劉宏亮，夏利娟，吳嘉蒙

（1.上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240；2.中國船舶及海洋工程設(shè)計研究院，上海200011）

生長進化拓撲優(yōu)化算法在油船中剖面結(jié)構(gòu)優(yōu)化上的運用

劉宏亮1，夏利娟1，吳嘉蒙2

（1.上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240；2.中國船舶及海洋工程設(shè)計研究院，上海200011）

單元進化生長拓撲優(yōu)化算法較之其他拓撲優(yōu)化算法有其獨特之處，文章通過引入單元生長進化算法對VLCC中剖面橫撐結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計。結(jié)合單元應(yīng)力指標函數(shù)及單元權(quán)重系數(shù)確定優(yōu)化模型的目標函數(shù)，通過計算單元應(yīng)力確定單元權(quán)重系數(shù)的迭代遞推關(guān)系式，結(jié)合有限元平衡方程建立優(yōu)化數(shù)學模型，通過解析計算知優(yōu)化模型目標函數(shù)的取值主要取決于體積函數(shù)值，依此建立完整的單元生長進化優(yōu)化流程。通過與ANSYS連續(xù)體拓撲優(yōu)化計算的比較可知單元生長進化算法更加簡單高效，對VLCC輕量化設(shè)計具有一定的理論參考價值。

單元生長進化算法；拓撲優(yōu)化；應(yīng)力指標函數(shù)；VLCC中剖面優(yōu)化

0 引言

圖1 VLCC典型的橫撐布置Fig.1 Typical VLCC’s transverse brace arrangement

目前，我國設(shè)計和建造的油船與國外同類型船相比還是存在一定差距，主要反映在空船重量偏高、油耗偏高、建造效率偏低等，其中空船重量的差異直接影響了諸如油耗、建造成本、船舶能效設(shè)計指數(shù)（EEDI）等指標。具體地說，目前國內(nèi)建造的32萬噸VLCC的平均空船重量約為46 500噸，而韓國建造的同尺度VLCC的平均空船重量僅為44 500噸左右。因此，有必要運用結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法，改進現(xiàn)有的油船結(jié)構(gòu)設(shè)計，以取得更好的經(jīng)濟效益。

橫撐結(jié)構(gòu)是VLCC特有的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，如圖1所示，其主要作用是支撐油船縱艙壁上的垂直桁結(jié)構(gòu)，可布置在中貨艙和邊貨油艙。目前，30萬噸級VLCC結(jié)構(gòu)中1根橫撐的結(jié)構(gòu)重量約為14噸左右，而整個貨艙區(qū)的橫撐數(shù)量為25～35根，如能取消橫撐，預(yù)估將減輕約200噸左右的結(jié)構(gòu)重量，因此，有必要對橫撐的中剖面結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化研究。

對于單元生長進化拓撲優(yōu)化國內(nèi)外很多學者取得了很多新的研究進展。劉遠東等[1]運用單元生長進化方法對圓形阻尼層合板的阻尼特性進行優(yōu)化設(shè)計，以阻尼材料用量為約束條件，以提高阻尼層的利用率為目標，找到了圓形阻尼層合板的拓撲優(yōu)化構(gòu)型，并用相關(guān)實驗驗證了優(yōu)化設(shè)計的準確性；王仁華、Chan和Kaveh等[2-6]將智能算法形狀退火算法運用到結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計中，通過與其他拓撲優(yōu)化方法的比較驗證了該方法的可行性；何林偉、Amstutz等[7-8]基于基結(jié)構(gòu)，通過比較前后兩次結(jié)構(gòu)單元的性能指標來增加和刪除單元，提供了一種類似單元生長進化方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的簡單實現(xiàn)；張宇、Lotfi等[9-10]基于SIMP插值模型，給出了一種基于ANSYS的濾波控制算法，通過具體的數(shù)值算例驗證了方法的可行性；胡興國、Rong等[11-12]改進了傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進化優(yōu)化算法，提出每次刪除的單元數(shù)量根據(jù)保留單元數(shù)成固定比例，提高了進化優(yōu)化的效率；王雷等[13]運用仿生優(yōu)化方法，增加承載力大區(qū)域的材料，減小承載小區(qū)域的材料，提出了一種連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的新方法；左中杰、Huang、Xie等[14-15]運用ANSYS的單元生死技術(shù)給出了一種基于漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法的拱壩結(jié)構(gòu)曲線函數(shù)優(yōu)化。

上述研究提出了很多新思路,進一步完善了結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化理論體系。因此，本文根據(jù)漸進式單元生長算法，結(jié)合有限元以及變密度SIMP拓撲優(yōu)化理論，建立較完整的VLCC中剖面橫撐結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型。將優(yōu)化結(jié)果與ANSYS連續(xù)體優(yōu)化準則拓撲優(yōu)化結(jié)果進行對比，驗證了算法的有效性，并且提出了一種減輕VLCC空船重量的可行設(shè)計思路，對工程實際具有一定的理論參考價值。

1 考慮應(yīng)力指標函數(shù)的單元生長拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

拓撲優(yōu)化算法很難提供解析的數(shù)學優(yōu)化模型，常用的變密度理論如SIMP法是將離散的單元變量通過相應(yīng)的假設(shè)轉(zhuǎn)變?yōu)閱卧牧蠈傩裕ㄈ鐔卧獎偠取⒉牧厦芏龋┑倪B續(xù)變量問題，從而能夠建立初步的數(shù)學模型，并進行近似的解析數(shù)學優(yōu)化計算。單元生長進化算法是通過尋找結(jié)構(gòu)最優(yōu)傳力路徑，通過在迭代計算中增加或刪除單元從而獲得最優(yōu)的結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型。它是建立在單元有限元計算基礎(chǔ)上的結(jié)構(gòu)智能生長優(yōu)化模式，因此可以從有限元分析如剛度矩陣的求解和等效平衡方程的建立出發(fā)，通過相應(yīng)的數(shù)學解析計算建立具體的拓撲優(yōu)化數(shù)學模型。

1.1 優(yōu)化模型自變量參數(shù)的確定

單元生長進化算法在迭代的初始要確立簡單的結(jié)構(gòu)初始構(gòu)型以及相應(yīng)載荷邊界條件，在優(yōu)化迭代計算過程中，尋找結(jié)構(gòu)的最優(yōu)傳力路徑，通過在應(yīng)力較大的單元周圍產(chǎn)生新單元，刪除應(yīng)力較小的單元來獲得拓撲構(gòu)型。因此，單元生長進化算法需建立前后的迭代關(guān)系：

判斷單元的生長和刪除要考慮單元的應(yīng)力水平，但是不能直接以單元的應(yīng)力值作為單元生長和刪除的標準，因為單元應(yīng)力值是迭代計算后得到的結(jié)果，并且結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平會隨著結(jié)構(gòu)的拓撲生長發(fā)生很大變化，因此，建立單元的權(quán)重系數(shù)xi（i=0,1,2L n）并以此為標準判斷單元的增減，單元權(quán)重系數(shù)值在每一次迭代計算中都會隨單元的應(yīng)力水平而變化，設(shè)定兩個臨界值判斷迭代計算中單元的增減：

xi≤0.01；表示單元權(quán)重太小，單元承載較小，應(yīng)該刪除該單元。

0.01 ≤xi≤1；表示單元有一定承載，繼續(xù)保留該單元。

xi＞1；表示單元承載較大，單元權(quán)重大，應(yīng)該在該單元周圍產(chǎn)生新的單元，單元的生長示意圖如圖2[16]所示。

另一方面，結(jié)合SIMP變密度函數(shù)方法，單元的材料屬性跟單元權(quán)重系數(shù)滿足如下迭代關(guān)系式：

圖2 單元生長示意圖（根據(jù)文獻[16]）Fig.2 Element growth diagram based on the reference[16]

式中：ρ0，E0是初始的材料密度和彈性模量，xi為單元在第i次迭代計算中的單元權(quán)重系數(shù)值。

因此，單元的權(quán)重系數(shù)大小決定單元的材料屬性，并且有一個確定的臨界值確定單元的增減，以此為優(yōu)化模型的自變量函數(shù)能簡化模型的迭代計算。

1.2 優(yōu)化模型目標函數(shù)的確定

油船中剖面橫撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計模型中，主要考慮在結(jié)構(gòu)應(yīng)力的許可范圍內(nèi)減輕結(jié)構(gòu)的重量；主要考慮兩個方面：拓撲結(jié)構(gòu)的Von Mises應(yīng)力、拓撲結(jié)構(gòu)的重量m。對于結(jié)構(gòu)的相當應(yīng)力，只要結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平在一個合理范圍內(nèi)就可接受，并不要求應(yīng)力最小。另外，還需要考慮結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型總體的應(yīng)力水平，所以應(yīng)該根據(jù)拓撲構(gòu)型的最大單元應(yīng)力σmax以及拓撲構(gòu)型的平均單元應(yīng)力σmean來確定一個應(yīng)力水平指標函數(shù)，結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型受力均勻程度可以用單元最大相當應(yīng)力和平均單元相當應(yīng)力的差值來衡量，所以，建立以下的應(yīng)力水平指標函數(shù)：

式中：a、b是權(quán)重系數(shù)，且a+b=1；分別對應(yīng)單元應(yīng)力均勻程度以及最大的單元應(yīng)力。在油船中剖面橫撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計模型中，a、b都取為0.5。

上述應(yīng)力水平指標函數(shù)同時考慮了結(jié)構(gòu)的受力均勻程度和結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力，較好的拓撲構(gòu)型應(yīng)該有較優(yōu)的結(jié)構(gòu)傳力路徑且結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力在合理的范圍內(nèi)，要求有較小的最大單元應(yīng)力及較小的應(yīng)力差值，所以一個較好的拓撲構(gòu)型應(yīng)該有較小的結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平指標函數(shù)。

考慮優(yōu)化目標的另一個方面結(jié)構(gòu)重量m，原則上油船中剖面橫撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計最直接的目標是使得縱艙壁支撐結(jié)構(gòu)重量最小，但是結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平指標函數(shù)不能太大，設(shè)定結(jié)構(gòu)的理想應(yīng)力指標函數(shù)值為因此可以確定結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的目標函數(shù)：所以最終優(yōu)化模型的目標函數(shù)為：

結(jié)合有限元計算平衡方程，同時設(shè)定應(yīng)力指標函數(shù)所允許的最大值，油船中剖面橫撐結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的數(shù)學模型如下所示：

2 優(yōu)化數(shù)學模型的解析分析

油船中剖面橫撐結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化模型中用到平面四邊形單元計算，根據(jù)平面四邊形單元的有限元計算理論，平面四邊形單元的剛度矩陣：

根據(jù)（6）式可知，油船中剖面橫撐結(jié)構(gòu)的單元生長進化優(yōu)化模型的目標函數(shù)僅僅隨結(jié)構(gòu)的密度函數(shù)和體積函數(shù)而改變。考慮到模型中的密度函數(shù)基本保持不變，所以優(yōu)化目標即為保持單元應(yīng)力水平指標函數(shù)值在允許的范圍內(nèi)讓結(jié)構(gòu)的體積最小，也就是結(jié)構(gòu)重量最輕，也就是說在單元的生長和進化過程中盡量刪除掉承載較小的單元。

3 具體的單元生長進化流程

單元生長進化算法的核心過程是單元隨著迭代進程增加或刪除，單元生長基于單元權(quán)重系數(shù)值的變化，所以（1）式所示的單元生長遞推關(guān)系就等同于單元權(quán)重系數(shù)的遞推關(guān)系式。根據(jù)前述對優(yōu)化數(shù)學模型的解析計算分析可知，優(yōu)化目標函數(shù)大小由結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型的體積函數(shù)V（）x決定，因此，通過尋找結(jié)構(gòu)最優(yōu)的傳力路徑，盡可能使單元受力均勻，減小承載較小的單元數(shù)目是得到最優(yōu)解的必然條件。根據(jù)拓撲結(jié)構(gòu)單元的平均應(yīng)力σmean設(shè)定三個應(yīng)力區(qū)間來建立單元權(quán)重函數(shù)的遞推關(guān)系式，三個應(yīng)力區(qū)間如下：（0，λσmean），[λσmean，σmean），[σmean，σmax），系數(shù)λ是設(shè)計參數(shù)，在油船中剖面橫撐結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型中，λ＝0.3，因此單元權(quán)重的遞推關(guān)系式如下式所示：

根據(jù)拓撲構(gòu)型的單元應(yīng)力計算值，當單元應(yīng)力值在縮減區(qū)間（0，λσmean），單元的權(quán)重系數(shù)值減小，直到減小到0.01，刪除該單元；單元應(yīng)力值在平衡區(qū)間[λσmean，σmean），單元權(quán)重系數(shù)值保持不變，單元受力均勻；單元應(yīng)力值在生長區(qū)間[σmean，σmax），單元權(quán)重系數(shù)將增加，直到增加到1，在單元周圍按圖2所示增加新單元，新單元的權(quán)重系數(shù)取為1，并且原單元的單元權(quán)重系數(shù)減小為1。因此，形成新的拓撲構(gòu)型，并在此基礎(chǔ)上進行下一次的迭代計算。

根據(jù)單元生長計算的迭代關(guān)系可以確定迭代的終止條件，在單元的生長進化過程中伴隨著單元的增加或刪除，并且在每次迭代過程都會有單元的增加或刪除；另一方面，優(yōu)化模型的目標函數(shù)要求模型單元數(shù)最小，所以確定單元生長迭代的終止條件為：在N次迭代計算中，優(yōu)化模型的目標函數(shù)僅在微小的范圍內(nèi)變動。N的確定由具體的模型確定，油船中剖面橫撐結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型中N取為3。

至此，建立了完整的單元生長進化拓撲優(yōu)化算法，優(yōu)化流程圖如圖3所示。

圖3 優(yōu)化流程圖Fig.3 The optimization flow chart

4 VLCC中剖面橫撐結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化

首先，確定拓撲優(yōu)化設(shè)計的邊界條件和載荷，VLCC縱艙壁是船體縱向主要構(gòu)件，垂向連接船體主甲板和船體內(nèi)底板與底縱桁，因此在單元生長進化拓撲優(yōu)化模型中定義結(jié)構(gòu)的邊界為簡支約束。VLCC縱艙壁承載的極限狀態(tài)為一邊貨艙滿載，一邊空載，載荷示意圖如圖4所示。

圖4 拓撲優(yōu)化模型初始構(gòu)型Fig.4 The initial configuration of the optimization model

圖5 單元生長進化優(yōu)化結(jié)果示意圖Fig.5 The result from the evolutionary structural optimization

從優(yōu)化結(jié)果可知，在迭代初期，在初始構(gòu)型基礎(chǔ)上，根據(jù)響應(yīng)的邊界條件和載荷工況，拓撲構(gòu)型產(chǎn)生大量新單元形成較完整的初始拓撲構(gòu)型，單元數(shù)量增加明顯即拓撲構(gòu)型的重量增加；進入迭代中期階段，根據(jù)拓撲優(yōu)化目標函數(shù)設(shè)定，對新生成的拓撲構(gòu)型進行優(yōu)化計算，在滿足優(yōu)化約束條件的基礎(chǔ)上，使優(yōu)化模型的目標函數(shù)最小，即增加新單元的同時更注重尋找結(jié)構(gòu)最優(yōu)的傳力路徑，刪除應(yīng)力較小的單元，使結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型的單元數(shù)量盡可能減少；最后通過進一步優(yōu)化計算得到最終的拓撲優(yōu)化構(gòu)型。

為了驗證單元生長拓撲優(yōu)化算法在VLCC中剖面橫撐結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的有效性，將基于ANSYS平臺的連續(xù)結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化運用到VLCC中剖面橫撐結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化過程中；ANSYS拓撲優(yōu)化算法采用優(yōu)化準則法，優(yōu)化目標函數(shù)為結(jié)構(gòu)構(gòu)型的柔度，以最小柔度即結(jié)構(gòu)最大剛度為目標，優(yōu)化模型如下：

式中：Uc為結(jié)構(gòu)變性能。

優(yōu)化結(jié)果如圖6所示。

圖6 ANSYS拓撲優(yōu)化結(jié)果示意圖Fig.6 The result from the ANSYS topology optimization

對比圖5和圖6兩種方法的優(yōu)化結(jié)果示意圖可知，單元生長進化拓撲優(yōu)化算法所得的最終優(yōu)化拓撲構(gòu)型更加清晰簡單，通過尋找最優(yōu)的結(jié)構(gòu)傳力路徑，在應(yīng)力較大單元周圍生成新單元，刪除應(yīng)力較小的單元，得到的拓撲構(gòu)型形狀清晰簡單。基于ANSYS平臺的連續(xù)結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化能控制結(jié)構(gòu)的總體積，但是結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型輔助結(jié)構(gòu)較多，構(gòu)型較復(fù)雜。因此總體上講，單元生長進化拓撲優(yōu)化算法在VLCC中剖面橫撐結(jié)構(gòu)的優(yōu)化上更加簡單和有效，更加符合實際的優(yōu)化設(shè)計。

因此根據(jù)圖5最終的拓撲構(gòu)型，VLCC縱艙壁支撐結(jié)構(gòu)的橫撐可以取消，只需加靠近船底的扶強材尺寸，具體的可行方案如圖7所示。

圖7 VLCC中剖面橫撐取消優(yōu)化設(shè)計圖Fig.7 The VLCC mid-section optimal design by excluding the transverse brace

5 結(jié)語

自1992年Xie和Steven提出了進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法（ESO）[16]以來，單元生長進化方法受到了廣大學者的關(guān)注，其拓撲優(yōu)化的簡單高效性使其得到越來越廣泛的運用。文章基于進化結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法，通過定義單元應(yīng)力指標函數(shù)，結(jié)合結(jié)構(gòu)輕量化目標設(shè)計，確定優(yōu)化模型的目標函數(shù)；結(jié)合變密度SIMP材料理論模型，定義單元權(quán)重函數(shù)為優(yōu)化函數(shù)的自變量參數(shù)，并根據(jù)單元平均應(yīng)力給出單元權(quán)重函數(shù)的遞推迭代關(guān)系式；結(jié)合有限元平衡方程以及應(yīng)力指標上限建立單元生長進化拓撲優(yōu)化算法的數(shù)學模型。通過對其解析計算分析，指出優(yōu)化目標函數(shù)最小即要求拓撲構(gòu)型體積函數(shù)最?。蛔詈蠼Y(jié)合迭代終止條件給出具體的考慮應(yīng)力指標的單元生長拓撲優(yōu)化流程。

通過對VLCC中剖面橫撐結(jié)構(gòu)的優(yōu)化計算，對比了單元生長進化算法和基于ANSYS平臺的連續(xù)體拓撲優(yōu)化準則算法，從優(yōu)化結(jié)果對比中看出，單元生長進化算法能得到更加簡單清晰的拓撲構(gòu)型。本文最后根據(jù)優(yōu)化的拓撲構(gòu)型給出了一種取消VLCC中剖面橫撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計方案。

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Applying the evolution topology algorithm to the VLCC’s mid-section structure optimization

LIU Hong-liang1,XIA Li-jüan1,WU Jia-meng2
(1.State Key Laboratory of Ocean Engineering,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China; 2.Marine Design and Research Institute of China,Shanghai 200011,China)

Evolutionary structural topology optimization shows some specific features compared with other topology optimization algorithms.Which can be applied on the optimization design of the VLCC mid-section cross-brace structure.According to the element’s stress index and the element weight coefficient,the objective function was established.Then,the iteration equation of the element’s weight coefficient was created based on the obtained element stress.Finally,combining the FEM’s balance equation the total optimization mathematical model was created.The mathematical calculation results show that the objective function depends mainly on the model’s volume function.Compared with the result of the ANSYS continuous structure topology optimization,the calculation with the evolution algorithm is more simple and efficient. This method using in this paper may provide something useful to the VLCC’s lightweight design.

evolutionary structural optimization;topology optimization;stress index; VLCC mid-section optimization;VLCC(very large crude oil carrier)

U662

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.04.011

1007-7294（2017）04-0464-08

2016-10-21

國家自然科學基金資助項目（50909060）；海洋工程國家重點實驗室青年創(chuàng)新基金資助（GKZD010059-20）

劉宏亮（1989-），男，碩士研究生，E-mail：76908358liang@sjtu.edu.cn；夏利娟（1975-），女，副教授。