魯彩鳳

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院，江蘇徐州221008)

對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)中“剪切變形對(duì)位移的影響”的進(jìn)一步探討

魯彩鳳1)魯彩鳳，博士，副教授，一直從事結(jié)構(gòu)工程專業(yè)方向的教學(xué)及科究工作.E-mail:lucaifeng@cumt.edu.cn

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院，江蘇徐州221008)

剪切變形對(duì)位移的影響程度，不僅取決于高跨比，截面形式對(duì)其影響也較大.通過實(shí)例討論了工程中廣泛采用的三種形式截面：一般截面、薄壁型截面、復(fù)合材料截面.分析表明：(1)相較于一般截面形式，薄壁型截面梁中剪切變形對(duì)位移的影響較大，尤其是短而高的薄壁梁，剪切變形引起的位移更不能忽略.(2)復(fù)合材料截面梁，剪切變形引起的位移受截面材料彈性模量比、不同材料截面高度比影響較大：截面材料彈性模量比越大，加強(qiáng)材料越厚，剪切變形對(duì)位移的影響越大.這會(huì)導(dǎo)致復(fù)合材料截面，即使是細(xì)長(zhǎng)的梁，剪切變形引起的位移有時(shí)也不能忽略.

結(jié)構(gòu)力學(xué)，剪切變形，結(jié)構(gòu)位移

在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，根據(jù)單位載荷法，載荷作用下結(jié)構(gòu)彈性位移計(jì)算公式可表示為[1-2]

式中，MP,FsP,FNP分別表示原載荷作用產(chǎn)生的彎矩、剪力、軸力分別表示單位載荷作用產(chǎn)生的彎矩、剪力、軸力；EI,GA,EA分別表示桿件截面的抗彎、抗剪、抗拉剛度；k為剪力不均勻系數(shù)，是一個(gè)與截面形狀有關(guān)的系數(shù).

式(1)右邊的三項(xiàng)分別表示彎曲變形、剪切變形、拉伸(壓縮)變形對(duì)位移的影響.在梁、剛架等一般梁式結(jié)構(gòu)中，位移主要是由彎矩引起的，軸力和剪力影響較小，因此按照保留主要影響忽略次要影響的原則，可以忽略剪切變形對(duì)位移的影響，這即是目前大多數(shù)結(jié)構(gòu)力學(xué)教材上提到的有關(guān)剪切變形對(duì)位移影響的結(jié)論[1-4].

其實(shí)，對(duì)一般截面形式的梁，剪切變形對(duì)位移的影響程度，只取決于高跨比(截面高度與跨度的比值)；而對(duì)于工程中廣泛采用的薄壁型截面、復(fù)合材料截面等，剪切變形對(duì)位移的影響程度，一方面取決于高跨比，同時(shí)受截面形式的影響也較大.本文通過具體實(shí)例分別加以分析說(shuō)明.

1 一般截面梁

如圖1(a)所示等截面簡(jiǎn)支梁在滿跨均布載荷q作用下，求跨中截面C的豎向位移.根據(jù)單位載荷法求位移的思路，先在C點(diǎn)沿所求位移方向施加單位豎向載荷(圖1(b)).取A點(diǎn)作坐標(biāo)原點(diǎn)，實(shí)際載荷和單位載荷作用下，任意截面x(0≤x≤0.5l)處的內(nèi)力可分別表示為：

圖1

實(shí)際載荷作用

單位載荷作用

用ΔM,ΔS分別表示由彎曲變形、剪切變形引起的位移，則有

比較剪切變形與彎曲變形對(duì)位移的影響，二者的比值為

對(duì)一般形式的截面，如矩形截面bh，取橫向變形系數(shù)μ=1/3，E/G=2(1+μ)=8/3[5]，剪力不均勻系數(shù)取k=1.2[1]，由式(2)得

由式(3)可知，對(duì)矩形截面梁，剪切變形與彎曲變形的比值大小只與高跨比有關(guān)，具體如表1所示.由表1可知：對(duì)一般細(xì)長(zhǎng)梁(h/l＜1/5)，可以忽略剪切變形對(duì)位移的影響；而對(duì)于深受彎構(gòu)件(h/l≥1/5)尤其是深梁(h/l＞1/2)，剪切變形對(duì)位移的影響不能忽略.據(jù)此，大多結(jié)構(gòu)力學(xué)教材上給出了有關(guān)剪切變形對(duì)位移影響的結(jié)論[14].

表1 剪切變形與彎曲變形引起位移的比值ΔS/ΔM

隨著圓形截面梁的直徑與跨度比D/l的取值不同，剪切變形與彎曲變形引起位移的比值如表1中所示，可知：與矩形截面梁一樣，對(duì)一般截面形式的細(xì)長(zhǎng)梁(D/l＜1/5)，可以忽略剪切變形對(duì)位移的影響.

2 薄壁截面梁

在工程結(jié)構(gòu)中，廣泛采用薄壁截面梁.在承受彎曲載荷的梁式構(gòu)件中，薄壁梁可減輕結(jié)構(gòu)自重，能充分發(fā)揮材料的作用，是比較合理的結(jié)構(gòu)截面形式.薄壁截面梁的截面形狀或?yàn)殚]口(如薄壁鋼管)，或?yàn)殚_口(如薄壁工字形).

如對(duì)圓鋼管截面(內(nèi)、外環(huán)直徑分別記為d和D，記α=d/D)，剪力不均勻系數(shù)取k=2[1]，由式(2)得

由式(5)可知，對(duì)鋼管截面，剪切變形與彎曲變形引起位移的比值ΔS/ΔM不僅取決于徑跨比，還取決于內(nèi)外半徑的比值.如焊接薄壁圓鋼管Φ180mm×3mm，剪切變形與彎曲變形引起位移的比值如表1所示，可知：當(dāng)徑跨比為1/5時(shí)，剪切變形引起位移占彎曲變形的1/4多；當(dāng)徑跨比為1/2時(shí)，剪切變形引起位移為彎曲變形引起位移的1.6倍，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過同等情況下矩形或圓形截面梁.

又如對(duì)工字形截面(圖2)，由式(2)得

圖2

可知工形截面中，剪切變形與彎曲變形引起位移的比值受高跨比、腹板高度與截面高度比值h/H、截面寬度與腹板厚度比的影響.腹板越薄，翼緣越厚，剪切變形對(duì)位移的影響越大.表1中給出了對(duì)I40a截面，剪切變形與彎曲變形引起位移的比值情況，可知：當(dāng)高跨比為1/5時(shí)，剪切變形引起位移占彎曲變形的36%；當(dāng)高跨比為1/2時(shí)，剪切變形引起位移為彎曲變形引起位移的2.25倍，也遠(yuǎn)超過同等情況下一般截面形式的梁.

因此可見，對(duì)薄壁梁，尤其是短而高的薄壁梁，剪切變形與彎曲變形引起位移的比值，遠(yuǎn)超過同等情況下一般截面形式的梁，剪切變形引起的位移不能忽略.

3 復(fù)合截面梁

由兩種或兩種以上材料所組成的整體梁稱為復(fù)合梁.復(fù)合梁在土木工程的混合結(jié)構(gòu)、結(jié)構(gòu)加固及維修等方面，得到廣泛的應(yīng)用，如鋼管混凝土結(jié)構(gòu)、碳纖維或鋼板(型鋼)加固混凝土構(gòu)件等.

對(duì)復(fù)合截面梁，目前多采用簡(jiǎn)化計(jì)算的方法，以求得問題的近似解，即轉(zhuǎn)換截面法(寬度折算法)[5]：將多種材料構(gòu)成的截面，轉(zhuǎn)換為單一材料的等效截面，然后采用分析均質(zhì)材料梁的方法進(jìn)行求解.

如圖3是典型的鋼板加固鋼筋混凝土梁截面示意，記混凝土、鋼板的彈性模量分別為Ec和Es，截面材料彈性模量比n=Es/Ec.若將混凝土材料所構(gòu)成的截面保持不變，而將鋼板材料截面沿z軸方向的尺寸乘以n，即將實(shí)際復(fù)合材料截面(圖3(a))變換成僅由混凝土材料所構(gòu)成的均質(zhì)材料截面(圖3(b)).顯然，該截面的水平形心軸與實(shí)際截面的中性軸重合，對(duì)中性軸z的慣性矩為eIz=I1+nI2(I1和I2分別代表混凝土截面和鋼板截面對(duì)中性軸z的慣性矩)，抗彎剛度為EceIz.可見，在中性軸位置與彎曲剛度方面，圖3(b)所示截面與實(shí)際截面完全等效，因而稱為實(shí)際截面的轉(zhuǎn)換截面.

圖3 復(fù)合材料截面

圖1所示梁，若為圖3所示的復(fù)合截面，由式(2)可得剪切變形、彎曲變形引起的位移的比值為

由式(7)可知在復(fù)合截面梁中，剪切變形與彎曲變形對(duì)位移的影響，不僅受高跨比的影響，還受截面材料彈性模量比n、不同材料截面高度比h′/h有關(guān).截面材料彈性模量比n越大，加強(qiáng)材料越厚，剪切變形對(duì)位移的影響越大.

如截面中部采用C30混凝土，彈性模量Ec= 30GPa;上、下部位的鋼板，彈性模量Es= 200GPa，鋼板與混凝土牢固地連接在一起，n=6.7.表2給出了兩種材料截面高度比分別為1/10和1/5時(shí)，剪切變形與彎曲變形引起位移的比值情況.如兩種材料截面高度比h′/h=1/5、高跨比1/8的梁，剪切變形引起的位移占彎曲變形引起位移達(dá)到40%.

若截面中間改為木頭，彈性模量Ew= 10GPa，n=20.表2給出了兩種材料截面高度比為1/10時(shí)，剪切變形與彎曲變形引起位移的比值情況.如高跨比為1/8的梁，剪切變形引起的位移占彎曲變形引起位移達(dá)到近50%.由此可見，對(duì)復(fù)合材料截面梁，即使是細(xì)長(zhǎng)梁，剪切變形引起的位移有時(shí)也不能忽略.

表2 剪切變形與彎曲變形引起位移的比值ΔS/ΔM(復(fù)合材料截面)

4 結(jié)論

剪切變形對(duì)位移的影響程度，不僅取決于高跨比，截面形式對(duì)其影響也較大，本文通過實(shí)例討論了工程中廣泛采用的三種形式截面：一般截面、薄壁截面、復(fù)合材料截面.對(duì)一般截面形式的細(xì)長(zhǎng)梁(高跨比小于1/5)，剪切變形對(duì)位移的影響通?？梢院雎圆挥?jì).相較于一般截面形式，薄壁型截面梁中剪切變形對(duì)位移的影響較大，尤其是短而高的薄壁梁，剪切變形引起的位移更不能忽略.對(duì)復(fù)合材料截面梁，剪切變形引起的位移受截面材料彈性模量比及不同材料截面高度比影響較大，截面材料彈性模量比越大，加強(qiáng)材料越厚，剪切變形對(duì)位移的影響越大.這會(huì)導(dǎo)致復(fù)合材料截面梁，即使是細(xì)長(zhǎng)的，剪切變形引起的位移有時(shí)也不能忽略，因此復(fù)合梁中剪切變形對(duì)位移的影響是一個(gè)十分重要的問題.

1龍馭球，包世華，袁駟.結(jié)構(gòu)力學(xué)I——基本教程(第3版).北京：高等教育出版社，2012

2李廉錕.結(jié)構(gòu)力學(xué).北京：高等教育出版社，2010

3包世華，辛克貴.結(jié)構(gòu)力學(xué)(第4版).武漢：武漢理工大學(xué)出版社，2012

4朱慈勉.結(jié)構(gòu)力學(xué).北京：高等教育出版社，2004

5單輝祖.材料力學(xué).北京：高等教育出版社，2010

(責(zé)任編輯:胡漫)

O342

A

10.6052/1000-0879-16-138

2016–04–22收到第1稿，2016–06–29收到修改稿.

魯彩鳳.對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)中“剪切變形對(duì)位移的影響”的進(jìn)一步探討.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(2):199-202 Lu Caifeng.Further discussion on the e ff ect of shear deformation on structure displacement in structural mechanics.Mechanics in Engineering,2017,39(2):199-202