李忠美，邊少鋒，紀(jì) 兵

(海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430033)

不同焦距的連續(xù)像對(duì)相對(duì)定向嚴(yán)密公式

李忠美，邊少鋒，紀(jì) 兵

(海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430033)

針對(duì)現(xiàn)有解算相對(duì)定向元素的公式通常用于具有相同焦距的立體像對(duì)這一現(xiàn)狀，為充分利用不同相機(jī)所拍攝的現(xiàn)有影像信息，以像點(diǎn)坐標(biāo)作為觀測(cè)量，給其加入改正數(shù)，借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)對(duì)共面方程進(jìn)行嚴(yán)格的線性化，推導(dǎo)出了適用于解算不同焦距立體像對(duì)相對(duì)定向元素的嚴(yán)密公式；最后，通過(guò)算例驗(yàn)證了該方法的正確性，可在一定程度上豐富攝影測(cè)量理論。

攝影測(cè)量；立體像對(duì)；相對(duì)定向；共面方程；線性化

立體像對(duì)的相對(duì)定向就是要恢復(fù)攝影時(shí)相鄰兩影像攝影光束的相互關(guān)系，一種是單獨(dú)像對(duì)相對(duì)定向，它采用兩幅影像的角元素運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)相對(duì)定向；另一種是連續(xù)像對(duì)相對(duì)定向，它以左影像為基準(zhǔn)，采用右影像的直線運(yùn)動(dòng)和角運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)相對(duì)定向[1-4]。多個(gè)連續(xù)模型的處理中通常采用連續(xù)法相對(duì)定向。在傳統(tǒng)的連續(xù)像對(duì)相對(duì)定向中，多考慮理想的情況，將角元素視為小角，因此大大簡(jiǎn)化了共面方程的線性化結(jié)果，得到近似的相對(duì)定向平差模型[5]。但是當(dāng)連續(xù)像對(duì)相對(duì)定向法用于航偏角大的長(zhǎng)航帶時(shí)，有可能會(huì)使后續(xù)像對(duì)的相對(duì)定向κ角偏大，以至于傳統(tǒng)的公式不能再使用。此時(shí)應(yīng)該考慮更嚴(yán)密的解法，將像點(diǎn)坐標(biāo)視為觀測(cè)量，如文獻(xiàn)[6—7]便將像點(diǎn)坐標(biāo)而非上下視差作為觀測(cè)量，給其加入改正數(shù)，對(duì)共面方程進(jìn)行嚴(yán)格的線性化，這種更嚴(yán)密的相對(duì)定向解法可適用于偏航角大的長(zhǎng)航帶。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于相對(duì)定向的研究多是針對(duì)同一航帶中的相同相機(jī)所拍攝的立體像對(duì)，即兩張像片具有相同的焦距[8-10]。實(shí)際上，隨著攝影測(cè)量影像獲取方式的多樣化[11-12]，覆蓋同一地區(qū)的影像并非僅來(lái)源于同一相機(jī)，此時(shí)需研究不同焦距情況下的相對(duì)定向方法,如文獻(xiàn)[13]將右片焦距作為待求參數(shù)，將相對(duì)定向元素個(gè)數(shù)增加至6個(gè)，然后通過(guò)將共面方程線性化，推導(dǎo)出了一種適用于可變焦距的相對(duì)定向公式，該公式適用于僅知一張像片焦距的情況。受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，為充分利用不同相機(jī)所拍攝的現(xiàn)有影像信息，豐富攝影測(cè)量理論，本文將在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出適用于解算不同焦距的連續(xù)像對(duì)相對(duì)定向元素的公式。

1 共面方程及其線性化

1.1 共面方程表示

(1)

式中

(2)

另外，由于旋轉(zhuǎn)矩陣通常表示為φ、ω、κ轉(zhuǎn)角系

統(tǒng)，如下

圖1 相對(duì)定向示意圖

(3)

將式(2)、式(3)代入式(1)中，可知共面方程中包含6個(gè)未知變量bX、bY、bZ、φ、ω、κ。由于bX僅影響相對(duì)定向模型大小，而不影響模型的建立，故可得相對(duì)定向元素為5個(gè)待求參數(shù)bY、bZ、φ、ω、κ。

1.2 共面方程線性化

AiV+BiX+F0i=0

(4)

可借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，推導(dǎo)出系數(shù)矩陣Ai、Bi中的各元素如下

2 最小二乘平差

2.1 計(jì)算過(guò)程

每對(duì)同名點(diǎn)可列1個(gè)形如式(4)的方程，由于相對(duì)定向元素為5個(gè)，當(dāng)有5對(duì)觀測(cè)點(diǎn)時(shí)即可列出5個(gè)方程，求出5個(gè)待求參數(shù)。為了保證精度，通常進(jìn)行多余觀測(cè)，然后借助最小二乘平差對(duì)其進(jìn)行解算。由于像點(diǎn)坐標(biāo)與相對(duì)定向元素同時(shí)作為模型中的未知量參與平差，故可根據(jù)附有參數(shù)的條件平差法[14-15]解算相對(duì)定向元素。主要步驟為：

(1) 記觀測(cè)權(quán)矩陣為P，為求出滿足VTPV=min的一組解，按求函數(shù)條件極值的方法，組成函數(shù)

(5)

式中，K是條件數(shù)。為求Φ的極小值，將其分別對(duì)V和X求一階導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，可得

(6)

(3) 將相對(duì)定向元素改正數(shù)與限差相比，若小于限差，則改正數(shù)與初始近似值之和即為相對(duì)定向元素的值。否則，重復(fù)步驟(2)、(3)。反復(fù)趨近，直至改正數(shù)小于限差。

2.2 精度評(píng)定

由于每對(duì)同名點(diǎn)可列1個(gè)形如式(4)的方程，而待求參數(shù)個(gè)數(shù)為5個(gè)，則必須觀測(cè)5對(duì)同名點(diǎn)可唯一確定待求參數(shù)。因此可根據(jù)文獻(xiàn)[15]，得單位權(quán)中誤差的估值

(7)

則所求相對(duì)定向元素的精度為

(8)

3 算例分析

為驗(yàn)證本文算法的正確性及可靠性，以下通過(guò)兩組算例對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證。其中，算例1和算例2采用的數(shù)據(jù)分別為不含與包含觀測(cè)噪聲的像對(duì)。數(shù)據(jù)如下：已知左、右像片(A為小航偏角像對(duì)、B為中航偏角像對(duì)、C為大航偏角像對(duì))的外方位元素真值見(jiàn)表1，在某區(qū)域范圍內(nèi)選取9個(gè)地面點(diǎn)見(jiàn)表2，利用共線方程，可分別計(jì)算它們?cè)谧?、右像片上?duì)應(yīng)的像點(diǎn)坐標(biāo)(認(rèn)為各像點(diǎn)坐標(biāo)為等精度觀測(cè))。

3.1 算例1(不含觀測(cè)噪聲像對(duì)的相對(duì)定向)

分別根據(jù)9對(duì)像點(diǎn)坐標(biāo)，令BX=200 m，可利用本文連續(xù)像對(duì)相對(duì)定向公式解算小航偏角、中航偏角、大航偏角像對(duì)的相對(duì)定向元素，并將結(jié)果列于表3。

由表3可以看出，在像點(diǎn)坐標(biāo)不含有觀測(cè)誤差時(shí)，利用本文方法分別對(duì)不同焦距的小航偏角、中航偏角、大航偏角像對(duì)進(jìn)行連續(xù)相對(duì)定向，解算結(jié)果與真值相比，差異可忽略不計(jì)。此外，由于文中將像點(diǎn)坐標(biāo)作為觀測(cè)量，且對(duì)相對(duì)定向元素的求導(dǎo)過(guò)程中不存在小角近似簡(jiǎn)化。因此，該方法理論嚴(yán)密，且可用于解算大航偏角像對(duì)的相對(duì)定向元素。

表1 像對(duì)的外方位元素值

表2 地面點(diǎn)坐標(biāo)值 m

表3 不含觀測(cè)噪聲連續(xù)像對(duì)的相對(duì)定向結(jié)果

3.2 算例2(含有觀測(cè)噪聲像對(duì)的相對(duì)定向)

分別為9對(duì)像點(diǎn)坐標(biāo)上加上0.5像素的量測(cè)誤差(像元大小為6 μm)，然后令BX=200 m，利用本文相對(duì)定向方法解算小航偏角、中航偏角、大航偏角像對(duì)的相對(duì)定向元素，并將結(jié)果列于表4。

表4 包含觀測(cè)噪聲連續(xù)像對(duì)的相對(duì)定向結(jié)果

由表4可以看出，在像點(diǎn)坐標(biāo)含有0.5像素誤差時(shí)，利用本文方法進(jìn)行連續(xù)像對(duì)相對(duì)定向元素解算時(shí)，與真值相比，小航偏角、中航偏角、大航偏角像對(duì)的相對(duì)定向角元素均可達(dá)到秒級(jí)精度，而小航偏角像對(duì)的相對(duì)定向線元素可達(dá)到毫米級(jí)精度，中航偏角、大航偏角像對(duì)的相對(duì)定向線元素具有厘米級(jí)精度。

綜上，本節(jié)利用兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)(不含與包含觀測(cè)誤差的像點(diǎn)坐標(biāo))，分別對(duì)不同焦距的小、中、大航偏角像對(duì)進(jìn)行相對(duì)定向元素解算，結(jié)果表明本文方法正確可靠且可適用于大航偏角像對(duì)。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文以像點(diǎn)坐標(biāo)作為觀測(cè)量，給其加入改正數(shù)，對(duì)共面方程進(jìn)行線性化，推導(dǎo)了適用于不同焦距的連續(xù)像對(duì)相對(duì)定向元素解算公式，可得出結(jié)論如下：

(1) 該公式是對(duì)共面方程進(jìn)行線性化而得，將像點(diǎn)坐標(biāo)與相對(duì)定向元素同時(shí)作為模型中的未知量參與平差，其函數(shù)模型為附有參數(shù)的條件平差法。

(2) 當(dāng)存在多于5對(duì)的同名像點(diǎn)時(shí)，可通過(guò)解算觀測(cè)量及待求參數(shù)的改正數(shù)后，反復(fù)迭代，趨近最終解。該方法在相對(duì)定向元素的求導(dǎo)過(guò)程中，不存在小角近似簡(jiǎn)化，理論嚴(yán)密。

(3) 該公式可適用于解算不同焦距像對(duì)的相對(duì)定向元素，可處理不同相機(jī)拍攝的像片，提高現(xiàn)有影像信息的利用率，在一定程度上豐富了攝影測(cè)量理論。

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Strict Solution to Relative Orientation of Successive Photo Pair with Different Focal Lengths

LI Zhongmei,BIAN Shaofeng,JI Bing

(Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Aiming at the status that mostly available methods for relative orientation are used for stereo images with the same focal length, in order to make full use of image information photographed by different cameras, with image point coordinates under correction, coplanarity equation is strictly linearized by computer algebra system, and strict solution for relative orientation of image pair with different focal lengths is carried out. Finally, the correctness of the formulae is verified by numerical examples. This method could enrich theories of photogrammetry to some degree.

photogrammetry; stereo images; relative orientation; coplanarity equation; linearization

李忠美，邊少鋒，紀(jì)兵.不同焦距的連續(xù)像對(duì)相對(duì)定向嚴(yán)密公式[J].測(cè)繪通報(bào)，2017(4)：35-38.

10.13474/j.cnki.11-2246.2017.0115.

2016-09-20；

2017-01-17

國(guó)家自然科學(xué)基金(41631072；41604010；41471387)

李忠美(1990—)，女，博士生，主要研究方向?yàn)閿z影測(cè)量理論算法。E-mail：15827116839@163.com

P23

A

0494-0911(2017)04-0035-04