程 瑋

江西省瑞金市第一中學(xué) (342500)

高考數(shù)學(xué)文化之祖暅原理例析

程 瑋

江西省瑞金市第一中學(xué) (342500)

在國(guó)家教育部考試中心發(fā)布的《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》中，特別強(qiáng)調(diào)了要增加對(duì)于數(shù)學(xué)文化的考查，數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分.考綱中此處的變化，有利于學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，從而提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí).本文主要介紹祖暅原理的內(nèi)容和來(lái)歷以及通過(guò)經(jīng)典例題加以分析.

1.祖暅原理的內(nèi)容和來(lái)歷

祖暅原理，又名等冪等積定理，內(nèi)容是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任何平面所截，如果截得兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中的球體積計(jì)算公式是錯(cuò)誤的，可惜他試了很多方法都沒(méi)有得出正確的結(jié)論.祖暅(著名數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子)沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方蓋”的理論進(jìn)行體積計(jì)算，得出“冪勢(shì)相同，則積不容異”的結(jié)論.“勢(shì)”即是高，“冪”是面積，終于將這個(gè)難題完美解決.

2.典例分析

解析：根據(jù)提示，一個(gè)半徑為1，高為2π的圓柱平放，一個(gè)高為2，底面面積8π的長(zhǎng)方體，這兩個(gè)幾何體與Ω放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個(gè)平行平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即Ω的體積值為π·12·2π+2·8π=2π2+16π．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精華，掌握必要的數(shù)學(xué)思想方法對(duì)我們?nèi)粘Ｉ钪蟹治龊徒鉀Q問(wèn)題大有裨益，這道題如果沒(méi)有祖暅原理的知識(shí)儲(chǔ)備的話可以說(shuō)是一道難題，基礎(chǔ)稍好的學(xué)生或許會(huì)掉入“割補(bǔ)法”(將右邊的半圓補(bǔ)到左邊的空白半圓中，組成一個(gè)矩形)的陷阱中.

例3 設(shè)由曲線x2=4y和直線x=4，y=0所圍成的平面圖形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為Γ1；由同時(shí)滿足x≥0，x2+y2≤16，x2+(y-2)2

≥4，x2+(y+2)2≥4的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成的平面圖形,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為Γ2.根據(jù)祖暅原理等知識(shí)，通過(guò)考察Γ2可以得到Γ1的體積為_(kāi)_______.

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線和圓作為載體將平面圖形旋轉(zhuǎn)后形成空間幾何體，重點(diǎn)考查了學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.確定截面位置和論證兩個(gè)截面面積相等是解題的關(guān)鍵.

由近五年的高考試題發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)文化因這些高考題而慢慢地進(jìn)入到高中數(shù)學(xué)課堂，這些試題也因傳播數(shù)學(xué)文化而成為經(jīng)典試題.可以預(yù)見(jiàn)，當(dāng)富有數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的高考題鮮活的出現(xiàn)，定會(huì)引領(lǐng)一線教師去挖掘和探究，繼而把數(shù)學(xué)文化教育漸漸地滲透到課堂教學(xué)中，最終實(shí)現(xiàn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”的預(yù)期目標(biāo)，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)育人的目的.