析的方式將單個(gè)NES剛度與多自由度線性振子能量水平、頻率、振型建立起關(guān)系，并依此關(guān)系對(duì)剛度進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算的方法。

根據(jù)優(yōu)化計(jì)算表達(dá)式與試驗(yàn)對(duì)象的動(dòng)力學(xué)特征，設(shè)計(jì)并開展了NES振動(dòng)控制試驗(yàn)，著重從頻域中考查NES的寬頻控制特性，從試驗(yàn)結(jié)果得到如下結(jié)論：

(1)剛度優(yōu)化計(jì)算公式是有效的，根據(jù)精確的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算得到的剛度來設(shè)計(jì)NES，可以有效控制優(yōu)化計(jì)算中指定的目標(biāo)模態(tài)振動(dòng)，但是對(duì)其他模態(tài)振動(dòng)并無明顯的控制作用。由于公式中體現(xiàn)了多自由度線性振子的振型、頻率和NES安裝位置，優(yōu)化公式本身并不能體現(xiàn)NES寬頻控制的特性。

(2)對(duì)彈簧剛度改變?cè)囼?yàn)結(jié)果證明了NES的寬頻控制特性，在剛度超出優(yōu)化計(jì)算值50%得時(shí)候，對(duì)目標(biāo)模態(tài)振動(dòng)的控制效果還較為明顯。這說明，在使用NES時(shí)候因其自身剛度參數(shù)精確度對(duì)控制效果造成負(fù)面影響的敏感性并不高，可以減少制作、實(shí)施的難度與工作量。

(3)改變?cè)囼?yàn)框架頂板質(zhì)量的試驗(yàn)結(jié)果同樣說明了NES的寬頻控制特性與魯棒性，在被控目標(biāo)實(shí)際動(dòng)力參數(shù)偏移計(jì)算參數(shù)范圍不大的情況下，NES依舊可以發(fā)揮振動(dòng)控制作用。這使NES在類似精密設(shè)備機(jī)柜、運(yùn)輸載具這類工作中質(zhì)量常常不能精準(zhǔn)確定，而又希望有消振措施的設(shè)備中有著良好應(yīng)用場所。

目前關(guān)于NES在振動(dòng)控制中的研究和應(yīng)用還較少，考慮到其寬頻與較為魯棒的控制特性,這一類結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制設(shè)備具有較大的研究與應(yīng)用空間。

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Stiffness optimization and shaking table tests for nonlinear energy sink

LIU Zhongpo1, Lü Xilin2, WANG Dong2, WU Jianzhong1

(1.School of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China; 2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Nonlinear energy sink (NES) was proposed and its main feature to mitigate vibrations in a broad frequency band range was explored here. Firstly, the expressions for the relation between frequency and energy under 1∶1 resonance were derived using the analytical method. According to the expressions, the frequency-energy plot was drawn. This plot intuitively revealed that when a NES is attached to a linear oscillator, its vibration frequency relative to the linear oscillator has a direct relation to the energy level of the system. Then, the formulas for the relationships among the stiffness of NES and energy, frequencies and modal shapes of linear oscillators were derived with the analytical method in the model space of a multi-DOF vibration system. The optimal solution to NES stiffness was calculated with these formulas under a certain energy level of the vibration system. Based on the optimal stiffness calculation method, the NES vibration control test was designed and the corresponding shaking table tests were conducted. To test the wide frequency vibration control features of NES, a set of springs with different stiffness were employed and dynamic properties of the controlled frame were changed through adding the mass of the frame. The test results demonstrated that NES has a good broad frequency band vibration control effect, it can work well even though its stiffness deviates from the optimal value or there are some changes in dynamic features of the controlled target.

nonlinear energy sink; vibration control; shaking table test; nonlinear vibration

國家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃重點(diǎn)國際合作項(xiàng)目(51261120377)；國家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃集成項(xiàng)目(91315301-4)

2015-10-28 修改稿收到日期：2016-02-25

劉中坡 男，博士生，1980年生

呂西林 男，教授，博士生導(dǎo)師，1955年生

TB123；TU317.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.005