【摘要】 常數(shù)變易法是求解常微分方程比較重要的一種。本文通過求解一階線性非齊次微分方程的例子對(duì)常數(shù)變易法進(jìn)行探討，進(jìn)而揭示常數(shù)變易法的實(shí)質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】常數(shù)變易法 微分方程

Variation of constants method on the teaching

Zhou Shouming

（College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China）

【Abstract】Constant variation method is one of the more important methods to solve the differential equation.We study constant variation method through solving inhomogeneous linear differential equations，and then revealing the essence of this method.

【Keywords】Variation of constants method； ODE

【基金項(xiàng)目】國(guó)家自然科學(xué)基金（No.11301573）。

【中圖分類號(hào)】O175.1-4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）08-0016-01

十八、九世紀(jì)數(shù)學(xué)家采用各種特殊的技巧求解不同的方程，不斷探索而產(chǎn)生的解常微分方程的數(shù)學(xué)理論。常數(shù)變易法是由伯努利首先提出，歐拉和拉格朗日推廣并沿用至今的解微分方程的特殊的技巧。常數(shù)變易法是將對(duì)應(yīng)齊次方程的通解中的常數(shù)變易為一個(gè)待定函數(shù)，代入原非齊次ODE求出待定函數(shù)，進(jìn)而得到非齊次方程的通解。實(shí)質(zhì)上是一種變量變換的思想。在許多教材中對(duì)常數(shù)變易法根本就沒有相關(guān)的說明或論述，只是強(qiáng)調(diào)了如何套用其結(jié)果去計(jì)算。這使得學(xué)生在學(xué)習(xí)求解微分方程時(shí)感到十分困惑，特別是方法中把任意常數(shù)c變易成待定函數(shù)c（x）從而求得非齊次線性微分方程的通解，這更讓學(xué)生感覺疑惑，學(xué)生會(huì)感覺利用常數(shù)變易法求出的非齊次線性微分方程的通解公式不是很嚴(yán)謹(jǐn)，懷疑方程的通解是否唯一等等，因此，對(duì)常數(shù)變易法的教學(xué)就顯得尤為重要。下面通過例題就有關(guān)常數(shù)變易法求解一階線性非齊次微分方程的通解進(jìn)行探討[1，2]。

一、常數(shù)變易法步驟

利用常數(shù)變易法求解一階線性非齊次微分方程的步驟：

（1）求對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解；

（2）將常數(shù)c變易成待定函數(shù)c（x）得到原方程的解；

（3）代入原方程得到；

（4）通過積分求得；

（5）得到原方程通解。

二、應(yīng)用舉例

例 求方程的通解。

解法一 易解得原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程

， （1）

的通解為（c為任意常數(shù)）， （2）

將（2）中任意常數(shù)c換成待定函數(shù)c（x），則

， （3）

對(duì)（3）兩邊求導(dǎo)后代入原方程化簡(jiǎn)得，（4）

對(duì)（4）兩邊積分得， （5）

將（5）代入（3）得原方程得通解為.

解法二 直接利用一階線性非齊次微分方程的通解公式得

亦即.

由于一階常微分方程的通解中只有一個(gè)任意常數(shù)，為了求原方程通解還需將上式代入原方程。代入原方程左邊得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程兩才邊相等，而這里c2與c3都是任意值，所以每次c2與c3的選取必須要保證的c2c3=1。

從解法1和解法2可以看到所求得一階線性非齊次微分方程的通解雖然形式不一樣，但最后結(jié)果是一致的。

三、教學(xué)總結(jié)

直接利用通解公式時(shí)要令所有積分常數(shù)為0，所得解才是原方程的通解。通解公式記憶起來比較復(fù)雜，對(duì)初學(xué)者可用1中的步驟來求解。常數(shù)變易法的實(shí)質(zhì)是想借形象直觀的方法來簡(jiǎn)化解一階線性非齊次微分方程的繁瑣步驟，其思想是化繁為簡(jiǎn)，退一步解決一個(gè)與原問題對(duì)應(yīng)的齊次ODE，然后將所得解進(jìn)行常數(shù)變異設(shè)為原問題的解，再根據(jù)題中條件求出待定函數(shù)。其中最重要的是領(lǐng)會(huì)常數(shù)變易法的思想，拓寬解決問題的思路。事實(shí)上，常數(shù)變易法在求解非齊次線性常微分方程中的作用還絕不僅僅局限于此，它在求解高階非線性常微分方程方面還有很大的研究?jī)r(jià)值[3，4]。

參考文獻(xiàn)：

[1]王高雄，周之銘等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]丁同仁，李承治.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.

[3]張青山，李鳳清.用常數(shù)變易法求一類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式[J]，四川師范教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009-11-09（9）：3-6.

[4]汪維剛.關(guān)于常數(shù)變易法求一階線性非齊次微分方程通解的兩點(diǎn)思考[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012-06-18（2）：4-5.

作者簡(jiǎn)介：

周壽明（1983-），男，湖北黃岡人，博士研究生，主要從事偏微分方程的研究。