尤明慶

(河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南焦作454010)

間接測量質(zhì)量試驗(yàn)的可靠性及數(shù)據(jù)精度

尤明慶1)E-mail:youmq@hpu.edu.cn

(河南理工大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南焦作454010)

試驗(yàn)是確認(rèn)科學(xué)知識正確與否的重要手段，貫穿于力學(xué)的理論研究和工程應(yīng)用之中.通過測量排水體積和單擺周期,間接測量鐵塊質(zhì)量，討論試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理及其相關(guān)問題.

試驗(yàn)可靠性，數(shù)據(jù)精度，單擺，浮力

試驗(yàn)是建立和檢驗(yàn)自然科學(xué)如物理知識的重要手段.費(fèi)恩曼認(rèn)為“數(shù)學(xué)不是科學(xué)，因判斷其對錯不需要試驗(yàn)”；當(dāng)然，“if a thing is not a science,it is not necessarily bad.For example,love is not a science”[1].不過，現(xiàn)今中文語境下的“科學(xué)”已經(jīng)不完全等同于英文的science.

力學(xué)以物理為基礎(chǔ)、以數(shù)學(xué)為工具，研究物體的受力以及運(yùn)動、變形和破壞，具有科學(xué)和技術(shù)的雙重特征，已成為天文、地質(zhì)、機(jī)械、建筑、水利等學(xué)科的基礎(chǔ)[2].試驗(yàn)貫穿于力學(xué)的理論研究和工程應(yīng)用[3]，相關(guān)學(xué)會或組織制定有各種力學(xué)試驗(yàn)規(guī)程，且進(jìn)行補(bǔ)充、修訂.

可靠的試驗(yàn)?zāi)軌驕?zhǔn)確反映系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系，測試數(shù)據(jù)具有分析或判斷所需要的精度.文獻(xiàn)[4]提出間接確定物體質(zhì)量的方法，學(xué)習(xí)之后頗有收益，不揣淺陋而贅述幾句.

1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)和測試方法

如圖1所示，用籃球與網(wǎng)兜將鐵塊懸浮于水中，利用細(xì)繩測量水位變化La以及中間部位的周長Le,放大La到Ld=nLa，n=14,以細(xì)繩與螺母構(gòu)成單擺，測量k=50個周期的時間Te和Td,計(jì)算水體即鐵塊的質(zhì)量[4]

式中,水密度ρ=1000kg/m3，重力加速度g= 9.8m/s2.

文獻(xiàn)[4]“實(shí)測鐵塊質(zhì)量的典型數(shù)值Td=62.47s和Te=95.37s得m=1.797kg，而鐵塊的實(shí)際質(zhì)量為1.80kg,兩者之間的相對誤差僅0.16%.經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，測試結(jié)果的重復(fù)性很好”，但沒有給出重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果或相關(guān)平均值和方差.不僅如此，計(jì)算排水體積應(yīng)測試水桶內(nèi)周而不是外周，文獻(xiàn)[4]沒有說明如何以細(xì)繩量測內(nèi)周.

圖1 利用浮力定律以及單擺周期測量物體質(zhì)量[4]

或許可對測試方式略作改進(jìn).以直徑20cm的平底鍋分別承載鐵塊和水體，確定浮在直徑略大容器中的水位；只要兩種情形的水面高度相同，則水體質(zhì)量與鐵塊相同.再依據(jù)浮力定律，鍋內(nèi)水體與其引起的排水增加相等；而鍋保持直立姿態(tài)，可測量其外周和吃水變化計(jì)算排水體積.

另一種可行方法是，直桿支承在中點(diǎn)附近，兩端分別懸掛直徑20cm的平底鍋，一側(cè)置入鐵塊，另一側(cè)添水至平衡而作為“秤砣”；取出鐵塊而加水至平衡；該水量以前述排水方法確定其體積.這可方便地重復(fù)稱量以倍增水量而提高吃水深度的測試精度.不過，需要說明的是，這里只是鐵塊與水的等量置換，并不運(yùn)用杠桿原理進(jìn)行計(jì)算；正如曹沖稱象也只是化整為零的等量置換，并無關(guān)乎浮力定律.

2 隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差

文獻(xiàn)[4]的測試系統(tǒng)中，籃球周長為75cm，水桶直徑應(yīng)大于25cm；水深1cm的體積為500cm3，因而1.80kg物體引起的水位變化小于36mm.標(biāo)志線的寬度、釘子以及細(xì)繩的直徑(圖1)均在1mm尺度；綜合考慮，水位變化La的測試誤差在1mm左右，即相對誤差可達(dá)到3%.

數(shù)字式秒表盡管讀數(shù)精度可達(dá)0.01s，但人的反應(yīng)時間在0.15s左右.這可以拇指和食指捕捉從靜止降落的鋼尺或紙幣確認(rèn).時間測量的誤差大約在1%量級，而以式(1)計(jì)算質(zhì)量時則放大到5%左右.利用手機(jī)的視頻功能測量時間似可提高精度.

以上長度和時間的誤差是直接測試過程中引起的，其正負(fù)和大小具有不確定性，稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差，可以通過重復(fù)測試求取平均值而減小.另一類誤差是試驗(yàn)系統(tǒng)本身所具有的，需要在分析研究之后對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行具體修正.略作說明如下.

單擺并不真正具有等時性，其周期與擺角β相關(guān)擺角為10?,20?和30?時，周期的修正項(xiàng)達(dá)0.19%, 0.76%和1.71%，式(1)給出的質(zhì)量與周期的6次冪相關(guān)，因而修正因子為0.989,0.956和0.903.不過，測試擺角過小，則因空氣阻力而難以連續(xù)測量數(shù)十個周期，且擺幅及速度較小而不利于確定完整周期的位置.似可適當(dāng)增大擺角至20?左右而測試10～20個周期較好，當(dāng)然應(yīng)基于式(2)對周期進(jìn)行修正以減小誤差.

因地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力等原因，重力加速度g也會隨緯度變化，如在廣州和北京分別為9.788m/s2和9.801m/s2；水的密度也會隨溫度變化，25?C時為997.0kg/m3，而低于10?時為1000.0kg/m3.

水面處籃球截面不同，表面張力也將引起排水體積的計(jì)算差異；此外，如果文獻(xiàn)[4]只是以細(xì)繩測量水桶外周，則需要基于水桶壁厚進(jìn)行修正.細(xì)繩通常在受力之后略有伸長，其懸掛擺錘后的長度對應(yīng)于基于測量周期計(jì)算所得結(jié)果.

3 有效數(shù)字和數(shù)據(jù)精度

文獻(xiàn)[4]選取的重力加速度、密度只有2～3位有效數(shù)字，或許最終計(jì)算結(jié)果m=1.797kg可保留3位數(shù)字即小數(shù)兩位；而實(shí)際鐵塊質(zhì)量1.80kg意味著1.795～1.804kg，即測試結(jié)果并非誤差1.6‰,而是“絕對精確”.家用桿秤的分辨率多是半兩即0.025kg，精度更低.

手工計(jì)算時總是不斷地確定有效數(shù)字以提高效率，而計(jì)算機(jī)采用的數(shù)字是額定位數(shù)，但對最終結(jié)果最好依據(jù)有效數(shù)字適當(dāng)截取.文獻(xiàn)[5]試驗(yàn)參數(shù)(相當(dāng)于自變量)的有效位數(shù)不超過3位，其表3中頻率134.6832Hz和載荷147.1802kN這樣的數(shù)值，最多保留小數(shù)1位即可.這也便于閱讀和比較.

就筆者所知，試驗(yàn)設(shè)備的測量精度通常在1‰的量級，因而數(shù)據(jù)一般可取4位數(shù)字，如人的身高只需精確到mm；昔日《常用數(shù)學(xué)用表》也多是4位數(shù)，如以及l(fā)g2=0.3010, lg3=0.4771.就此而言，現(xiàn)在有計(jì)算機(jī)，圓周率宜取為5位數(shù)字的3.1416而非3.14，使其完全不影響計(jì)算精度——后者可引起式(1)計(jì)算結(jié)果因圓周率7次冪而偏大3.6‰.當(dāng)然，例外情形總是存在的,如天文觀測以及密立根測量帶電油滴運(yùn)動[6]，其確定電子的電荷數(shù)值為(1.603±0.002)×10?19C，相關(guān)數(shù)據(jù)具有較高精度而保留了更多數(shù)字.

公元前225年埃拉托斯芬發(fā)現(xiàn)，夏至正午太陽與埃及亞歷山大城的垂直方向成7.2?，而在其南方500英里的塞尼(今阿斯旺大壩處)卻直射枯井，可得地球半徑4000英里；公元前130年古希臘的伊巴谷依據(jù)月全食時間推算地球本影在該處的弧長相當(dāng)于2.5倍月球直徑，確定地月距離236000英里.兩者與現(xiàn)代測試值3986英里和240000英里相差無幾[7].不過，所涉測量數(shù)據(jù)精度較低，如此美好的計(jì)算結(jié)果只是幸運(yùn)；而確定地月距離所需要的最長月全食時間可不容易得到呢.此外，某些遠(yuǎn)高于測試精度的“原始數(shù)據(jù)”或過于理想的“試驗(yàn)結(jié)果”，可能緣于相關(guān)知識的欠缺而編造不當(dāng)，將其應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)是危險的[8].

間接測量可能增加誤差，如以分辨率0.1kg的電子秤為嬰兒稱重(表1).原始數(shù)據(jù)誤差±0.05，嬰兒體重誤差±0.10，而周增重誤差則達(dá)到±0.20.表中“真重”是設(shè)想的數(shù)值以說明計(jì)算可能引起的誤差.

表1 以提籃間接稱重嬰兒(單位：kg)

盡管嬰兒每周規(guī)則增重0.20kg，但基于間接稱量得到的結(jié)果可以是0.0,0.1,0.2,0.3或0.4kg，最大差別達(dá)到0.4kg即8兩.顯然，基于兩次稱量值相減而得到的嬰兒體重是可靠的，盡管稍有誤差；但周增重已完全失真.相關(guān)結(jié)論是數(shù)值計(jì)算的常識，只是我們臨事慌亂而忘了.或許，嬰兒生長具有較大波動并非真實(shí)而可能源于間接測量所引起的誤差.就此也可以理解惠斯頓電橋的巧妙設(shè)計(jì)和特別價值：以兩臂中間的電壓差直接表征120 ?應(yīng)變片的電阻微小變化，并不測量應(yīng)變片電阻的絕對數(shù)值[9].

在不能提高電子秤精度的制約下，可進(jìn)行重復(fù)測試：在提籃中添加不同衣物后多次稱量，將得到2個嬰兒體重?cái)?shù)值：W和W+0.1，其變化范圍0.1kg是測試誤差，而嬰兒體重估計(jì)為W+0.05(圖2),誤差可減小到±0.05kg而與電子秤的分辨率相當(dāng).與此相應(yīng)，周增重的誤差將減小到±0.1kg.

隨機(jī)設(shè)計(jì)提籃重量而進(jìn)行大量測試，若嬰兒體重W出現(xiàn)的次數(shù)顯著多于W+0.1的次數(shù)，則判斷嬰兒體重低于W+0.05而估計(jì)為W+0.025；反之則為W+0.075;若兩者沒有明顯區(qū)別，則確認(rèn)體重為W+0.05.嬰兒體重誤差將降低到±0.025kg，周增重的誤差則減小到±0.05kg，即達(dá)到電子秤的精度.相關(guān)統(tǒng)計(jì)分析或可靠性判斷[9]不再贅述.

圖2 嬰兒體重的間接稱量及3個估計(jì)值

4 結(jié)語

試驗(yàn)對力學(xué)至關(guān)重要.在理論分析后設(shè)計(jì)試驗(yàn)以準(zhǔn)確可靠地反映系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系，測試方法應(yīng)具有較高分辨率以保證數(shù)據(jù)精度.如伽利略所論證，摻銀30%的金冠和等重黃金分別置入直徑20cm水盆，水位升高值僅相差0.4mm，難以區(qū)分兩者體積的異同，而以溢出法測量體積則受到水表面張力的影響，均不能確定金冠摻雜與否；可行的方法是確定兩者在空氣和水中能否使相同力臂的杠桿保持平衡.

許多環(huán)境因素如地理位置、溫度等對試驗(yàn)結(jié)果都有不同程度的影響，而公式及參數(shù)取值通常只在一定范圍或精度內(nèi)正確；最好在具體分析之后進(jìn)行適當(dāng)修正以消除系統(tǒng)誤差，并對重復(fù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析而減小隨機(jī)誤差.

試驗(yàn)數(shù)據(jù)總是具有一定的誤差，而誤差可能在后續(xù)計(jì)算中放大；多次迭代計(jì)算可以使最終結(jié)果完全失真[1011].就此而言，對間接測試結(jié)果的精度或誤差應(yīng)持謹(jǐn)慎態(tài)度，更不能從大量離散的數(shù)據(jù)中挑選個別“典型試驗(yàn)結(jié)果”進(jìn)行計(jì)算以確認(rèn)研究的可靠性.

1費(fèi)恩曼RP，萊頓RB，桑茲M.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義(第1卷).鄭永令，華宏鳴，吳子儀等譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2005. 1,22

2尤明慶.力學(xué)的定義.http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-747329.html

3武際可.力學(xué)史.上海：上海辭書出版社，2010

4楊漢文,李國清,張一帆.間接測量質(zhì)量、長度和時間的趣味力學(xué)實(shí)驗(yàn).力學(xué)與實(shí)踐,2016,38(3):317-320

5丁智平,方建輝,卜繼玲等.橡膠彈性支座動態(tài)承載特性及其影響因素分析.力學(xué)與實(shí)踐,2015,37(4):492-498

6 Olenick RP,Apostol TM,Goodstein DL.力學(xué)世界.李椿，陶如玉譯.北京：北京大學(xué)出版社,2002.161-1637弗倫奇AP.牛頓力學(xué)(第2冊).郭敦仁，何成鈞譯.北京：人民教育出版社,1982.75-77

8尤明慶.對錨固體強(qiáng)度強(qiáng)化理論的討論.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2014,33(5):1075-1077

9張明，蘇小光，王妮.力學(xué)測試技術(shù)基礎(chǔ).北京：國防工業(yè)出版社,2008.12-41,60-70

10尤明慶．割圓術(shù)確定圓周率方法的改進(jìn)——祖沖之確定圓周率過程之猜測.安陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003,(2)：11-12

11尤明慶.單參數(shù)的正則拋物線準(zhǔn)則.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2012, 31(8)：1580-1586

(責(zé)任編輯:胡漫)

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A

10.6052/1000-0879-16-290

2016–09–06收到第1稿，2016–10–21收到修改稿.

尤明慶.間接測量質(zhì)量試驗(yàn)的可靠性及數(shù)據(jù)精度.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(2):205-207,195 You Mingqing.Test reliability of indirect measurement for mass and the accuracy of data.Mechanics in Engineering, 2017,39(2):205-207,195