丁林軍，陳璟華，梁麗麗，邱明晉，唐俊杰

（廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院， 廣東 廣州 510006）

基于互補(bǔ)理論的電力系統(tǒng)機(jī)組組合優(yōu)化

丁林軍，陳璟華，梁麗麗，邱明晉，唐俊杰

（廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院， 廣東 廣州 510006）

針對(duì)同時(shí)具有離散和連續(xù)變量，非線性等特點(diǎn)的火電機(jī)組組合問(wèn)題，在分析一般機(jī)組組合優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，嘗試用連續(xù)化的方法建立連續(xù)變量和離散變量之間的關(guān)系，利用互補(bǔ)約束和最優(yōu)化極值理論，構(gòu)建了電力系統(tǒng)機(jī)組組合的互補(bǔ)約束優(yōu)化模型。采用光滑NCP函數(shù)對(duì)建立的互補(bǔ)約束優(yōu)化模型進(jìn)行光滑處理，將其轉(zhuǎn)化為一般的非線性規(guī)劃問(wèn)題，并用原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解。仿真結(jié)果表明：所提算法能有效處理含離散和連續(xù)變量的混合優(yōu)化問(wèn)題，具有很好的實(shí)際應(yīng)用前景。

機(jī)組組合；互補(bǔ)約束；光滑函數(shù)；非線性規(guī)劃

機(jī)組組合是提高電力系統(tǒng)運(yùn)行經(jīng)濟(jì)性的一種有效方法，是指在滿足系統(tǒng)各種約束條件的基礎(chǔ)上，制訂火電機(jī)組合理的開(kāi)、停機(jī)計(jì)劃，使電力系統(tǒng)在調(diào)度周期內(nèi)總運(yùn)行費(fèi)用最低。

機(jī)組組合問(wèn)題是一個(gè)多約束，非線性以及包含混合變量的大規(guī)模組合優(yōu)化問(wèn)題，［1］屬于不確定性問(wèn)題（Nondeterministic Problem,NP），很難找到理論上的最優(yōu)解。在近年來(lái)的研究中，各種算法被廣泛應(yīng)用于該領(lǐng)域。這些方法可以分為包括遺傳算法［1］和粒子群算法［2］等人工智能的方法以及包括窮舉法［3］、優(yōu)先級(jí)表法［4］、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法［5］、拉格朗日松弛法［6］、分支定界法［7］等傳統(tǒng)方法。各類智能優(yōu)化算法大部分都是利用對(duì)生物或者社會(huì)現(xiàn)象的模擬，可以全面處理優(yōu)化問(wèn)題中的各種約束條件，但是其在求解過(guò)程中收斂速度較慢，而且均有一定的主觀因素，對(duì)優(yōu)化結(jié)果有一定的影響。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)優(yōu)化算法是求解機(jī)組組合優(yōu)化問(wèn)題的一類核心算法，它通過(guò)對(duì)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，然后通過(guò)解析性方法來(lái)求得全局最優(yōu)解。

機(jī)組組合優(yōu)化問(wèn)題同時(shí)也是一個(gè)典型的0-1規(guī)劃問(wèn)題，由于其自變量中含有離散的決策變量，所以連續(xù)變量的最優(yōu)化理論不能直接對(duì)其進(jìn)行求解。因此，構(gòu)造一種能有效處理同時(shí)包含連續(xù)和離散變量且有較高求解效率的算法是有效解決當(dāng)前機(jī)組組合優(yōu)化問(wèn)題的關(guān)鍵。

互補(bǔ)關(guān)系是社會(huì)現(xiàn)象中廣泛存在的一種基本關(guān)系。隨著非線性互補(bǔ)優(yōu)化理論的發(fā)展和完善，已經(jīng)有許多學(xué)者開(kāi)始采用非線性互補(bǔ)優(yōu)化方法來(lái)處理電力系統(tǒng)中的優(yōu)化問(wèn)題［8-9］。由于互補(bǔ)問(wèn)題也是一個(gè)NP，文獻(xiàn)［10］利用光滑函數(shù)將互補(bǔ)約束條件轉(zhuǎn)化為一般非線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解，從而有效地解決了互補(bǔ)約束條件的可行點(diǎn)不滿足非線性約束規(guī)格的問(wèn)題。

為了解決包含離散和連續(xù)變量以及非線性的機(jī)組組合優(yōu)化問(wèn)題，本文嘗試用連續(xù)化的方法建立連續(xù)變量和離散變量之間的關(guān)系，即用連續(xù)函數(shù)來(lái)表示離散問(wèn)題，從而只需求解連續(xù)優(yōu)化問(wèn)題，并根據(jù)連續(xù)和離散問(wèn)題之間的關(guān)系求出原問(wèn)題的解。在分析傳統(tǒng)機(jī)組組合優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，本文利用互補(bǔ)約束、光滑互補(bǔ)函數(shù)和最優(yōu)化極值理論，構(gòu)建了電力系統(tǒng)機(jī)組組合的互補(bǔ)約束優(yōu)化模型，進(jìn)而利用非線性互補(bǔ)問(wèn)題（Nonlinear complementrarity problem,NCP）光滑函數(shù)對(duì)所建立的模型進(jìn)行光滑處理，將其轉(zhuǎn)化為一般的非線性規(guī)劃問(wèn)題，再采用原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行求解，從而提高了算法的求解精度和效率。

1 機(jī)組組合問(wèn)題一般的數(shù)學(xué)模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

機(jī)組組合是在滿足各種約束條件的基礎(chǔ)上，通過(guò)安排不同容量和不同類型發(fā)電機(jī)組開(kāi)停機(jī)規(guī)劃來(lái)降低系統(tǒng)運(yùn)行成本，即

式中：F—系統(tǒng)總發(fā)電費(fèi)用；

N—系統(tǒng)的機(jī)組總數(shù)；

T—總的時(shí)段數(shù)。

而發(fā)電機(jī)組的燃料成本函數(shù)可以表示為：

式中：ai,bi,ci—分別為發(fā)電機(jī)i的燃料成本系數(shù)。

式中：Sti—機(jī)組i在t時(shí)段的啟動(dòng)燃料消耗量；

Ki、Bi和Tcold—分別為機(jī)組的啟動(dòng)耗量參數(shù)；

1.2 約束條件

（1）系統(tǒng)功率平衡約束

（2）發(fā)電機(jī)組出力約束

式中：pimin—發(fā)電機(jī)i的最小有功出力；

pimax—發(fā)電機(jī)i的最大有功出力。

（3）系統(tǒng)備用容量約束

（4）機(jī)組爬坡速率限制約束

式中：Di—發(fā)電機(jī)i的最大上調(diào)有功出力；

Ui—發(fā)電機(jī)i的最大下調(diào)有功出力。

（5）機(jī)組最小在線時(shí)間約束

（6）機(jī)組最小離線時(shí)間約束

式中：Toffi—機(jī)組i的最小離線時(shí)間；

（7）機(jī)組開(kāi)停機(jī)狀態(tài)約束

1.3 機(jī)組組合的數(shù)學(xué)模型

由式（1）-式（10）所組成的機(jī)組組合模型可以簡(jiǎn)化為如下的一般形式：

式中：x—包含狀態(tài)變量和控制變量的2NT維列向量；

F(x)—系統(tǒng)總發(fā)電成本的表達(dá)式；

g(x)—等式約束條件；

h(x)—不等式約束條件。

2 機(jī)組組合的互補(bǔ)約束數(shù)學(xué)模型

2.1 互補(bǔ)問(wèn)題

互補(bǔ)問(wèn)題［11］是運(yùn)籌學(xué)與數(shù)學(xué)交叉的一個(gè)研究領(lǐng)域。假如某個(gè)問(wèn)題的兩組決策變量之間滿足的是一種“互補(bǔ)關(guān)系”，則稱其為互補(bǔ)問(wèn)題，互補(bǔ)關(guān)系可用符號(hào)“⊥”表示。

互補(bǔ)問(wèn)題一般的數(shù)學(xué)描述如下：

式中：G(x),H(x)為Rn→R是兩個(gè)連續(xù)映射。

2.2 非線性互補(bǔ)問(wèn)題

非線性互補(bǔ)問(wèn)題即為求解矢量x滿足如下約束，記為NCP(F)。

式中：x→Rn,x∈Rn是Rn到Rn的映射。

2.3 機(jī)組組合互補(bǔ)約束模型

從式（10）可以看出，優(yōu)化后的機(jī)組狀態(tài)變量取值一定為0或1，而由式（5）可以看出，在線機(jī)組的有功出力是介于其出力下限和上限之間的一個(gè)連續(xù)變量。對(duì)于這種同時(shí)含有連續(xù)變量和離散變量的組合優(yōu)化問(wèn)題，目前還沒(méi)有一種算法能有效地處理此類問(wèn)題。本文將建立含互補(bǔ)約束的電力系統(tǒng)機(jī)組組合的非線性優(yōu)化模型，建模的基本思路為：

（1）對(duì)機(jī)組開(kāi)、停機(jī)狀態(tài)變量的取值進(jìn)行約束，即融入0-1離散約束條件；其次，借鑒互補(bǔ)優(yōu)化理論建立含機(jī)組狀態(tài)變量的互補(bǔ)約束機(jī)組組合優(yōu)化模型；

（2）利用光滑函數(shù)對(duì)所建立模型中互補(bǔ)約束條件進(jìn)行光滑化處理；

（3）利用光滑函數(shù)對(duì)原函數(shù)進(jìn)行光滑逼近，將其轉(zhuǎn)化為含互補(bǔ)約束的非線性優(yōu)化模型。

實(shí)際上，表示機(jī)組運(yùn)行的狀態(tài)變量具有互斥性，即機(jī)組i在t時(shí)段的運(yùn)行狀態(tài)變量不可能同時(shí)為0或者1，因此可以構(gòu)建輔助互補(bǔ)約束條件，將式（10）等價(jià)影射為連續(xù)空間的機(jī)組組合優(yōu)化模型，其機(jī)組運(yùn)行狀態(tài)的離散互補(bǔ)約束的互補(bǔ)模型為：

由式(14)中可以看出在優(yōu)化過(guò)程中無(wú)需要求決策變量的離散性，在獲得最優(yōu)解時(shí)候都可以確保最終的決策變量的取值為0或者1。

本文將機(jī)組開(kāi)、停機(jī)狀態(tài)約束條件轉(zhuǎn)化為互補(bǔ)約束的形式：

式（15）可以表示機(jī)組開(kāi)停機(jī)狀態(tài)變量約束（0或1），將式（15）替換式（1）中的，再采用非線性規(guī)劃算法求解便可以得到該問(wèn)題的最優(yōu)解。

則連續(xù)空間的機(jī)組組合互補(bǔ)約束優(yōu)化模型可化為：

簡(jiǎn)單的線性互補(bǔ)約束優(yōu)化問(wèn)題也是一個(gè)NP難問(wèn)題。式（15）在該問(wèn)題的求解過(guò)程中不能直接使用，而利用互補(bǔ)光滑函數(shù)可以將互補(bǔ)約束條件進(jìn)行等價(jià)替換［12］，將其進(jìn)一步等效轉(zhuǎn)換為一般非線性規(guī)劃問(wèn)題。因此本文利用光滑互補(bǔ)函數(shù)對(duì)所建立模型中的互補(bǔ)約束條件進(jìn)行光滑化處理。

3 求解含互補(bǔ)約束條件機(jī)組組合的非線性規(guī)劃

3.1 NCP光滑函數(shù)

光滑函數(shù)是指在變量的空間中能夠無(wú)窮可導(dǎo)的一種函數(shù)，即存在所有的有限階的導(dǎo)數(shù)。對(duì)于含式（13）的優(yōu)化問(wèn)題，由于其不滿足可行點(diǎn)的（MFCQ）［13］約束條件，所以利用其庫(kù)恩—塔克條件（Karush Kuhn-Tucker Conditions,KKT）來(lái)求解目標(biāo)函數(shù)就變得很困難。而對(duì)于非線性互補(bǔ)優(yōu)化問(wèn)題，一種很重要的求解思路就是利用NCP函數(shù)將其等價(jià)地轉(zhuǎn)化為較容易求解的最優(yōu)化問(wèn)題。

設(shè)函數(shù)θ:R2→R，對(duì)于任意(a,b)T∈R2，若θ(a,b)=0等價(jià)于a≥0,b≥0,ab=0，則稱函數(shù)θ是一個(gè)NCP函數(shù)。

本文采用NCP函數(shù)對(duì)互補(bǔ)約束條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。以下是兩個(gè)常用的NCP函數(shù)。

（1）帶擾動(dòng)因子的NCP函數(shù)

當(dāng)μ→0時(shí)，式(17)等價(jià)于：a≥0,b≥0,ab=0。

（2）F-B函數(shù)

由于NCP函數(shù)是一個(gè)非光滑函數(shù)，所以含有NCP函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題不能采用常規(guī)方法直接求解，而解決這類問(wèn)題的一種有效途徑就是對(duì)其進(jìn)行光滑化處理。

3.2 含互補(bǔ)約束機(jī)組組合模型光滑化處理

將機(jī)組開(kāi)停機(jī)狀態(tài)變量約束條件表示為式（15）的互補(bǔ)約束條件，則將含有｛0，1｝離散變量的機(jī)組組合優(yōu)化問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為互補(bǔ)約束條件的非線性規(guī)劃問(wèn)題：

式中：g(x)—等式約束條件；

3.3 機(jī)組組合非線性優(yōu)化模型的求解方法

本文所建機(jī)組組合互補(bǔ)約束模型的具體算法如下：

利用F-B函數(shù)將互補(bǔ)約束條件（15）轉(zhuǎn)化為：

將約束條件式（15）和式（20）加入到機(jī)組組合模型式（11）中：

式中：g(x)包含約束條件式（4）；

h(x)包含約束條件式（5）-式（9）。原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算過(guò)程以及詳細(xì)步驟見(jiàn)文獻(xiàn)［14］。

4 算例仿真與效果評(píng)價(jià)

為了驗(yàn)證所提出方法的有效性，采用Matlab2010b對(duì)10機(jī)系統(tǒng)在24個(gè)時(shí)段內(nèi)的運(yùn)行情況進(jìn)行組合優(yōu)化計(jì)算。仿真條件如下：計(jì)算機(jī)基于WinXP/Intel平臺(tái)，其主頻為2.6 GHz，內(nèi)存為1.96 GB。本文所涉及機(jī)組特性數(shù)據(jù)和24 h負(fù)荷以及備用數(shù)據(jù)詳見(jiàn)文獻(xiàn)［15］。

采用本文算法，得到10機(jī)系統(tǒng)24個(gè)時(shí)段的機(jī)組組合優(yōu)化仿真結(jié)果如下：機(jī)組煤耗總量為78 797.3 t，啟動(dòng)耗量為240.46 t，最大迭代次數(shù)為245次。表1為10機(jī)系統(tǒng)優(yōu)化后各機(jī)組的出力，表2為10機(jī)系統(tǒng)優(yōu)化后各機(jī)組的開(kāi)停機(jī)狀態(tài)。分別采用拉格朗日松弛算法［15］、混沌離散粒子群算法［16］、傳統(tǒng)粒子群算法［17］，以及本文算法對(duì)10機(jī)系統(tǒng)24個(gè)時(shí)段內(nèi)機(jī)組組合進(jìn)行優(yōu)化，總煤耗量比較如表3所示。

表1 10機(jī)組系統(tǒng)優(yōu)化后各機(jī)組有功出力

從表1可知，優(yōu)化后每一個(gè)時(shí)段機(jī)組的出力均滿足功率平衡約束和旋轉(zhuǎn)備用約束，此外，各機(jī)組的出力也均在各自的最大/最小出力約束的范圍內(nèi)。仿真結(jié)果表明，采用本文算法求出機(jī)組組合優(yōu)化后的結(jié)果均滿足系統(tǒng)的各個(gè)約束條件。從表1優(yōu)化結(jié)果還可以看出，優(yōu)化后機(jī)組的出力也符合“上大壓小”的原則，在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中5臺(tái)容量大、經(jīng)濟(jì)性好的機(jī)組優(yōu)先出力，減小了小容量機(jī)組的出力，并且容量較大機(jī)組承擔(dān)了相對(duì)較多的負(fù)荷，提高了大機(jī)組的運(yùn)行效率。使系統(tǒng)機(jī)組盡可能地運(yùn)行在最佳工作點(diǎn)，從而提高了整個(gè)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)性，降低了系統(tǒng)的運(yùn)行成本，其優(yōu)化結(jié)果更符合實(shí)際的工程需求。

從表2的仿真結(jié)果可以看出，各機(jī)組在每一個(gè)時(shí)段的開(kāi)、停機(jī)狀態(tài)變量均是0或1的整數(shù)值，而且其開(kāi)、停機(jī)狀態(tài)和表1中機(jī)組的出力均相對(duì)應(yīng)。優(yōu)化結(jié)果表明采用本文的算法能準(zhǔn)確得出機(jī)組開(kāi)、停機(jī)的最優(yōu)組合方案。其得到的機(jī)組狀態(tài)變量全為整數(shù)，并且其優(yōu)化結(jié)果無(wú)需人為地進(jìn)行修正或調(diào)整，從而有效提高了可行解的精度。說(shuō)明本文所提出的算法能有效處理含離散和連續(xù)變量的混合整數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。

表2 10機(jī)組系統(tǒng)優(yōu)化后的各機(jī)組開(kāi)停機(jī)狀態(tài)

圖1 10機(jī)組系統(tǒng)機(jī)組組合優(yōu)化的收斂特性

從圖1中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，機(jī)組煤耗總量不斷減少，說(shuō)明了本文所提算法能有效地改善可行解的質(zhì)量，提高收斂速度。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到130次時(shí)，系統(tǒng)中的各種約束條件均滿足，機(jī)組煤耗總量趨于穩(wěn)定。從收斂速度來(lái)看，該算法的最大迭代次數(shù)少且每次仿真所得的結(jié)果基本不變，顯示算法具有較高求解效率和較好的數(shù)值穩(wěn)定性，更有利于求解機(jī)組組合問(wèn)題。與其他優(yōu)化算法中10機(jī)組系統(tǒng)24個(gè)時(shí)段優(yōu)化結(jié)果的總煤耗量比較如表3所示。

表3 不同優(yōu)化方法下10機(jī)系統(tǒng)的煤耗量

由表3可知，本文算法與拉格朗日松弛法相比，節(jié)約了標(biāo)準(zhǔn)煤2 208.04 t。和混沌離散粒子群算法相比，節(jié)約了標(biāo)準(zhǔn)煤448.54 t。與傳統(tǒng)PSO算法相比，節(jié)約了標(biāo)準(zhǔn)煤523.54 t。系統(tǒng)仿真結(jié)果表明：采用本文算法能有效處理含混合變量的機(jī)組組合優(yōu)化問(wèn)題，從而有效降低了系統(tǒng)運(yùn)行成本。

5 結(jié)論

（1）本文通過(guò)互補(bǔ)約束來(lái)描述表示機(jī)組開(kāi)、停機(jī)狀態(tài)的整數(shù)變量，并將其構(gòu)造成互補(bǔ)約束條件。系統(tǒng)的測(cè)試結(jié)果表明：采用本文方法得到機(jī)組的開(kāi)、停機(jī)狀態(tài)變量全為整數(shù)值，不需要人為地重新修正，顯示了其較高的求解效率。

（2）本文利用互補(bǔ)約束條件、光滑互補(bǔ)函數(shù)和最優(yōu)化極值理論構(gòu)建的機(jī)組組合優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，不僅實(shí)現(xiàn)了離散優(yōu)化空間向連續(xù)尋優(yōu)空間的等價(jià)映射變換，避開(kāi)了直接對(duì)離散變量的優(yōu)化決策，且以其為基礎(chǔ)構(gòu)建的非線性互補(bǔ)約束模型，將離散和連續(xù)變量統(tǒng)一在互補(bǔ)模型直接進(jìn)行求解，得到了最優(yōu)解。

（3）本文將描述機(jī)組狀態(tài)的整數(shù)變量轉(zhuǎn)化為互補(bǔ)約束條件，進(jìn)而建立含互補(bǔ)約束的機(jī)組組合模型，然后利用光滑函數(shù)將難以求解的互補(bǔ)約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃，結(jié)合電力系統(tǒng)的特性，采用簡(jiǎn)單的啟發(fā)式方法確定各機(jī)組的初始值，最后采用原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法對(duì)含互補(bǔ)約束的機(jī)組組合優(yōu)化模型求解。測(cè)試結(jié)果表明：本文所提出的方法能有效地處理離散變量，在算法的計(jì)算效率以及目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果中顯示出了優(yōu)越性。

（4）本文的機(jī)組組合模型在求解時(shí)利用了原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法，測(cè)試結(jié)果表明該算法具有數(shù)值穩(wěn)定性好以及求解效率高的優(yōu)勢(shì)，因此該方法在求解含混合變量的非線性優(yōu)化問(wèn)題中具有良好的應(yīng)用前景。

（5）綜上所述，互補(bǔ)約束可以有效地處理含離散變量的機(jī)組組合問(wèn)題?；パa(bǔ)優(yōu)化理論的發(fā)展和完善，不僅將促使其應(yīng)用更加廣泛，并且為求解復(fù)雜的混合整數(shù)優(yōu)化問(wèn)題提供一種新思路。

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Unit commitment and optimization based on complementarity theory in power system

DING Linjun，CHEN Jinghua，LIANG Lili，QIU Mingjin，TANG Junjie
（School of Automation,Guangdong University of Technology,Guangzhou Guangdong 510006,China）

Aiming at the problems of thermal power generating unit commitment containing the characteristics of discrete variables and continuous variables,non-linear and so on,on the basis of analyzing mathematical model of general unit commitment and optimization,tries to build relationship between continuous variables and discrete variables by continuous way,and according to complementarity constraints and optimization extreme value theory builds a complementary constraint optimization model of power system unit commitment.And then using the smooth NCP function makes smoothing treatment on the established complementarity constraint optimization model,and transforms it into a general nonlinear programming problem,and get the solution by the original dual interior point method.The simulation result shows that this algorithm can effectively deal with mixed optimization problems containing discrete and continuous variables,has good practical application prospects.

unit commitment;complementarity constraints;smooth function;nonlinear programming

TM711

A

1672-3643（2017）01-0016-06

10.3969/j.issn.1672-3643.2017.01.004

廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（S2013040013776）。

2016-11-28

丁林軍（1990），男，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)優(yōu)化運(yùn)行與控制。

有效訪問(wèn)地址：http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1672-3643.2017.01.004