黃友初

（南京師范大學(xué) 課程與教學(xué)研究所，江蘇 南京 210097）

數(shù)學(xué)史對(duì)職前教師教學(xué)知識(shí)影響的質(zhì)性研究
——以無(wú)理數(shù)的教學(xué)為例

黃友初

（南京師范大學(xué) 課程與教學(xué)研究所，江蘇 南京 210097）

教學(xué)知識(shí)是教師特有的專業(yè)知識(shí)，對(duì)教師的教學(xué)有著重要的影響．以無(wú)理數(shù)的教學(xué)為例，研究數(shù)學(xué)史對(duì)職前教師教學(xué)知識(shí)的影響．研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史能提升職前教師的無(wú)理數(shù)教學(xué)知識(shí)．在學(xué)科內(nèi)容知識(shí)方面，數(shù)學(xué)史能幫助職前教師了解無(wú)理數(shù)和其它知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，了解無(wú)理數(shù)及其名稱的由來(lái)．而數(shù)學(xué)史對(duì)職前教師教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的影響更大，能幫助職前教師更準(zhǔn)確地判斷學(xué)生的思維過(guò)程，更好地把握教學(xué)的重難點(diǎn)，使得教學(xué)設(shè)計(jì)變得更加合理．

數(shù)學(xué)史；教學(xué)知識(shí)；無(wú)理數(shù)

1 研究背景

教師是一項(xiàng)專業(yè)性較強(qiáng)的職業(yè)，教師有效教學(xué)所需要的知識(shí)是教師的專業(yè)知識(shí)，可稱為教師教學(xué)知識(shí)或者教師知識(shí)，它有別于一般的學(xué)科知識(shí)，是教師職業(yè)專業(yè)化的必備特質(zhì)．以數(shù)學(xué)為例，一般學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)的人只要能理解并運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)即可，但作為數(shù)學(xué)教師除了需要掌握這些學(xué)科知識(shí)以外，還需要了解并掌握該知識(shí)點(diǎn)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是什么，學(xué)生最容易出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤，該怎么教最適合學(xué)生的學(xué)習(xí)，知識(shí)點(diǎn)與學(xué)生已掌握的知識(shí)之間有怎樣的聯(lián)系，該知識(shí)點(diǎn)需要講到什么深度即可，等等，這些都屬于教師教學(xué)知識(shí)的范疇．知識(shí)是個(gè)體的核心特質(zhì)，教師的教學(xué)知識(shí)直接影響著教師的教學(xué)行為，提升教師的教學(xué)知識(shí)，對(duì)促進(jìn)教育的發(fā)展有著重要的價(jià)值．那么，哪些因素會(huì)影響教師的教學(xué)知識(shí)？教師教育中數(shù)學(xué)史課程的學(xué)習(xí)對(duì)教師的教學(xué)知識(shí)有著怎樣的影響？這些問(wèn)題目前還缺乏深入研究，這里將以無(wú)理數(shù)的教學(xué)為例，探索數(shù)學(xué)史對(duì)職前教師教學(xué)知識(shí)的影響．

2 理論基礎(chǔ)

在20世紀(jì)初期，就有學(xué)者關(guān)注教師的知識(shí)結(jié)構(gòu)和知識(shí)深度對(duì)教師教學(xué)的影響，并開(kāi)始探討教師的有效教學(xué)都需要具備哪些知識(shí)[1]．在早期，學(xué)者們都意識(shí)到教師所具備的學(xué)科知識(shí)對(duì)教師的教學(xué)會(huì)產(chǎn)生直接的影響．有學(xué)者研究表明，教師的學(xué)科知識(shí)與學(xué)生的學(xué)業(yè)成就在一定程度內(nèi)（例如幾門課程內(nèi)）具有正相關(guān)性[2]；也有學(xué)者研究表明，教師的學(xué)科知識(shí)越多，教學(xué)越有效，與其它知識(shí)的聯(lián)結(jié)也越多[3]．但是，學(xué)科知識(shí)并不等價(jià)于教學(xué)知識(shí)，并不意味著教師掌握的學(xué)科知識(shí)越高深，教學(xué)效果就一定會(huì)越好，這點(diǎn)從很多一流數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)教學(xué)方面并不擅長(zhǎng)就可以看出．在對(duì)教師教學(xué)所需要的知識(shí)進(jìn)行深入探索后，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)除了學(xué)科知識(shí)影響教師的教學(xué)以外，有關(guān)教學(xué)方法的知識(shí)也會(huì)影響教師的教學(xué)，并在教學(xué)中扮演著重要的角色．甚至有學(xué)者認(rèn)為，怎么教比教什么更為重要[4]；也有學(xué)者認(rèn)為有關(guān)教學(xué)方法的知識(shí)是教師教學(xué)知識(shí)的核心[5]．在美國(guó)學(xué)者Shulman提出PCK的概念以后，人們逐漸開(kāi)始從學(xué)科知識(shí)和教學(xué)方法的知識(shí)兩個(gè)方面對(duì)教師知識(shí)進(jìn)行了研究，也提出了很多種教學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)模型．其中美國(guó)學(xué)者Ball所提出的MKT模型，近年來(lái)受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注．該模型基于扎根理論，將教師教學(xué)知識(shí)分為學(xué)科內(nèi)容知識(shí)（SMK）和教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（PCK）兩個(gè)部分．其中學(xué)科內(nèi)容知識(shí)又分為一般內(nèi)容知識(shí)（CCK）、專門內(nèi)容知識(shí)（SCK）、水平內(nèi)容知識(shí)（HCK）3個(gè)方面；教學(xué)內(nèi)容知識(shí)分為內(nèi)容與學(xué)生的知識(shí)（KCS）、內(nèi)容與教學(xué)的知識(shí)（KCT）、內(nèi)容與課程的知識(shí)（KCC）3個(gè)部分[6]，具體如圖1所示．由于該模型和教師教學(xué)的特點(diǎn)比較吻合，能從“教什么”和“怎么教”兩個(gè)方面闡述教師有效教學(xué)所需要的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在教學(xué)知識(shí)的研究中得到較為廣泛的運(yùn)用．研究將以MKT模型為依據(jù)，分析教師教學(xué)知識(shí)的變化情況．

圖1 MKT結(jié)構(gòu)圖

數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的影響已有較多的研究，也有很多學(xué)者探討了數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教師的影響[7]，數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響[8]，以及數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的各種策略[9]．但是從教學(xué)知識(shí)的視角，探討數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教師教學(xué)影響的研究還不多．鑒于教學(xué)知識(shí)的重要性和數(shù)學(xué)史的教育性，有必要對(duì)數(shù)學(xué)史和教師教學(xué)知識(shí)的聯(lián)系進(jìn)行研究分析．

在無(wú)理數(shù)的教學(xué)中，如何讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)和接受無(wú)理數(shù)，是教師在教學(xué)中面臨的困難之一．之所以會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象，有其必然性．因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)以前，學(xué)生所接觸到的基本都是有限的世界，所學(xué)的概念都有著較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)背景；而無(wú)理數(shù)涉及到了無(wú)限的現(xiàn)象，要讓學(xué)生更好地理解無(wú)理數(shù)的概念，教師需要在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生無(wú)限的意識(shí)．從知識(shí)點(diǎn)的歷史發(fā)展看，學(xué)生有這種困境也是必然的．無(wú)理數(shù)從出現(xiàn)，到被廣泛接受，歷經(jīng)了一千多年的時(shí)間，根據(jù)人類學(xué)習(xí)的歷史相似性，知識(shí)形成經(jīng)歷如此漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程，要讓學(xué)生在短短的一節(jié)課中接受和理解它是十分困難的．目前，已有很多學(xué)者對(duì)無(wú)理數(shù)的教學(xué)進(jìn)行了研究，有教師介紹了自己的無(wú)理數(shù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)[10]，也有教師指出無(wú)理數(shù)教學(xué)所存在的幾種誤區(qū)[11]．有學(xué)者研究表明，學(xué)生雖然對(duì)無(wú)理數(shù)的形式定義掌握較好，但是存在概念表象比較單一、直覺(jué)與形式知識(shí)不一致、直覺(jué)與運(yùn)算法則不一致等不足[12]．也有研究表明，職前教師對(duì)無(wú)理數(shù)和有理數(shù)的個(gè)數(shù)的理解比較弱[13]．在無(wú)理數(shù)的教學(xué)方面，有學(xué)者從定義、概念等7個(gè)方面對(duì)無(wú)理數(shù)的教學(xué)提出了建議[14]，也有研究表明可以用數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史來(lái)幫助教師改進(jìn)無(wú)理數(shù)教學(xué)[15]．

由此可見(jiàn)，雖然在無(wú)理數(shù)的教與學(xué)方面已有較多的研究，但是對(duì)于無(wú)理數(shù)教學(xué)中所需要的教師知識(shí)，以及影響因素有哪些還缺乏研究．這里就無(wú)理數(shù)的發(fā)展歷史對(duì)職前教師教學(xué)知識(shí)的影響情況進(jìn)行分析．

3 研究過(guò)程與結(jié)果

3.1 研究方法與過(guò)程

不同的研究目的，需要不同的研究方法．一般來(lái)說(shuō)，量化研究可以用來(lái)解決“是什么”的問(wèn)題，而在研究“為什么”和“怎么樣”方面，質(zhì)性研究更適合[16]．鑒于教學(xué)知識(shí)的內(nèi)蘊(yùn)性和復(fù)雜性，難以通過(guò)合適的量表來(lái)測(cè)量教師的教學(xué)知識(shí)，因此采用質(zhì)性研究會(huì)更為清晰地了解教師內(nèi)心的變化過(guò)程．在研究對(duì)象方面，從某高師院校的三年級(jí)數(shù)學(xué)師范生中隨機(jī)選取 10位進(jìn)行研究，在研究中分別用 PT1-PT10表示．由于研究者即為數(shù)學(xué)史課程的授課教師，因此也屬于行動(dòng)研究的范疇，研究者將通過(guò)數(shù)學(xué)史課堂內(nèi)外的觀察，更好地了解職前教師教學(xué)知識(shí)的變化情況．

研究過(guò)程可分為5個(gè)步驟：

（1）要求職前教師在微格教室，對(duì)浙教版七年級(jí)上冊(cè)3.2實(shí)數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行模擬教學(xué)（1課時(shí)），并提交教學(xué)視頻和教學(xué)設(shè)計(jì)．

（2）隨后，研究者向他們介紹了無(wú)理數(shù)的發(fā)展歷史，包括從公元前 Pythagoras學(xué)派發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)，到 Eudoxus和Archytas的新比例理論；從西方學(xué)者對(duì)無(wú)理數(shù)的排斥到東方學(xué)者對(duì)無(wú)理數(shù)的巧妙處理；從近代部分西方學(xué)者開(kāi)始逐步接受無(wú)理數(shù)，到Weierstrass、Meray、Dedekind和Cantor等數(shù)學(xué)家所建立的無(wú)理數(shù)理論．以及無(wú)理數(shù)名詞的由來(lái)，無(wú)理數(shù)教與學(xué)的現(xiàn)狀，并向他們展示了若干數(shù)學(xué)史融入無(wú)理數(shù)教學(xué)的案例．

（3）在了解無(wú)理數(shù)的發(fā)展歷史后，職前教師對(duì)原先自己的模擬教學(xué)進(jìn)行反思．

根據(jù)地質(zhì)情況及結(jié)合以往施工經(jīng)驗(yàn)，采用CZ-8B型沖擊鉆機(jī)鉆劈成槽，采用先Ⅰ序槽段的施工方法。在同一槽段內(nèi)，先施工單號(hào)主孔，后施工雙號(hào)副孔，主孔、副孔采用圓套方式劈打成槽。槽段造孔工作結(jié)束后，對(duì)造孔質(zhì)量進(jìn)行全面檢查驗(yàn)收（包括孔位、孔深、孔徑、孔斜等），檢查合格后進(jìn)行清槽換漿工序。

（4）反思過(guò)后，職前教師對(duì)原先的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行修改，并再次進(jìn)行模擬上課，以及撰寫(xiě)自己的心得體會(huì)．

（5）最后，研究者對(duì)職前教師逐一進(jìn)行訪談，訪談的主要目的是為了解他們的無(wú)理數(shù)教學(xué)知識(shí)是否出現(xiàn)了變化？有什么變化？這些變化是否屬于數(shù)學(xué)史的影響？等等．訪談過(guò)程結(jié)合他們的模擬教學(xué)視頻和教學(xué)設(shè)計(jì)，以幫助訪談?wù)哌M(jìn)行刺激回憶．

3.2 研究結(jié)果

通過(guò)對(duì)職前教師的訪談，以及他們前后兩次教學(xué)視頻和教學(xué)設(shè)計(jì)的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，職前教師在了解無(wú)理數(shù)發(fā)展歷史前后教學(xué)知識(shí)的變化情況存在較強(qiáng)的一致性，但是在變化強(qiáng)度方面存在較大的區(qū)別，具體變化情況如表1所示．

表1 職前教師學(xué)科內(nèi)容知識(shí)變化情況

（1）數(shù)學(xué)史對(duì)教師學(xué)科內(nèi)容知識(shí)的影響．

從表1可以看出，數(shù)學(xué)史對(duì)職前教師無(wú)理數(shù)教學(xué)的一般內(nèi)容知識(shí)（CCK，主要指學(xué)科的本體性知識(shí)）和專門內(nèi)容知識(shí)（SCK，指分析和解釋學(xué)科內(nèi)容的知識(shí)，包括掌握多種解題方法、能解釋解題過(guò)程、分析錯(cuò)誤原因等）有所影響，但變化不大．例如有部分職前教師是通過(guò)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，才知道了可以用反證法來(lái)證明 2是無(wú)理數(shù)；也有部分教師通過(guò)數(shù)學(xué)史才了解無(wú)限不循環(huán)和兩數(shù)不可比之間的聯(lián)系．當(dāng)然，也有部分教師是在這之前就知道了．相比較而言，在無(wú)理數(shù)教學(xué)的水平內(nèi)容知識(shí)（HCK）方面，職前教師的變化更大一些．

教師的水平內(nèi)容知識(shí)指教師能用聯(lián)系的視角看待數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)概念在不同階段的發(fā)展情況．在接觸實(shí)數(shù)數(shù)學(xué)史知識(shí)前，職前教師對(duì)實(shí)數(shù)的認(rèn)識(shí)還是孤立的．例如在教學(xué)的開(kāi)始階段，他們一般就會(huì)向?qū)W生介紹什么是無(wú)理數(shù)，進(jìn)而用大量的時(shí)間來(lái)說(shuō)明實(shí)數(shù)的分類，如何在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)等練習(xí)性內(nèi)容．而在了解了無(wú)理數(shù)的發(fā)展過(guò)程以后，職前教師改變了這種認(rèn)識(shí)，他們從歷史中知道了無(wú)理數(shù)概念的產(chǎn)生是社會(huì)發(fā)展的必要、無(wú)理數(shù)名稱的由來(lái)、歷史上無(wú)理數(shù)的各種定義、無(wú)理數(shù)和有理數(shù)個(gè)數(shù)的比較等，并都意識(shí)到只有從根本上理解了無(wú)限不循環(huán)，才能更好地理解無(wú)理數(shù)．從職前教師的訪談和教學(xué)反思中可證明他們的這種變化．

由此可看出，通過(guò)對(duì)無(wú)理數(shù)發(fā)展歷史的了解，職前教師知道了無(wú)理數(shù)存在的必要性，無(wú)限不循環(huán)的特點(diǎn)；了解了無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生除了需要有理數(shù)的知識(shí)基礎(chǔ)以外，還需要分割理論，等等．這些都說(shuō)明了，無(wú)理數(shù)的歷史幫助教師了解了無(wú)理數(shù)與其它知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，屬于水平內(nèi)容知識(shí)的范疇．

（2）數(shù)學(xué)史對(duì)教師教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的影響．

研究發(fā)現(xiàn)，與學(xué)科內(nèi)容知識(shí)相比，數(shù)學(xué)史對(duì)職前教師無(wú)理數(shù)教學(xué)的教學(xué)內(nèi)容知識(shí)有著更大的影響，尤其是在內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（KCT）和內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（KCS）這兩個(gè)方面．內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)是教師的數(shù)學(xué)知識(shí)與教學(xué)知識(shí)兩者的綜合體，具體體現(xiàn)在教師能根據(jù)不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)合適的教學(xué)方式，選取合適的例子和練習(xí)題．從研究情況看，在數(shù)學(xué)史課程前，職前教師大多都是嚴(yán)格按照教材上的順序進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)教學(xué)方式的優(yōu)缺點(diǎn)也沒(méi)有深入的思考．但是在了解了相關(guān)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容后，他們都意識(shí)到無(wú)理數(shù)的發(fā)展不是一蹴而就的，是在長(zhǎng)期的發(fā)展中逐步完善的．因此教學(xué)的設(shè)計(jì)不能過(guò)于簡(jiǎn)單，而應(yīng)該由易到難逐步遞進(jìn)，需要對(duì)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)做更多的設(shè)計(jì)．因此，都在新的教學(xué)設(shè)計(jì)中增加了例子，或者具有數(shù)學(xué)文化背景的教學(xué)內(nèi)容．教學(xué)中不僅更加重視了對(duì)學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)必要性的強(qiáng)調(diào)，還針對(duì)學(xué)生可能存在的疑慮進(jìn)行了強(qiáng)化．例如，在研究中職前教師發(fā)現(xiàn)，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)這一論述的理解是教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)“無(wú)限”過(guò)程中是否一直都會(huì)“不循環(huán)”會(huì)存有疑慮．因此在后期的教學(xué)中，多數(shù)職前教師融入了阿基米德的反證法，用較為通俗的語(yǔ)言向?qū)W生介紹了是無(wú)理數(shù)的證明過(guò)程．這不僅可以很好地消除學(xué)生的疑慮，突破教學(xué)難點(diǎn)，也在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．

內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)是教師關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)和知識(shí)基礎(chǔ)，以及所教學(xué)的知識(shí)點(diǎn)的類型、難度等方面的綜合體，包括教師能估計(jì)學(xué)生可能的想法，可能遇到的困難等方面的知識(shí)．在了解無(wú)理數(shù)的歷史以前，職前教師的教學(xué)設(shè)計(jì)較為單一，教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)過(guò)程大多以教科書(shū)為參照。在簡(jiǎn)單演示的無(wú)限循環(huán)性后，提出了無(wú)理數(shù)的概念，然后做練習(xí)．訪談表明，職前教師之所以這么設(shè)計(jì)，是因?yàn)樗麄冇X(jué)得無(wú)理數(shù)概念比較簡(jiǎn)單，學(xué)生應(yīng)該能會(huì)比較容易理解．但是，在了解了無(wú)理數(shù)的相關(guān)歷史以后，職前教師意識(shí)到無(wú)理數(shù)是經(jīng)歷了一千多年才被大家所接受，要學(xué)生很快理解無(wú)限不循環(huán)的含義是比較困難的，有必要減緩教學(xué)的坡度，增加理解性的內(nèi)容或題目，此舉讓他們的教學(xué)設(shè)計(jì)更加合理．職前教師的訪談和教學(xué)反思都證明了他們的這一變化過(guò)程．

例如 PT4認(rèn)為，原來(lái)對(duì)教學(xué)想的太簡(jiǎn)單了，以為用課本那個(gè)表格，可以讓學(xué)生理解就是無(wú)限不循環(huán)的，從而接受無(wú)理數(shù)的概念，現(xiàn)在看來(lái)這種方式可能不太行，即使學(xué)生不反對(duì)無(wú)限不循環(huán)這種說(shuō)法，他們的認(rèn)知里并沒(méi)有真正理解這一過(guò)程；PT2認(rèn)為，原來(lái)把學(xué)生想的太理想化了，認(rèn)為他們應(yīng)該很快就能接受無(wú)理數(shù)的概念，現(xiàn)在看看無(wú)理數(shù)被人接受經(jīng)歷了如此長(zhǎng)期曲折的過(guò)程，要讓學(xué)生很快理解無(wú)限不循環(huán)就太不現(xiàn)實(shí)了，應(yīng)該設(shè)置一些情境，用例子來(lái)輔助說(shuō)明，最重要的是要把無(wú)限不循環(huán)的這個(gè)特點(diǎn)講得清楚；PT6認(rèn)為，原來(lái)的教學(xué)設(shè)計(jì)即使學(xué)生課堂上知道了什么是無(wú)理數(shù)，也屬于死記硬背，缺乏理解很快就會(huì)忘記的，從歷史中可得知要學(xué)生理解無(wú)理數(shù)的概念，應(yīng)該讓學(xué)生充分地理解無(wú)理數(shù)的無(wú)限不循環(huán)，而不能簡(jiǎn)單地拋出概念，然后要求他們不停地計(jì)算、解題．

由此可看出，職前教師從無(wú)理數(shù)的發(fā)展歷史中得到了借鑒，對(duì)無(wú)理數(shù)的教學(xué)有了更深刻的認(rèn)識(shí)，認(rèn)為對(duì)于無(wú)理數(shù)的概念不能簡(jiǎn)單地一筆帶過(guò)，應(yīng)該創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生充分地理解無(wú)限不循環(huán)的過(guò)程．可以說(shuō)，數(shù)學(xué)史對(duì)職前教師無(wú)理數(shù)的教學(xué)內(nèi)容知識(shí)產(chǎn)生了較大的影響．

但是，研究中也發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史對(duì)個(gè)別職前教師（PT7）的內(nèi)容與課程知識(shí)（KCC）產(chǎn)生了負(fù)面的影響．內(nèi)容與課程知識(shí)指教師要了解數(shù)學(xué)內(nèi)容在不同年級(jí)的課程中的出現(xiàn)順序以及難度等信息的知識(shí)．無(wú)理數(shù)的發(fā)展史上，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯定理后，發(fā)現(xiàn)了直角邊為1的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)度無(wú)法表示成兩個(gè)數(shù)之比，導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生．受到這段歷史的影響，研究者發(fā)現(xiàn)有職前教師利用勾股定理引出無(wú)理數(shù)，這與教材中內(nèi)容出現(xiàn)的次序是相悖的．因?yàn)樵诮滩闹?，學(xué)生是先接觸無(wú)理數(shù)，此后才學(xué)習(xí)勾股定理的知識(shí)．由于歷史和課程教學(xué)內(nèi)容的安排并不是完全不一致的，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史對(duì)個(gè)別職前教師無(wú)理數(shù)的內(nèi)容與課程知識(shí)有了負(fù)面的影響．由此可看出，數(shù)學(xué)史對(duì)教師教學(xué)知識(shí)的影響也可能是負(fù)面的，尤其是在知識(shí)點(diǎn)的歷史發(fā)展順序和知識(shí)點(diǎn)在教科書(shū)中出現(xiàn)的次序不一致的時(shí)候．

4 研究結(jié)論

通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)史對(duì)職前教師無(wú)理數(shù)教學(xué)的學(xué)科內(nèi)容知識(shí)有影響，但是幅度不大．對(duì)一般內(nèi)容知識(shí)沒(méi)什么影響，在專門內(nèi)容知識(shí)方面雖然有所促進(jìn)，例如能正確的解釋并證明是無(wú)理數(shù)，但是還不能認(rèn)為其有本質(zhì)上的提升．只在水平內(nèi)容知識(shí)方面有了一些提升，主要表現(xiàn)為了解了無(wú)理數(shù)和有理數(shù)的名詞來(lái)源，能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待無(wú)理數(shù)知識(shí)，也了解了無(wú)理數(shù)和高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，但是幅度還不大．

而數(shù)學(xué)史對(duì)職前教師無(wú)理數(shù)教學(xué)的教學(xué)內(nèi)容知識(shí)有了較大提升，尤其是在內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)和內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)這兩個(gè)方面．這主要體現(xiàn)在，職前教師從無(wú)理數(shù)的發(fā)展歷史中意識(shí)到知識(shí)點(diǎn)是經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展才逐步完善，才逐步被人所接受，學(xué)生要理解無(wú)理數(shù)不會(huì)那么容易，應(yīng)該在概念的呈現(xiàn)中優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境、展示不同例子，或者增加具有數(shù)學(xué)文化背景的內(nèi)容，讓學(xué)生更好地理解無(wú)理數(shù)，而不是簡(jiǎn)單地引出概念后重復(fù)各種課堂練習(xí)．研究還發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史對(duì)個(gè)別教師無(wú)理數(shù)的內(nèi)容與課程知識(shí)產(chǎn)生了一些負(fù)面影響，這主要是由于教材中知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)的次序和歷史發(fā)展不完全一致引起的，后續(xù)研究需要引起重視．但是這點(diǎn)并不能掩蓋無(wú)理數(shù)的發(fā)展歷史有助于提升職前教師的無(wú)理數(shù)教學(xué)知識(shí)這一研究結(jié)論．

從研究中可看出，了解知識(shí)點(diǎn)的歷史，教師不僅可以擴(kuò)大知識(shí)面，加深學(xué)科知識(shí)的理解，還可以從知識(shí)點(diǎn)的歷史發(fā)展中，更好地判斷學(xué)生接受知識(shí)點(diǎn)的難易度，從而讓教學(xué)設(shè)計(jì)更加合理．一些歷史素材可以直接或者間接作為教學(xué)素材呈現(xiàn)給學(xué)生，提升課堂的文化品味．?dāng)?shù)學(xué)史是一座大寶藏，如果認(rèn)為數(shù)學(xué)史僅僅是可以讓教師在課堂教學(xué)中講一些數(shù)學(xué)故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這種認(rèn)識(shí)是十分片面和狹隘的．研究表明，數(shù)學(xué)史可以提升教師的教學(xué)知識(shí)，促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展．讓教師的教學(xué)更有自信，也能更好地實(shí)現(xiàn)“立德樹(shù)人”的教育目的．研究也說(shuō)明了，在教師教育中開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史課程，從教學(xué)的視角向職前教師闡述數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史是十分有必要的．

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Qualitative Study on the Influence of the History of Mathematics on Pre-Service Teachers’ Teaching Knowledge——A Case of the Irrational Number’s Teaching

HUANG You-chu
(Institute of Curriculum and Instruction, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

Teaching knowledge is teachers’ professional knowledge, has big implications for teachers’ teaching. In this study, research the influence of the history of mathematics on teachers’ teaching knowledge as the case of the irrational number. The study found that the history can improve pre-service teachers’ teaching knowledge. In subject matter knowledge, the history of mathematics can help pre-service teacher know more knowledge about the irrational number. The history of mathematics has more influence on the pre-service teachers’ pedagogical content knowledge, let them know student’s thinking more accurately, better judge the focus and difficulty of teaching, and make the teaching design more reasonable.

the history of mathematics; teaching knowledge; irrational number

G650

A

1004–9894（2017）01–0094–04

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2016–10–10

江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目（PAPD）；教育部人文社科項(xiàng)目——數(shù)學(xué)師范生教學(xué)知識(shí)發(fā)展研究（14YJC880022）

黃友初（1978—），男，浙江溫州人，副教授，南京師范大學(xué)教育學(xué)博士后流動(dòng)站博士后，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．