☉安徽省合肥市教育科學(xué)研究院 許曉天

☉安徽省合肥市第一中學(xué)吳建平

一道高三檢測(cè)試題的命制、解法和教學(xué)建議

☉安徽省合肥市教育科學(xué)研究院 許曉天

☉安徽省合肥市第一中學(xué)吳建平

合肥市2017年第二次高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)于3月25日至26日進(jìn)行，理科數(shù)學(xué)第21題第（2）問(wèn)引起了教師在各類(lèi)教研群內(nèi)廣泛討論.普遍認(rèn)為此問(wèn)題的題面與去年高考新課標(biāo)I卷21題第（2）問(wèn)相似，但按照高考題提供的解答方法，無(wú)法完成此檢測(cè)試題，這也是此次檢測(cè)合肥市沒(méi)有學(xué)生完整解答此題的重要原因.下面就此題的命制、解法以及對(duì)解題教學(xué)談?wù)劰P者的拙見(jiàn).

一、試題命制

（一）考題研究

已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2＜2.（2016年新課標(biāo)I理科試題）

解：（1）（解答略）.

（2）不妨設(shè)x1＜x2，由（1）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1， +∞），2-x2∈（-∞，1），（fx）在（-∞，1）上單調(diào)遞減.

所以x1+x2＜2等價(jià)于（fx1）＞（f2-x）2，即（f2-x2）＜0.

所以（f2-x2）=-x2e2-x2 -（x2-2）ex2

.

設(shè)g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，則g（′x）=（x-1）（e2-x-e）x.

所以當(dāng)x＞1時(shí)，g（′x）＜0，而g（1）=0，

故當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜0，

而g（x2）=（f2-x）2＜0，故x1+x2＜2.

研究結(jié)論：（1）試題的題目簡(jiǎn)潔，函數(shù)零點(diǎn)、不等式和取值范圍都是學(xué)生熟知的概念和內(nèi)容.（2）可以推廣為：若f（x1）=f（x2）（x1＜x2），證明：x1+x2＜2.證明：f（x1）＞f（2-x2），也即f（x2）＞f（2-x2），即（x2-2）ex2 +a（x2-1）2＞-x2e2-x2

+ a（1-x2）2，即-x2e2-x2 -（x2-2）ex2

＜0，以下證明相同.

（二）試題命制

命題要求：1.題面盡可能與高考題一樣簡(jiǎn)潔，可以是指數(shù)或?qū)?shù)與多項(xiàng)式函數(shù)的線性組合；2.第（1）問(wèn)有分類(lèi)討論滲透其中；3.第（2）問(wèn)命制與題干相關(guān)的問(wèn)題，類(lèi)似高考題中等函數(shù)值點(diǎn)或零點(diǎn)，但要求解法不可以直接仿照高考的方法，要用其他解法，旨在考查學(xué)生的創(chuàng)新思維；4.第（2）問(wèn)不設(shè)難度系數(shù)，啟示教師在二輪復(fù)習(xí)后期注重學(xué)生解題思維和方法的引導(dǎo)，避免按照“題型+方法”的套路進(jìn)行教學(xué).幾易其稿后，最后呈現(xiàn)試題如下：

已知f（x）=ln（x+m）-mx.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)m＞1，x1，x2為函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：x1+ x2＜0.（2017年合肥市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題）

二、問(wèn)題解答

針對(duì)第（2）問(wèn)，命題組提供了兩種解答，參考答案只給出了解法一：解法一：（1）（解答略）.

構(gòu)造函數(shù)g（x）=emx-x，則g（x）=emx-x與y=m圖像有兩交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1，x2，g′（x）=memx-1.

即證明f（-x1）＜0，即ln（-x1+m）+mx1＜0.又f（x1）=ln（x1+m）-mx1=0，所以ln（-x1+m）+ln（x1+m）＜0，即ln（m2-x21＜1.1）＜0.所以0＜m2-x2

所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故g（m）＞g（1）=0.

故x1+x2＜0成立.

三、教學(xué)建議

檢測(cè)考試結(jié)束后，合肥一中吳建平先生提供了第（2）問(wèn)另外一種證明的方法.

不妨設(shè)x1＜x2，則

令m+x1=t1，m+x2=t2，則lnt1=m（t1-m），lnt2=m（t2-m）.

此時(shí)欲證明x1+x2＜0，只要證明t1+t2＜2m.

因?yàn)閘nt1+lnt2=m（t1+t2-2m），且m＞1＞0，

所以只要證明ln（t1t2）＜0，即0＜t1t2＜1.

①若0＜t1＜t2＜1，則由g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減知，（*）式成立，此時(shí)0＜t1t2＜1.

②若t2＞t1＞1，則由g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增知，（*）式不成立.

故原命題成立.

其實(shí)，證明還有其他方法，這里不再贅述.那么為什么學(xué)生在考試的時(shí)候，思路就“堵塞”了呢？從學(xué)生試卷卷面上發(fā)現(xiàn)：許多學(xué)生套用去年高考題的做法，終因證得不等式，其不等號(hào)方向與欲證明的目標(biāo)不等式x1+x2＜0的方向不一致而無(wú)功而返.這也是許多教師研討的重點(diǎn)：直接利用原函數(shù)證明不行，參考答案提供的是把對(duì)數(shù)型函數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)型函數(shù)，從而順利解決，為什么這樣就可以了呢？針對(duì)以上疑問(wèn)，對(duì)今后的教學(xué)，特別是高三解題教學(xué)提出幾點(diǎn)建議：

1.注重內(nèi)容的本質(zhì)

由于教師在教學(xué)中過(guò)度使用“題型+方法”的解題教學(xué)方法，特別對(duì)高考試題中出現(xiàn)的問(wèn)題，解題方法的歸納和訓(xùn)練更是細(xì)致到位，乃至學(xué)生熟練到了“自動(dòng)化”的程度.因而，考試的時(shí)候，學(xué)生拿到問(wèn)題，沒(méi)有仔細(xì)分析，就按照套路做，導(dǎo)致中間過(guò)程出現(xiàn)了與套路不同的結(jié)果時(shí)，考生就無(wú)所適從，只好放棄.主要原因是教師教學(xué)中沒(méi)有抓住核心內(nèi)容的本質(zhì)，例如，解決此題的主要工具是導(dǎo)數(shù)，而導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是判斷函數(shù)增減性和增減速率.此題抓住了后者——增減速率，此問(wèn)題就容易解決.本題轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)的目的：改變定義域上極值點(diǎn)左右的速率，使得極值點(diǎn)右邊增加速率大于左邊減少速率，從而使得不等號(hào)方向改變，達(dá)到與所求證不等式x1+x2＜0的方向一致，再證明極值點(diǎn)為負(fù)值即可.不僅解題教學(xué)需要抓住問(wèn)題的本質(zhì)，其他教學(xué)，如概念、法則、公式和原理等課型，也要抓住其最本質(zhì)的要素，這樣才能夠事半功倍，顯著提高教學(xué)效率.

2.注重問(wèn)題的多解

從此題的解答也可以看出，考生利用自己的“經(jīng)驗(yàn)”在解題，出現(xiàn)了困難時(shí)，考生沒(méi)有辦法“另辟蹊徑”.也就是說(shuō)，教師在平時(shí)的解題教學(xué)中，一題多解做得不夠，特別是難度大的問(wèn)題，一題一解講清楚就不錯(cuò)了，甚至教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和能力，放棄了難題的解決，這也許是考生在考試中難題丟分的重要原因之一.其實(shí)，一題多解不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生能力，而且也是教師解題能力的重要體現(xiàn).同時(shí)，難題的多解產(chǎn)生的思維及方法對(duì)容易題的遷移有著不可估量的作用.這就要求教師要?dú)v練自己的解題能力，在高三后期的復(fù)習(xí)中，例如，全國(guó)課標(biāo)卷I的第12、16、20和21題，至少給出兩種以上的解法，這樣就可以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全方位思考的習(xí)慣，學(xué)生便可以對(duì)問(wèn)題生成多種思考的方式，在一種方法不能夠解決時(shí)，就立馬用另一種方法嘗試解決，而不至于出現(xiàn)一種方法受阻就束手無(wú)策的現(xiàn)象.

3.注重解題的路徑

所謂解題就是在條件和結(jié)論之間架起“橋梁”的過(guò)程，是由“因?yàn)椤焙汀八浴边B接起來(lái)的邏輯關(guān)系鏈，也就是解題的路徑.在教學(xué)中讓學(xué)生自己體悟解決問(wèn)題的三種思考方式：較容易解決的問(wèn)題由條件直接推導(dǎo)至結(jié)論的“直接法”、較難解決的問(wèn)題由結(jié)論尋求結(jié)論成立充分性直至題目條件的“分析法”和由條件推到中間結(jié)論與尋求結(jié)論成立的中間結(jié)論的“兩頭湊”的方法.對(duì)難度較大的問(wèn)題，大都利用“分析法”或“兩頭湊”的方法才可以解決.本文的解法二和解法三就是利用“分析法”和“兩頭湊”尋找解題路徑的典范.因此，在解決有一定難度的問(wèn)題，讓學(xué)生利用三種思考問(wèn)題的方式，以期尋找合理的解決路徑，直至完整解決問(wèn)題.

以上是合肥市2017年高三第二次檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題21題的命制、特別是第（2）問(wèn)解答和教學(xué)建議，旨讓教師在培養(yǎng)學(xué)生終生受益的“智力”上下工夫，而非“題型+方法”的機(jī)械訓(xùn)練.