張玉峰，智紅燕，付夕聯(lián)

（1．中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2．中國石油大學(xué) 理學(xué)院，山東 青島 266580；3．山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255014）

數(shù)學(xué)直覺的作用

張玉峰1，智紅燕2，付夕聯(lián)3

（1．中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116；2．中國石油大學(xué) 理學(xué)院，山東 青島 266580；3．山東理工大學(xué) 理學(xué)院，山東 淄博 255014）

回顧數(shù)學(xué)直覺的有關(guān)概念，對龐加萊、阿達(dá)瑪和徐利治的數(shù)學(xué)直覺觀作簡要論述和比較．強(qiáng)調(diào)產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺的不同論述：數(shù)學(xué)直覺產(chǎn)生于對數(shù)學(xué)的觀察、歸納、類比和聯(lián)想；數(shù)學(xué)直覺產(chǎn)生于無意識思維過程．根據(jù)數(shù)學(xué)家的共識，即數(shù)學(xué)直覺是可以培養(yǎng)的，結(jié)合阿達(dá)瑪、龐加萊和徐利治先生的有關(guān)觀點(diǎn)，提出數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)途徑以及數(shù)學(xué)教師如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)明的一般原則；同時也給出了部分大數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)直覺的不解之謎和認(rèn)識．結(jié)合學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的體會，提出從有意識到無意識再到有意識的循環(huán)思維過程，并指出滲透在其中的數(shù)學(xué)思想方法．

數(shù)學(xué)直覺；無意識；數(shù)學(xué)發(fā)明

法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪?shù)膶Ｖ稊?shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》（陳植蔭，肖奚安譯，江蘇教育出版社，1988）（下文簡稱《心理學(xué)》）和中國著名數(shù)學(xué)家、教育家徐利治先生的專著《漫談數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究方法》（大連理工大學(xué)出版社，1989）（下文簡稱《方法》）都大篇幅論述了數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的心智活動過程．龐加萊、阿達(dá)瑪和徐利治先生都提出了數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生過程和思維機(jī)制，指出了數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)發(fā)明的不同心理活動過程，提出了數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)直覺的不解之謎以及數(shù)學(xué)家對這些現(xiàn)象的不同認(rèn)識等系列問題．不同數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生途徑、數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)發(fā)明的關(guān)系有哪些各自認(rèn)識，數(shù)學(xué)直覺有哪些類型，如何培養(yǎng)等問題值得探討和研究．

1 數(shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)直覺的認(rèn)識

1.1 數(shù)學(xué)直覺有關(guān)概念及關(guān)系

什么是數(shù)學(xué)直覺？作為一種思維運(yùn)動形式，徐利治先生在《方法》（64頁）中指出：“數(shù)學(xué)直覺是人腦對于數(shù)學(xué)對象事物（結(jié)構(gòu)及其關(guān)系）的某種直接的領(lǐng)悟或洞察；通常把它歸屬于心理學(xué)家所謂的發(fā)散思維范疇．”徐利治先生進(jìn)一步指出：“數(shù)學(xué)直覺往往產(chǎn)生于經(jīng)驗(yàn)、觀察、歸納、類比和聯(lián)想，有時以心理學(xué)上的“頓悟”形式出現(xiàn)，是認(rèn)識過程的一種飛躍形式．”法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪認(rèn)為：直覺是由無意識產(chǎn)生的．那么什么是無意識？阿達(dá)瑪在《心理學(xué)》中并沒有給出明確的定義．據(jù)研究，無論從心理學(xué)還是思維論方面，目前還沒有得到明確的解釋，但阿達(dá)瑪對無意識作了如下簡單描述(《心理學(xué)》20頁）：“在發(fā)明家的突然醒悟之前，還存在著連發(fā)明家自己也不知曉的某種心理過程，用一個專門名詞來說，這就是無意識過程．”阿達(dá)瑪在《心理學(xué)》中舉出了許多例子來說明無意識確實(shí)是存在的．那么無意識到底是什么東西呢？對于人們來說，理解起來有些困難；但作為“無意識”的對立概念就是“有意識”，是否從“有意識”與“無意識”的關(guān)系方面留些影像呢？阿達(dá)瑪在《心理學(xué)》（22頁）中舉了一個例子：“要識別一個人的面孔，實(shí)際上需要知道這個面孔的上百個特征，但卻沒有一個特征是可以精確地描述出來的（當(dāng)然對具有天賦和受過專門訓(xùn)練的畫家除外），然而你的朋友面孔的所有這些大大小小的特征都儲存在你的記憶中，存在于你的無意識的心理狀態(tài)中．所有這些記憶，在你見到朋友的那剎那，就會在你腦海中涌現(xiàn)出來．所以從這個普通的例子中即可發(fā)現(xiàn)無意識確實(shí)具有一種可稱為多重性的重要性質(zhì)，也就是好幾個事物，甚至相當(dāng)多個事物同時出現(xiàn)在你腦海中．這與意識不同，因?yàn)樘幵谟幸庾R狀態(tài)中的觀念是唯一的．”從以上描述還發(fā)現(xiàn)，無意識具有“多重性”特點(diǎn)，該特點(diǎn)的作用是有利于綜合工作的，也就是說，該例子表明了一個事實(shí)（《心理學(xué)》22頁）：“無意識狀態(tài)下的那個相貌上的許許多多細(xì)節(jié)，便可在有意識狀態(tài)下綜合成唯一的一個觀念，即是否認(rèn)識此人．”按照阿達(dá)瑪?shù)挠^點(diǎn)，如果沒有無意識，人類什么事情都做不成．因此，可否認(rèn)為：無意識就是一些記憶結(jié)果的儲存？但記憶是歸屬于無意識范疇的，這也是阿達(dá)瑪與龐加萊的觀點(diǎn)．接下來的一個問題是：無意識是怎么產(chǎn)生直覺的或者成為頓悟或靈感的？從上面人臉識別的例子來看，無意識具有多功能性：它不僅要去構(gòu)造無窮無盡的思想組合，而且還要把它們相互比較．這種多功能性是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺的主因，對此著名數(shù)學(xué)大師龐加萊說（《心理學(xué)》27頁）：“發(fā)明創(chuàng)造就是排除那些無用的組合，保留那些有用的組合，而有用的組合又僅僅是極少數(shù)．因此發(fā)明就是辨別，就是選擇．”這里先按照阿達(dá)瑪在《心理學(xué)》中給出的心理學(xué)家克拉帕雷德所描述的“發(fā)明”指的是什么．他說：有兩種不同類型的發(fā)明，其一是目標(biāo)已經(jīng)確定，問題只是尋找一種方法去實(shí)現(xiàn)它，于是人們的心理過程必然是由目標(biāo)到方法，或說從問題到答案；其二是已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一個事實(shí)，然后再去研究它有什么用途，因而這種心理過程將是從方法到目標(biāo)，并且答案是比問題先給出的．對于發(fā)現(xiàn)的含義，保羅·瓦萊里指出（《心理學(xué)》27頁）：“任何發(fā)明的過程都包括兩個方面，其一是進(jìn)行思想的組合，其二是選擇和識別那些我們所期待的組合，那些能夠給我們傳遞重要信息的組合，我們稱之為天才的人物往往在第一步上只要花費(fèi)很少的時間，就可以為第二步做好準(zhǔn)備，而在第二步中又能夠準(zhǔn)確地掂量在種種組合中作出完美的選擇．”由此可見，數(shù)學(xué)直覺就是無意識的多功能性的結(jié)果．對此，龐加萊作了一個形象的比喻（《心理學(xué)》38頁）：“設(shè)想那些形成思想組合的基本的思想元素有點(diǎn)像Epicurus的帶鉤狀的原子，在思維完全靜止時，這些帶鉤的原子是不動的，它們像是掛在墻上這種完全靜止的狀態(tài)可以無限期地延續(xù)下去，原子間也就不會碰撞或相遇，因而更談不上產(chǎn)生什么組合．但我們在進(jìn)行研究工作時，就必須把一些思想動員起來，當(dāng)然不會是全部思想，而是可能有用的思想．如果未達(dá)到預(yù)期結(jié)果，也就是雖已用千百種不同方式把這些觀念原子相互組合，卻仍然未獲得令人滿意的結(jié)果，此時我們認(rèn)為自己干得不好，然而經(jīng)過這樣的努力之后，這些觀念原子卻已被激發(fā)并運(yùn)動起來了，它們再也不會回到原先的位置上去，而是連續(xù)不斷地向四面八方自由飛舞．這些被動員起來的觀念原子互相組合，或者飛向那些尚未動員起來的觀念原子，并與之結(jié)合把它們動員起來．在這些新的結(jié)合中，在這些有意識努力的間接結(jié)果中，可能蘊(yùn)含著自發(fā)的靈感．”從以上描述看到了無意識是如何產(chǎn)生直覺形象過程的．但這里存在一些疑惑：如何做到“完美選擇”？怎么知道哪些思想是可能有用的思想？這些問題留在下面去考慮．以上描述表明，醞釀是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺的先行階段，對此阿達(dá)瑪指出（《心理學(xué)》29頁）：“在醞釀階段，沒有什么自覺地智力活動，但也不是什么也沒有發(fā)生，實(shí)際上，事情只是發(fā)生在我們的無意識中罷了．”既然無意識產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺，下面的問題是：如何產(chǎn)生無意識？對該問題的回答，阿達(dá)瑪在《心理學(xué)》（37頁）中作了一番闡述，他說：“無意識勞動是前一個時期所作艱苦努力的結(jié)果．如果不是經(jīng)過好幾天的有意識的艱苦努力，盡管這些努力沒有產(chǎn)生結(jié)果，完全是一種盲目的摸索，那么突然的靈感是不會產(chǎn)生的”；“正是通過這種努力才使得無意識機(jī)器能以開動起來，亦即如果沒有這些艱苦努力，無意識機(jī)器是不會開動起來的，從而什么靈感也不會出現(xiàn)．”因此，沒有有意識的努力，就不會有任何發(fā)明，那么，如何進(jìn)行有意識的努力？對此心理學(xué)家梭里奧說（《心理學(xué)》40頁）：“為了發(fā)明，你必須開闊思路．”伯納德也對此指出：“思想過于古板的人，乃是不適宜于從事發(fā)明工作的．”這也就是說，思路不開闊是不會有發(fā)明工作的．阿達(dá)瑪?shù)挠^點(diǎn)與梭里奧和伯納德是完全一致的，他說（《心理學(xué)》40頁）：“不管在數(shù)學(xué)中還是在實(shí)驗(yàn)科學(xué)中，如果不能充分地開闊自己的思路，就將一事無成，盡管他的能力而言，本來是應(yīng)該有所創(chuàng)造的．”由此，無意識是可以訓(xùn)練的．徐利治先生曾經(jīng)斷言的（《方法》64頁）“數(shù)學(xué)直覺產(chǎn)生于經(jīng)驗(yàn)、歸納、類比和聯(lián)想”是開闊思路的重要手段．“經(jīng)驗(yàn)”來源于有意識的辛勤勞動和知識積累，見多識廣；通過數(shù)學(xué)“觀察”發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理等知識間的關(guān)聯(lián)；“歸納”可由特殊的例子，特殊的性質(zhì)得到一般理論，即去偽存真；“類比”可由一類事物的特性得到另一類事物的特性．而直覺與聯(lián)想是互為因果的，對這一點(diǎn)，徐利治先生在《方法》（55頁）中指出：“對于一個學(xué)習(xí)或研究數(shù)學(xué)的人來說，為了開發(fā)智力必須同時注意培養(yǎng)直覺與聯(lián)想兩種能力．怎么培養(yǎng)？我想，首先要注意培養(yǎng)較廣泛的興趣，要博覽全書，好學(xué)神思，要提倡多想問題，甚至不限于思考數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)部問題．”

1.2 審美的作用

按照龐加萊和阿達(dá)瑪?shù)挠^點(diǎn)，數(shù)學(xué)創(chuàng)造就是辨別，就是選擇．選擇什么？就是選擇所期待的思想組合．選擇的標(biāo)準(zhǔn)是什么？龐加萊認(rèn)為（《心理學(xué)》28頁）：“美感對于發(fā)明來說，乃是必不可少的，沒有美感就不會有發(fā)明．”他進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)（《心理學(xué)》28頁）：“無意識不僅要擔(dān)當(dāng)起構(gòu)造各種各樣的思想組合的復(fù)雜任務(wù)，而且還要根據(jù)我們的審美原則去作最細(xì)微和最本質(zhì)的選擇．”盡管許多數(shù)學(xué)家、心理學(xué)家對龐加萊的觀點(diǎn)提出批評并加以攻擊，比如，沃拉斯就說（《心理學(xué)》32頁）：“龐加萊的‘沒有高度的審美本能就不會有偉大的發(fā)現(xiàn)’的說法也許是對的，但‘如果認(rèn)為這種審美本能是數(shù)學(xué)家進(jìn)行思維的唯一動力的話’，乃是極不妥當(dāng)?shù)模比欢鄶?shù)數(shù)學(xué)家是贊同龐加萊的觀點(diǎn)的．要有審美能力，首先要知道什么是美．其實(shí)，世界上的美有無數(shù)，概括起來其實(shí)就兩種，一種“和諧美”，另一種是“奇異美”．因?yàn)樽匀唤缡敲赖?，它的存在就是以和諧和奇異形式存在．對于數(shù)學(xué)來說，徐利治先生對這兩種美作了進(jìn)一步分類和分析，他指出（《方法》66—68頁）：“和諧美表現(xiàn)為統(tǒng)一性、簡單性、對稱性、不變性（守恒性）、恰當(dāng)性，等等．所謂統(tǒng)一性，就是部分與部分、部分與整體之間的協(xié)調(diào)一致．”“在繁雜之中概括出一種簡潔明了的規(guī)律，則給人一種美的感覺．”“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美．”無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)、非歐幾何的誕生，虛數(shù)的引入等實(shí)例無不說明數(shù)學(xué)家追求數(shù)學(xué)美的結(jié)果．

2 數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)

龐加萊和阿達(dá)瑪都認(rèn)為，有許多人是學(xué)不懂?dāng)?shù)學(xué)的．在《心理學(xué)》（80頁）中阿達(dá)瑪是這樣表述的：“大家都知道，有許多人無法勝任數(shù)學(xué)工作，甚至無法學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)．這個問題也被龐加萊深入地研究過．他認(rèn)為主要的問題在于不能‘真正地理解’．”怎么才算是‘真正地理解’？龐加萊對“理解”作了以下兩種情況的分析，他說：“對于定理證明過程的理解，是不是僅一步一步地考察證明過程的每一推理步驟，判斷一下它們是否正確和符合規(guī)則就夠了呢？……對于某些人來說，事實(shí)就是如此，當(dāng)他做完此事以后，便以為自己已經(jīng)理解了”；“但對絕大多數(shù)人來說，事情并非如此簡單，他們還有許多更為苛刻的要求．他們不僅要知道每個證明步驟是否正確，而且還想進(jìn)一步知道，這些步驟為什么必須這樣聯(lián)結(jié)，而不是那樣聯(lián)結(jié)．在他們看來，如果對這些證明步驟的安排，依然看不出什么目的性的話，則就無法相信自己已‘理解’了”．阿達(dá)瑪在《心理學(xué)》（81頁）中對龐加萊的“理解”作出了令人信服的評價，他說：“至于龐加萊所指的第一態(tài)度，乃是有些學(xué)生從不關(guān)心任何綜合，只是盲目地做些習(xí)題．這些學(xué)生的成績也可能趕上其他同學(xué)，甚至還相當(dāng)說得過去；但若長此以往，他的前景實(shí)際將比上述那種學(xué)生更糟，因?yàn)榍懊婺欠N學(xué)生至少還知道此處存在著問題和困難．”對于不能“理解”數(shù)學(xué)的人，其實(shí)就是學(xué)不懂?dāng)?shù)學(xué)的人，這樣的人能否通過后天的培養(yǎng)成為能“理解”數(shù)學(xué)的人呢？可能部分人能行，但大批人可能不行，這是否與他們天生的資質(zhì)有關(guān)呢？還不能妄加評論，但加爾的“骨相說”似乎符合這樣的觀點(diǎn)．按照加爾的古怪?jǐn)?shù)學(xué)“骨相說”原則（《心理學(xué)》6頁）：“人的才能不僅與大腦的某些部位有聯(lián)系，而且與腦殼的某些部位也有聯(lián)系．”按照此原則，“人的數(shù)學(xué)能力是由頭蓋骨上的一個隆起部分，即一個局部的骨相決定的”．但這里所謂的“骨相說”得到了近代一些神經(jīng)病學(xué)專家的一致批評，并認(rèn)為是一個很荒唐的假說．雖說“骨相說”似乎不靠譜，但一些數(shù)學(xué)大師的數(shù)學(xué)創(chuàng)造難以理解，似乎不是光靠勤奮得來的．在《心理學(xué)》中的第八部分，阿達(dá)瑪列出了直覺思維中的數(shù)個不解之謎．比如，黎曼研究了一個以復(fù)數(shù)s為自變量的函數(shù)，他證明了這個函數(shù)的某些性質(zhì)，又指出了另一些未加證明的重要性質(zhì)；但至今尚不知曉他所說的這個表達(dá)式是什么樣子．還有著名的“黎曼猜想”，也就是希爾伯特23個問題中的第八問題，至今仍未獲得解決．阿達(dá)瑪說（《心理學(xué)》（第90頁））：“半個世紀(jì)以來，人們對此花費(fèi)了巨大的勞動，雖然在這個方向上也獲得了某些極有趣的發(fā)現(xiàn)，但卻仍然未能肯定或否定這個黎曼猜想．”可見，黎曼具有非凡的超強(qiáng)直覺能力．對于伽羅瓦的數(shù)學(xué)才能更是讓我們驚嘆（《心理學(xué)》91頁）：“當(dāng)他知道勒讓德的幾何之后，他的熱情即可被數(shù)學(xué)迷住了”；“但他在20歲時就夭折的原因，卻不是為了革命，而是出于一場荒謬的決斗．”在決斗的前夜，他匆忙地整理了自己的發(fā)現(xiàn)，先是扼要地寫出了他的那些手稿，這些手稿曾被科學(xué)院認(rèn)為是“不可理解”而被拒絕接受．接著在寫給他朋友的一封信中，倉促地寫下了另外一些漂亮的論點(diǎn)，同時又在信紙的空白處重復(fù)地寫上“我沒有時間”；“直到他死后15年，科學(xué)家們才開始注意他那篇曾被科學(xué)院拒絕接受的文章，開始認(rèn)識到伽羅瓦在文章中遇見了向更高級代數(shù)學(xué)的全面轉(zhuǎn)變，他在最偉大的數(shù)學(xué)家不太注意的領(lǐng)域中放射出最耀眼的光芒，并把代數(shù)問題和數(shù)學(xué)上其他完全不同的分支聯(lián)系起來了”．還有像費(fèi)爾馬、龐加萊、卡當(dāng)?shù)葦?shù)學(xué)大師都是具有非凡數(shù)學(xué)直覺能力的天才．盡管一些數(shù)學(xué)大師的數(shù)學(xué)創(chuàng)造令人不可思議，但龐加萊、徐利治先生都認(rèn)為，數(shù)學(xué)直覺是可以通過后天的勤奮學(xué)習(xí)獲得的．龐加萊認(rèn)為，數(shù)學(xué)直覺是可以訓(xùn)練的；徐利治先生說，數(shù)學(xué)直覺是可以培養(yǎng)的．那么如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺能力呢？

2.1 培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

“興趣”是最偉大的老師．如果對數(shù)學(xué)毫無興趣甚至討厭數(shù)學(xué)的話，那必定不會學(xué)好數(shù)學(xué)．因此，在教學(xué)過程中，教師只有讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)并采取某些教學(xué)手段才能使得他們有興趣地學(xué)習(xí)．比方說（《方法》70頁），“通過舉例分析教會學(xué)生鑒賞數(shù)學(xué)，懂得數(shù)學(xué)美表現(xiàn)在哪些地方，如何從數(shù)學(xué)美的觀點(diǎn)分析評比各類數(shù)學(xué)定理和它們的證明方法．”這就要求數(shù)學(xué)教師首先學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)美的有關(guān)知識．另外，結(jié)合數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，教師從數(shù)學(xué)角度或者具體應(yīng)用學(xué)科角度，簡單地向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，比方說，數(shù)學(xué)在物理上的應(yīng)用有這樣一個例子：在講授變換群時，變換群是如何提出來的（從具體例子抽象出來），又是如何應(yīng)用到物理學(xué)中若干電子異?，F(xiàn)象的精確描述的，由此讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)是否有用．

2.2 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考讓他們“真正理解”數(shù)學(xué)

徐利治和徐瀝泉在文[1]中指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難并不是它本身的抽象形式，而是離開了抽象它的背景，離開了用似真推理來發(fā)現(xiàn)它的過程，離開了在受到挫折以后對反饋信息的分析，離開了生動活潑的創(chuàng)造發(fā)明的活動機(jī)制．”其實(shí)著名數(shù)學(xué)家對此也有至理名言（《方法》71頁）：“了解一種理論的最好方法是找出研究那種理論的原型的具體例子．”這也就是徐利治先生提出的“返璞歸真”思想，弄清數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理的來龍去脈，讓學(xué)生“真正理解”（阿達(dá)瑪語），讓學(xué)生“真懂”（徐利治語）．下面簡單介紹徐利治先生所指的“真懂”是什么意思，研究發(fā)現(xiàn)其意思完全與龐加萊在前面論述的“理解”含義一致．徐先生說[1]：“懂的含義是有不同層次的，比如一道難題，老師一步步把它解出來了，每步都看明白了，這就覺得懂了，其實(shí)這樣的懂只是一種‘淺懂’或‘表面懂’，未必是真正徹底懂了，這叫‘見樹不見林’．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是這樣，‘真正的懂’就是要有整體性的理解，就是弄明白整個思路的來龍去脈，還要徹底理解它所以如此的道理．”其實(shí)，這里的“淺懂”就是前面談到的龐加萊的“第一種情況”，這里的“真懂”就是龐加萊所指的“第二情況”．多數(shù)高校學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法就停留在“淺懂”層次上，從定義、性質(zhì)再到定理或公式，最后就是做大量的練習(xí)題，這樣的教學(xué)手段確實(shí)培養(yǎng)了一大批解題高手，能應(yīng)付各類考試，還能拿到巨額獎學(xué)金，可以保送攻讀研究生．但這樣的培養(yǎng)模式培養(yǎng)的部分學(xué)生正如阿達(dá)瑪所說的其未來前景實(shí)際上會更糟糕，一般不會有創(chuàng)新意識，這不符合教育目標(biāo)．為解決這一問題，數(shù)學(xué)教師首先要深入學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)教育理論，包括數(shù)學(xué)創(chuàng)造的原則，比如歸納法、類比法，等，然后教師要從整體上把握教材內(nèi)容，結(jié)合教育理論循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地學(xué)習(xí)和思考，讓學(xué)生感到所學(xué)數(shù)學(xué)知識就好像他們自己發(fā)現(xiàn)的一樣，完全符合他們的現(xiàn)有知識的認(rèn)識能力，這樣的話，學(xué)生才能真正學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)，并且終身不忘．另外，教師要引導(dǎo)學(xué)生選擇自己感興趣的研究課題，告訴學(xué)生如何選題．但事實(shí)上正好相反，現(xiàn)在高校中存在一種普遍現(xiàn)象：大學(xué)本科畢業(yè)生畢業(yè)前的畢業(yè)論文題目是由教師提出來然后再讓學(xué)生去選擇，而不是讓學(xué)生提出來由老師指導(dǎo)去完成或者去修正．這種現(xiàn)象在國外也是普遍存在的，比如阿達(dá)瑪就有這樣的體會：“學(xué)生們常常向我要研究題目，希望得到指導(dǎo)．我也常常給以指導(dǎo)；然后憑心而論，我認(rèn)為這樣的學(xué)生充其量是第二流的．”是這樣的，一個大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)三四年，竟連個畢業(yè)論文題目都選不出來，能說是一流的學(xué)生嗎？另一方面看，這種糟糕的情況不僅是學(xué)生的原因，還有，可以說多數(shù)原因是教師導(dǎo)致的．有些教師沒有讓學(xué)生選題的意識，總認(rèn)為選題本來是教師的事．之所以有這樣的心態(tài)不無與學(xué)校、學(xué)院、數(shù)學(xué)系某些決策領(lǐng)導(dǎo)者有關(guān)．學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)要是不重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)研究的話，一般來說，這個學(xué)院的科研與教學(xué)水平也好不到哪里去，這正是所謂的“將熊熊一窩”的道理．

2.3 三高作為大學(xué)生的后續(xù)必修課

徐利治先生在《方法》（72頁）中指出：“我們贊成這樣的觀點(diǎn)：大學(xué)數(shù)學(xué)課程的各門教材應(yīng)弄得少些、活一些．教材應(yīng)該反映時代的進(jìn)步面貌，所以‘力求新穎’是必要的．此外，‘少而精’原則也是大家一貫提倡的．”怎么解讀徐先生的“少而精”？研究者認(rèn)為，大學(xué)生首先學(xué)好舊三高，即《高等代數(shù)》、《數(shù)學(xué)分析》和《空間解析幾何》，這是大學(xué)一、二年級學(xué)生的必修重要課程，它們是以后學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，沒有這3門課作為基礎(chǔ)，后續(xù)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)將是寸步難行．在掌握這三高基礎(chǔ)上，為了提升學(xué)生抽象思維能力，培養(yǎng)其創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)能力，建議在大學(xué)三或四年級將大學(xué)數(shù)學(xué)中的新三高，即《抽象代數(shù)》、《點(diǎn)集拓?fù)洹泛汀斗汉治觥纷鳛楸匦拚n程，而不是選修課程，更不是不學(xué)．讓學(xué)生知道，已經(jīng)學(xué)過的舊三高知識是如何應(yīng)用到更抽象的數(shù)學(xué)知識中去的，是在什么平臺上應(yīng)用這些知識的．新三高中的許多重要結(jié)果都是舊三高知識的推廣、類比、歸納或聯(lián)想得到的，教師要是把這樣的問題給學(xué)生講清楚，他們不僅很有興趣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而且還學(xué)到了更高級的數(shù)學(xué)知識，教學(xué)的部分目的就算達(dá)到了．

2.4 開設(shè)《數(shù)學(xué)文化》課程

目前，某些高校在大學(xué)生選修課中開設(shè)了《數(shù)學(xué)文化》課程．以南開大學(xué)為例，在全國教學(xué)名師顧沛教授的領(lǐng)導(dǎo)下，南開大學(xué)課題組編寫了《數(shù)學(xué)文化》教材，于2008年由高等教育出版社出版．通過教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，該教材很受學(xué)生歡迎．之所以取得這樣的教學(xué)效果，是因?yàn)樗麄兇_定的課程選材原則是[2]：“第一，以數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)知識為載體，介紹數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)精神．第二，涉及的數(shù)學(xué)知識深淺適當(dāng)，以能講清數(shù)學(xué)思想為準(zhǔn)，使各專業(yè)的學(xué)生都能聽懂，都有收獲．第三，開闊眼界，縱橫兼顧，對于數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)狀和未來，都要有所介紹，對于數(shù)學(xué)與人文的各種關(guān)系，都要有所涉及．”總之，他們的選材貫徹了素質(zhì)教育的思想，注意科學(xué)精神與人文精神的交叉與融合，既要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，又要著眼于提高學(xué)生的文化素質(zhì)和思想素質(zhì)．可見，從人文教育角度看，這樣的課程不僅能增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)直覺能力，數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力．通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)知識的來龍去脈和數(shù)學(xué)家是怎樣通過艱辛的勞動獲得的，培養(yǎng)學(xué)生吃苦耐勞、堅(jiān)韌不拔的創(chuàng)新精神．

3 數(shù)學(xué)創(chuàng)新的類型

3.1 數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)

阿達(dá)瑪在《心理學(xué)》（87頁）中論述了數(shù)學(xué)家之間的思維區(qū)別．首先，他指出數(shù)學(xué)家的思維職能：“數(shù)學(xué)家們不僅能夠理解數(shù)學(xué)，而且還能研究新的數(shù)學(xué)問題，創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)知識．”然后阿達(dá)瑪進(jìn)一步指出：“數(shù)學(xué)家不僅和普通學(xué)生不一樣，而且數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)家之間也存在深刻的區(qū)別．其中的一個主要區(qū)別是有些數(shù)學(xué)家是直覺型的，另一些是邏輯型的．”對此，龐加萊也曾經(jīng)做過研究，他說（《心理學(xué)》81頁）：“一種類型主要是充斥著邏輯．讀著他們的著作，我們會被他們一步一步引導(dǎo)著，在信任他們的道路上穩(wěn)步前進(jìn)．他們的作風(fēng)就像戰(zhàn)士們一道又一道挖戰(zhàn)壕一樣，亦即不依賴任何機(jī)遇地步步逼近被圍攻的敵營．另一種類型則是憑借于直覺了．他們能夠一下子提出一個敏銳的、但有時是冒險的問題．就像一個勇敢而迅猛前進(jìn)中的騎兵．”德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯是典型的邏輯主義者，他的聲譽(yù)和影響在德國同行中是巨大的；而德國數(shù)學(xué)家黎曼就是毫無疑問的最典型的直覺心理類型的人，這是公認(rèn)的事實(shí)．邏輯型或直覺型數(shù)學(xué)家是后天的學(xué)習(xí)造成的還是天生的？這兩種類型的數(shù)學(xué)家真的有那么嚴(yán)格的區(qū)分嗎？龐加萊回答了第一個問題，他說（《心理學(xué)》83頁）：“一個數(shù)學(xué)家之所以成為邏輯主義者或直覺主義者的決定因素，乃是他們最深刻的心理本質(zhì)，而不是他們所研究的問題．即使他們接觸到并開始研究新的不同類型的問題，他們?nèi)匀徊粫堰@種心理本質(zhì)丟棄一邊的．”嚴(yán)格來說，不存在什么純邏輯發(fā)現(xiàn)或純直覺發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)家，只是他們的思維側(cè)重點(diǎn)不同，其實(shí)都是無意識思維的結(jié)果．正是這種無意識產(chǎn)生直覺，才使得思想得以進(jìn)行各種組合．隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)分支越來越多，就此，徐利治先生曾經(jīng)說過：現(xiàn)在不存在數(shù)學(xué)家了，只有數(shù)學(xué)專家．只不過有的人傾向于邏輯思維發(fā)現(xiàn)的問題較多，有的人則是直覺猜測發(fā)現(xiàn)更多的數(shù)學(xué)問題而已．對于一般的數(shù)學(xué)工作者來說，在了解到以上事實(shí)后，必然反思相應(yīng)的數(shù)學(xué)研究屬于哪種類型．

3.2 例 子

基于以上分析，下面簡單地談?wù)剶?shù)學(xué)研究思維過程．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)科中有門專業(yè)稱為可積系統(tǒng)理論．德國數(shù)學(xué)家Fuchssteiner在研究Virasoro代數(shù)時，提出了可積耦合的概念[3]，即假設(shè)

是某空間上的一類可積系統(tǒng)（讀者不必知道什么是可積系統(tǒng)），假定存在顯含變量u、v及其關(guān)于自變量x的不同階導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)S=S(u,v)使得下列方程系統(tǒng)

是可積的話，則稱系統(tǒng)（2）是可積系統(tǒng)（1）的可積耦合．

美籍華人馬文秀教授[4]利用擾動方法得到了在物理學(xué)中具有廣泛應(yīng)用的KdV方程的可積耦合系統(tǒng)．KdV方程是一個可積方程，必然會考慮：能否得到兩個以上的可積方程系統(tǒng)的可積耦合？想到這一點(diǎn)，一點(diǎn)也不奇怪，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)物理課題中，遇到的單個方程和由兩個以上方程構(gòu)成的方程系統(tǒng)比比皆是．這是有意識到無意識或意識邊緣的思維過程．問題是如何實(shí)現(xiàn)呢？Fuchssteiner和馬文秀教授的工作本質(zhì)上就是通過一定的數(shù)學(xué)方法生成可積耦合．這種無意識必然使研究者想到了生成可積方程族的屠格式[5]．在文[5]中，屠規(guī)彰先生用有限維 Lie代數(shù)方法構(gòu)造了不同的等譜Lax對，再由群結(jié)構(gòu)方程給出了生成可積方程族的優(yōu)美方法．觀察發(fā)現(xiàn)：可積耦合就是在原來方程（1）的基礎(chǔ)上得到方程（2）這樣的含有“多余項(xiàng)”或者“多余方程”的耦合方程系統(tǒng)．既然是有“多余”，那么是否在原來方程（1）的Lax對基礎(chǔ)上再加上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，利用群結(jié)構(gòu)方程就能生成方程族的可積耦合？經(jīng)過試算，結(jié)果真的就成功了．從這一發(fā)現(xiàn)過程來看，由特殊到一般的聯(lián)想，加上有意識俘獲的無意識—屠格式，再經(jīng)過有意識的艱苦勞動得到了新結(jié)果，該結(jié)果最早發(fā)表在Journal of Math. Phys.[6]和《物理學(xué)報》[7]上．后來馬文秀教授進(jìn)一步精化了這一算法，得到了許多優(yōu)美的可積耦合結(jié)果．根據(jù)審美原則，得到的結(jié)果還不夠優(yōu)美，因?yàn)橥酪?guī)彰先生得到的方程族都擁有 Hamilton結(jié)構(gòu)，所以研究者也想考慮方程族的可積耦合是否也有 Hamilton結(jié)構(gòu)？基于這樣的出發(fā)點(diǎn)，必然想起前面提到的希爾伯特的名言：“了解一種理論的最好方法是找出然后研究那種理論的原型的具體例子．”還有徐利治先生的“返璞歸真”思想．于是反過頭來，考慮屠規(guī)彰先生是如何得到一個方程族的Hamilton結(jié)構(gòu)的（這是有意識思維過程），結(jié)果發(fā)現(xiàn)：屠先生是引進(jìn)了兩個矩陣的Killing-Cardon跡作為線性泛函，再利用變分法得到尋求方程族的Hamilton結(jié)構(gòu)的著名跡恒等式（這是中國學(xué)者在可積系統(tǒng)理論中的獨(dú)特成就之一）．由于可積耦合也是方程族，根據(jù)類比聯(lián)想法，是否能得到類似于跡恒等式的、用來尋求可積耦合的“跡”恒等式？那么從哪里下手呢？經(jīng)過仔細(xì)的再觀察，發(fā)現(xiàn)：屠規(guī)彰先生獲得跡恒等式的首要一步就是引進(jìn)了一個線性的跡泛函，即Killing-Cardon型，而這泛函的本質(zhì)就是一類特殊的二次型，也就是二次型表達(dá)式中的方陣A取為單位矩陣的情形．根據(jù)這一觀察，就考慮一般的二次型作為線性泛函，由此再由變分法就有望推得跡恒等式的推廣形式．為此，首先，要建立一個推理舞臺．根據(jù)Lie代數(shù)A1與二維向量空間R2間的同構(gòu)關(guān)系，必然推廣出：Lie代數(shù)An-1與n維向量空間Rn是同構(gòu)的．于是在由有限維列向量構(gòu)成Lie代數(shù)空間Rn上，利用變分法和屠規(guī)彰先生推求跡恒等式的思想，就獲得了跡恒等式的推廣形式，稱之為二次型恒等式[8]，并由此得到了著名AKNS方程族的可積耦合的Hamilton結(jié)構(gòu)．后來，對二次型恒等式作了進(jìn)一步的改進(jìn)，他稱之為變分恒等式[9]，據(jù)此他們做了許多具有啟發(fā)性的重要工作，將可積耦合理論向前推進(jìn)了一大步．隨著對可積耦合理論研究的不斷深入，上海交通大學(xué)的朱佐農(nóng)教授首次向文章第一作者提出：你們得到的可積耦合都是線性的，能否得到非線性的可積耦合？2009年10月，第一作者訪問美國的馬文秀教授時，他也提到如何解決非線性可積耦合問題．經(jīng)過共同努力，通過對Lie代數(shù)的性質(zhì)由半單修改為單的形式，這一問題就得到了解決，馬教授創(chuàng)作了一篇離散的非線性可積耦合及有關(guān)性質(zhì)的論文，而研究者作了連續(xù)的可積系統(tǒng)的非線性可積耦合[10～11]．

從以上簡單分析發(fā)現(xiàn)，在探討可積耦合有關(guān)理論過程中，無不滲透著有意識到無意識再到有意識思維過程，其中的數(shù)學(xué)思想方法有特殊到一般、類比聯(lián)想、數(shù)學(xué)觀察等，思維過程總的來說是邏輯思維，根本就達(dá)不到直接猜出數(shù)學(xué)結(jié)果的直覺思維能力．只有像黎曼、龐加萊、高斯等大數(shù)學(xué)家才具有超凡的抽象直覺能力，他們在思維過程中避免使用語言（邏輯語言），甚至還避免使用代數(shù)符號或者任何其它固定符號，他們總是運(yùn)用模糊的意向思維．但也有的著名數(shù)學(xué)家習(xí)慣借助代數(shù)符號進(jìn)行思考．比如，著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞是完全用語言進(jìn)行思維的，他在寫給阿達(dá)瑪?shù)男偶姓f（《心理學(xué)》66頁）：“我相信，對于一個問題的關(guān)鍵性思想總聯(lián)系著一個恰當(dāng)?shù)脑~或句子．這個詞或句子一經(jīng)出現(xiàn)，形勢即可明朗．如同你所說的，它給出了問題的全貌．語言可能略略超前于關(guān)鍵性思想，也可能緊緊跟隨于其后出現(xiàn)，也許可以大致地說，它們與關(guān)鍵性思想同時出現(xiàn)……一個好的詞或一個恰當(dāng)?shù)木渥樱梢詭椭一貞浧鹉莻€關(guān)鍵性的思想．當(dāng)然，這比起圖像或符號來，可能不那么直接和客觀．但在某種意義上，兩者相差無幾，它們都可以幫助我們把思想固定下來．”

一個新的理論的出現(xiàn)往往得不到一些數(shù)學(xué)工作者的承認(rèn)，甚至認(rèn)為是沒有意義的．在研究者發(fā)表一系列可積耦合結(jié)果后，就受到了一些人的非議．有人說：你在原來的方程基礎(chǔ)上再“貼”上一個方程有什么意義？這是無聊的工作．也有的人說：數(shù)學(xué)是越做越簡單，你怎么越做越復(fù)雜？這不符合數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律．因此，可積耦合一直受到國內(nèi)一些數(shù)學(xué)工作者的質(zhì)疑．但研究者堅(jiān)信這樣的工作是有意義的，因?yàn)檠芯空哒业搅艘粋€可積方程或方程族的“伴侶”一起構(gòu)成一個大的可積系統(tǒng)的方法，該可積系統(tǒng)不僅能約化出新的非線性可積方程而且是原來可積方程族的推廣；能利用可積耦合思想把一些著名的可積方程族，用一個統(tǒng)一的可積模型表示出來，比如研究者已經(jīng)將AKNS方程和KN方程族用一個數(shù)學(xué)模型表示出來；特別是還通過二次型恒等式得到了非常優(yōu)美的 Hamilton結(jié)構(gòu)，這些結(jié)果符合數(shù)學(xué)美中的對稱美、統(tǒng)一美．只要是美的，從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來看就是有意義的，因?yàn)閿?shù)學(xué)就是描述大自然的，而大自然就是美的．然而有些數(shù)學(xué)工作者，不懂?dāng)?shù)學(xué)美，進(jìn)一步說，不懂?dāng)?shù)學(xué)方法論，因此在他們看來只要是找不到實(shí)際應(yīng)用背景，所得到的數(shù)學(xué)結(jié)果就是沒有意義．其實(shí)這種看法真的是錯了，可積耦合后來還真的找到了物理和幾何背景．杰出青年獲得者著名物理學(xué)家樓森岳教授在研究大氣湍流過程中，就抽象出了一類數(shù)學(xué)模型，該模型正是一類可積耦合系統(tǒng)，他還求出了該可積耦合系統(tǒng)的一類對稱．杰出青年獲得者屈長征教授在幾何問題過程中，就抽象出了一類數(shù)學(xué)方程，該方程正是一類可積耦合系統(tǒng)．至此，研究者已經(jīng)知道了可積耦合系統(tǒng)的物理和幾何模型．相信，在未來的物理科學(xué)和數(shù)學(xué)科學(xué)的深入研究過程中，可積耦合模型會不斷涌現(xiàn)，而可積耦合理論也會隨之更加完善．

4 展 望

前面回顧了不同數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)直覺有關(guān)概念的論述，雖說敘述方式和角度不同，但最終是殊途同歸．另外，對于數(shù)學(xué)直覺的產(chǎn)生、作用也作了闡述，并通過個人科研體會簡述了數(shù)學(xué)思維過程．對于數(shù)學(xué)直覺的研究除了阿達(dá)瑪?shù)摹缎睦韺W(xué)》外，徐利治先生在《方法》中有兩篇論文專門論述了數(shù)學(xué)直覺的意義及作用、數(shù)學(xué)直覺與聯(lián)想對學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的作用，深受啟發(fā)，但領(lǐng)悟得還不夠，需要繼續(xù)研讀．在今后的有關(guān)研究中，研究者將結(jié)合大學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容，探討數(shù)學(xué)直覺在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)創(chuàng)新方面的積極作用，目標(biāo)是：不僅教會學(xué)生知識也要教方法、教思維．按照徐利治先生的觀點(diǎn)，就是讓學(xué)生既看到樹木也要看到森林（教學(xué)方面）；按照著名數(shù)學(xué)家希爾伯特的觀點(diǎn)，就是（《方法》71頁）“了解一種理論的最好方法是找出然后是研究那種理論的原型的具 體例子”（科研方面）．

[1]徐利治，徐瀝泉．MM教育方式簡介[J]．自然雜志，2008，（3）：138-142．

[2]顧沛．為什么數(shù)學(xué)文化課程能夠“一呼而起，久盛不衰”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2014，23（6）：4-6．

[3]Fuchssteiner B.Applications of Analytic and Geometric Methods to Nonlinear Differential Equations[M]. Dordrecht: Kluwer, 1993.

[4]Ma Wen-Xiu. Integrable Couplings of Solution Equations by Perturbation [J].Methods Appl. Anal., 2000, (7): 21-56.

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Brief Discussion of the Roles of Mathematical Intuition

ZHANG Yu-feng1, ZHI Hong-yan2, FU Xi-lian3
(1. College of Sciences, China University of Mining and Technology, Jiangsu Xuzhou 221116, China; 2. College of Sciences, China University of Petroleum (East China), Shandong Qingdao 266580, China; 3. School of Sciences, Shandong University of Technology, Shandong Zibo 255014, China)

First of all, we recall some related concepts on the mathematical intuition. Then brief discussion on the mathematical intuition of Poincare, Hadamard and Xu Lizhi is showed, and further we give comparisons among them. We emphasize the different viewpoints on generation of the mathematical intuition, which is that mathematical observations, mathematical inductions, analogues and associations can generate the mathematical intuition, and the unconscious mind can also produce the mathematical intuition. We also point out that a common view of mathematicians that the mathematical intuition can be trained. We propose the training ways of the mathematical intuition, combined with some views of Hadamard, Poincare and Xu Lizhi, from which the general principle of mathematical creations for mathematical teachers to train students is proposed. We also present some puzzle mysteries of the mathematical intuition of some great mathematicians, and we give our viewpoints of the puzzles. Finally, we show the cycle-mind course from consciousness to the unconscious and again to consciousness, combined with our mathematical study. Some mathematical methodologies from the above course are discovered.

mathematical intuition; unconscious; mathematical creation

G424

A

1004–9894（2017）01–0082–06

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2016–10–16

張玉峰（1963—），男，山東泰安人，教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育研究．