☉廣州市真光中學(xué) 金 明 吳潤(rùn)文

讓探究成為高三微專題復(fù)習(xí)課的主旋律*
——以一節(jié)高三微專題復(fù)習(xí)課為例

☉廣州市真光中學(xué) 金 明 吳潤(rùn)文

一、問(wèn)題提出

在高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，為了突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，提升能力，常常在重點(diǎn)內(nèi)容開(kāi)設(shè)微專題復(fù)習(xí)課.微專題復(fù)習(xí)課涉及的教學(xué)內(nèi)容一般不多，它圍繞若干緊密相關(guān)的知識(shí)或確定的思想方法形成一個(gè)教學(xué)小專題，以具有一定綜合性的教學(xué)內(nèi)容為載體，以形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，產(chǎn)生對(duì)知識(shí)整體認(rèn)識(shí)為指向，以提升學(xué)生綜合運(yùn)用某些知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、提升能力為目的.由于微專題復(fù)習(xí)課具有操作靈活、指向性強(qiáng)，對(duì)提高學(xué)生能力有很好的實(shí)效性等特點(diǎn)，所以在高三教學(xué)中經(jīng)常被采用.

但在微專題教學(xué)實(shí)踐中，很多微專題課顯現(xiàn)出“目標(biāo)定位過(guò)大，過(guò)于追求綜合，過(guò)于追求容量與節(jié)奏，忽視動(dòng)態(tài)生成，問(wèn)題設(shè)計(jì)不夠合理，就題論題，思維含量過(guò)少”等問(wèn)題，導(dǎo)致教學(xué)效果不好，簡(jiǎn)單重復(fù)，沒(méi)有新意，學(xué)生興趣不高，學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性難以發(fā)揮.

如何使微專題復(fù)習(xí)課有效高效呢？筆者認(rèn)為應(yīng)該讓專題“微”起來(lái)，表現(xiàn)在選材上適合學(xué)生實(shí)際與考綱要求，突破學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)，“微”在難點(diǎn)突破；表現(xiàn)在教學(xué)過(guò)程上，“微”在精心預(yù)設(shè)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)成為探究的過(guò)程；表現(xiàn)在操作上，“微”在互動(dòng)生成，讓自探、互探、悟探融為一體.下面以微專題《拋物線的切線問(wèn)題》為例加以分析說(shuō)明.

二、微專題《拋物線的切線問(wèn)題》課堂教學(xué)實(shí)踐

教學(xué)前的思考：為什么將《拋物線的切線問(wèn)題》選材為一個(gè)微專題進(jìn)行教學(xué)？原因是《拋物線的切線問(wèn)題》關(guān)注了知識(shí)的交匯（拋物線的有關(guān)知識(shí)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)），它的切入點(diǎn)可以從直線與拋物線的位置關(guān)系（相切，用根的判別式解決），也可以用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問(wèn)題，到底如何選擇較好？對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn).同時(shí)此內(nèi)容適合學(xué)生的需求，學(xué)生對(duì)拋物線與導(dǎo)數(shù)知識(shí)有一定的了解，但對(duì)它們的聯(lián)結(jié)點(diǎn)、交匯點(diǎn)認(rèn)識(shí)不深刻，需要進(jìn)一步探討.同時(shí)本內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)，通過(guò)本內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

1.特例引入，降低起點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生探究興趣

引例：已知拋物線x2=4y，拋物線的準(zhǔn)線與y軸交點(diǎn)為P，若過(guò)P作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.

（1）求切線PA，PB的方程；

（2）求直線AB的方程.

（學(xué)生自主探究6分鐘后投影展示學(xué)生的解答過(guò)程）

生1：依題意得，拋物線準(zhǔn)線為y=-1，故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1）.

設(shè)PA的方程為y+1=kx，因它與拋物線x2=4y相切，

即方程x2=4（kx-1）有兩個(gè)相等實(shí)根.

所以Δ=（4k）2-16=0，即k=±1.

所以PA，PB的方程為y=x-1，y=-x-1.

易知A，B坐標(biāo)為（2，1），（-2，1），故直線AB方程為y=1.

所以直線PA，PB的方程為y=x-1，y=-x-1.

同理可得直線AB的方程為y=1.

師：生1、生2的解法非常好，他們從不同的角度解決了有關(guān)拋物線的切線問(wèn)題.哪位同學(xué)能總結(jié)一下他們的方法？

生3：生1是應(yīng)用直線與拋物線相切，方程組只有一組解轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根來(lái)求解的.生2是用導(dǎo)數(shù)知識(shí)設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)切線斜率是函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)而得到切線方程.

師：生3總結(jié)得非常好！他總結(jié)了解決拋物線切線問(wèn)題的兩種方法.請(qǐng)同學(xué)們思考一下，點(diǎn)P在特殊的位置（如準(zhǔn)線上），此時(shí)切線PA，PB有何關(guān)系？直線AB過(guò)一個(gè)特殊的點(diǎn)嗎？點(diǎn)P在準(zhǔn)線其他位置有這種關(guān)系嗎？

教學(xué)感悟：教學(xué)從一個(gè)簡(jiǎn)單的、特殊的實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生自主探究；通過(guò)展示學(xué)生的解法，讓學(xué)生體驗(yàn)成功，以激起學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望.讓學(xué)生總結(jié)歸納，建立解決問(wèn)題常用方法的理論依據(jù)以及不同解題方法之間的聯(lián)系與區(qū)別，幫助學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).教師提出新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究.

圖1

2.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主探究合作交流

探究1：過(guò)拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)P作拋物線的切線PA，PB，則PA，PB有什么關(guān)系？直線AB過(guò)定點(diǎn)嗎？

生4：（教師展示生4的解法）設(shè)直線PA的方程y+1= k（x-x0）.因?yàn)樗c拋物線x2= 4y相切，所以x2=4（kx-kx0-1），即x2-4kx+4kx0+4=0.（1）

此時(shí)由判別式Δ=16k2-4·（4kx0+4）=0，得k2-kx0-1=0.（2）

……做不下去了.

師：生4做到這里就做不下去了，哪位同學(xué)能幫助他？

生5：由（2）知，k1k2=-1，故PA，PB垂直.

師：為什么？

生5：因?yàn)镻A，PB是過(guò)點(diǎn)P的拋物線x2=4y的兩條切線，

所以方程k2-kx0-1=0的兩根分別為PA，PB的斜率.

由韋達(dá)定理知，k1k2=-1.故PA，PB垂直.

師：生5講得非常好，理解得很透徹.直線AB過(guò)定點(diǎn)嗎？如何求解呢？

生5：好像不好做，若通過(guò)（1）式解方程求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)當(dāng)可行，但運(yùn)算量太大，不可行.不知怎么辦？

師：有哪位同學(xué)想到解決問(wèn)題的方法嗎？

故直線AB過(guò)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F.

師：生6的推導(dǎo)非常正確，它說(shuō)明過(guò)拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，則這兩條切線互相垂直，且兩切點(diǎn)的連線過(guò)焦點(diǎn).反之其逆命題是否成立呢？

教學(xué)感悟：教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生探究.因問(wèn)題的開(kāi)放性，學(xué)生思考的視角增大，且難度不太大，入手點(diǎn)多，有助于學(xué)生主動(dòng)參與探究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.教學(xué)中，教師充分留給學(xué)生思考、嘗試、探究的時(shí)間與空間，使學(xué)生能從各自的角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題，提出不同的解決方案.當(dāng)學(xué)生有問(wèn)題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生相互討論，合作交流.在合作與交流中，學(xué)生得到了問(wèn)題的正確解法，澄清了錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，體會(huì)到了不同解法的區(qū)別與聯(lián)系，悟出了簡(jiǎn)潔的解法合理性.在學(xué)生理解困難的關(guān)鍵處提出質(zhì)疑，讓學(xué)生思考，深化學(xué)生思維.同時(shí)，提出了新的問(wèn)題（原問(wèn)題的逆命題）引發(fā)學(xué)生思考.

圖2

探究2：如圖2，過(guò)拋物線x2=2py的焦點(diǎn)F任作一條直線交拋物線于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線的切線l1和l2，兩條切線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的位置在什么地方？

所以點(diǎn)P在準(zhǔn)線上.

師：生7解答得非常好，通過(guò)她的解答，可得出如下結(jié)論：過(guò)拋物線焦點(diǎn)作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，則兩切線交于拋物線的準(zhǔn)線上.現(xiàn)有一個(gè)問(wèn)題值得同學(xué)們探究一下：若不是過(guò)焦點(diǎn)，結(jié)果如何呢？

教學(xué)感悟：探究2是對(duì)探究1的逆命題的探究，學(xué)生因有探究1的解題經(jīng)驗(yàn)，解答此題就有了相似的方法，學(xué)生的探究的興趣也愈來(lái)愈濃.同時(shí)，探究2的設(shè)計(jì)給學(xué)生的自主探究指明了方向：對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題可從哪些方面進(jìn)行探究？如可探究問(wèn)題解法的多樣性，也可變換命題，如將條件變結(jié)論，結(jié)論變條件命題是否成立，還可變換條件；擴(kuò)充結(jié)論等，為學(xué)生的自探自悟奠定了基礎(chǔ).教師通過(guò)總結(jié)，又提出了新的探究問(wèn)題，同時(shí)為學(xué)生的自探指明方向.

圖3

探究3：如圖3，已知拋物線x2=2py（其中p＞0），若點(diǎn)P（x0，y0）為坐標(biāo)平面內(nèi)的一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與拋物線交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線的切線l1和l2，兩條切線交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程是什么呢？

得x2-2pkx+2pkx0-2py0=0.

則x1+x2=2pk，x1x2=2pkx0-2py0.下面就不知如何做了？

師：哪位同學(xué)能幫幫忙？

生9：生8已經(jīng)接近成功了，只需設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），

消去k，得x0x=p（y+y0）.

故點(diǎn)Q的軌跡方程為x0x=p（y+y0）.

師：非常好.經(jīng)過(guò)生9的補(bǔ)充，此題得到完美的解答.此題求Q點(diǎn)的軌跡，實(shí)質(zhì)是用到了參數(shù)法求軌跡，通過(guò)消去參數(shù)k得到軌跡方程.生8之所以沒(méi)有成功，是對(duì)參數(shù)法求軌跡理解不到位，希望大家繼續(xù)努力.

師：（因接近下課，課堂小結(jié)）請(qǐng)同學(xué)們思考一下，我們今天學(xué)習(xí)了什么？解決了什么問(wèn)題？方法是什么？

生10：今天，我們學(xué)習(xí)了拋物線的切線問(wèn)題，解決了形如x2=2py的拋物線的切線問(wèn)題.

生11：解決拋物線的切線問(wèn)題的方法有兩個(gè)，其一是應(yīng)用直線與拋物線相切，方程組只有一組解轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根來(lái)求解的.其二是用導(dǎo)數(shù)知識(shí)設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)切線斜率是函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)而得到切線方程.

師：非常好，還有什么值得我們探究的問(wèn)題嗎？

生12：形如y2=2px的拋物線的切線問(wèn)題.

生13：圓的切線問(wèn)題？橢圓的切線問(wèn)題.

師：提出問(wèn)題是成功的一半，非常好，同學(xué)們提出這些問(wèn)題作為我們今天的作業(yè).

教學(xué)感悟：探究3是將探究2從特殊到一般的探究，它溝通了直線與拋物線，拋物線的切線方程，交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題等知識(shí)的聯(lián)系.通過(guò)此題的探究，可提升學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力.同時(shí)指明了自探、悟探的方向.教師的小結(jié)也別具一格，不僅讓學(xué)生總結(jié)提煉所學(xué)知識(shí)，而且讓學(xué)生思考值得探究的問(wèn)題，將探究延伸.

3.延伸探究，自探自悟

設(shè)計(jì)一些探究性問(wèn)題，留作課后思考，讓學(xué)生自探自悟.

探究4：過(guò)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)作拋物線的切線PA，PB，則PA，PB的位置有什么關(guān)系？直線AB過(guò)定點(diǎn)嗎？

探究5：過(guò)點(diǎn)P（m，0）的直線與拋物線y2=2px交于點(diǎn)A，B，分別過(guò)A，B作拋物線的切線l1和l2，且l1和l2的斜率分別為k1和k2，則k·1k2是否為定值？

探究6：已知拋物線y2=2px（其中＞0），若點(diǎn)P（x0，y）0為坐標(biāo)平面內(nèi)的一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與拋物線交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B作拋物線的切線l1和l2，兩條切線交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q的軌跡方程為y0y=p（x+x0）.

探究7：已知圓O：x2+y2=r2，若點(diǎn)P（x0，y0）為坐標(biāo)平面內(nèi)的一定點(diǎn)（異于圓心O），過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓O交于點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B作圓O的切線l1和l2，兩條切線交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q的軌跡方程為x0x+y0y=r（2除圓內(nèi)部分）.

設(shè)計(jì)說(shuō)明：探究4-6是另一種形式的拋物線切線問(wèn)題的有關(guān)探究，它的處理方法如何？與課堂上的拋物線切線問(wèn)題解決方法是否相同，值得讓學(xué)生課后探討.探究7-8是圓與橢圓的切線問(wèn)題的探究.通過(guò)對(duì)各種曲線的切線問(wèn)題的探究，可溝通知識(shí)聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探究，樂(lè)于探究的好習(xí)慣.

三、教學(xué)思考

微專題復(fù)習(xí)課是基于學(xué)情、教情，選擇切口小、角度新、針對(duì)性強(qiáng)的微型復(fù)習(xí)專題，力求解決復(fù)習(xí)課中的真問(wèn)題、小問(wèn)題和實(shí)問(wèn)題.選擇怎樣的主題，以怎樣的教學(xué)方法解決問(wèn)題是微專題教學(xué)效益的關(guān)鍵，結(jié)合本課，筆者認(rèn)為搞好微專題復(fù)習(xí)課要從以下幾個(gè)方面入手：

1.精選教學(xué)內(nèi)容，定點(diǎn)突破

微專題內(nèi)容的選擇目的是解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的“困惑點(diǎn)”“疑難點(diǎn)”，內(nèi)容選擇應(yīng)在學(xué)生的“思維最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)進(jìn)行，不宜過(guò)易也不宜過(guò)難.知識(shí)和方法不能一蹴而就，要把握好度，所選內(nèi)容既要讓學(xué)生在課堂上鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，熟練掌握基本解題方法，又要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生主動(dòng)參與、樂(lè)于探究、勤于動(dòng)手，所以內(nèi)容要精、要具有研究性，可以從多個(gè)角度認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題，具有一定的思維含量，能夠體現(xiàn)核心的思想方法.如本節(jié)課的內(nèi)容選材關(guān)注解析幾何與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，高三學(xué)生可從多個(gè)角度展開(kāi)研究，研究的角度多樣、解題方法多樣，本節(jié)課精心設(shè)計(jì)了一系列問(wèn)題，由淺入深，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般.通過(guò)學(xué)生的探究，可溝通知識(shí)的聯(lián)系，體驗(yàn)到不會(huì)的痛苦與成功的喜悅，有助于進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.學(xué)生主體，探究成為課堂教學(xué)的主旋律

微專題教學(xué)的課堂，因教學(xué)內(nèi)容是學(xué)生的易混易錯(cuò)點(diǎn)，是綜合知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，教師的教學(xué)要關(guān)注學(xué)生為什么會(huì)易混易錯(cuò)，為什么感覺(jué)困難.因此，教學(xué)理念一定要以學(xué)生為主體，根據(jù)學(xué)情以學(xué)定教，設(shè)計(jì)問(wèn)題由淺入深，符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探究，讓學(xué)生展求思維過(guò)程、互相合作、補(bǔ)充，教師引導(dǎo).本節(jié)課在探究問(wèn)題1時(shí)，讓學(xué)生展示多種解法，剖析做不下去的原因；引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度思考問(wèn)題；再讓別的學(xué)生補(bǔ)充、交流.把課堂真正還給學(xué)生，讓學(xué)生探究、交流、再探究、再交流；讓學(xué)生在參與教學(xué)活動(dòng)中激活思維、經(jīng)歷過(guò)程.除了課堂內(nèi)探究外，再設(shè)計(jì)問(wèn)題拓展延伸，讓學(xué)生在課外也有探究的問(wèn)題與時(shí)空.

3.教師主導(dǎo)，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題；教學(xué)組織，突出生成性

微專題教學(xué)內(nèi)容是教師根據(jù)學(xué)情精心設(shè)計(jì)的.通過(guò)微專題教學(xué)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生“綜合考點(diǎn)，把握重點(diǎn)，關(guān)注熱點(diǎn)，查找漏點(diǎn)”，將學(xué)到的知識(shí)、技能、方法形成一個(gè)有機(jī)的整體，把握知識(shí)間的聯(lián)系，歸納總結(jié)解題方法，整合知識(shí)要點(diǎn)，滲透數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)能力.課堂教學(xué)是預(yù)設(shè)與生成的有機(jī)組合，預(yù)設(shè)是為了更好的生成.微專題教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成不是教師用簡(jiǎn)單的方式直接灌輸給學(xué)生，而是讓學(xué)生在課堂上經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程，通過(guò)生生、師生的互動(dòng)而生成.如本節(jié)課的教學(xué)，教師精心預(yù)設(shè)了問(wèn)題，得到答案的過(guò)程不是教師直接灌輸，而是由學(xué)生合作交流完成.老師只是引導(dǎo)學(xué)生從哪些方面探究，滲透自探、悟探的問(wèn)題與方法.

1.徐勇.在錯(cuò)誤中尋找學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)［J］，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2010，7.

2.李建潮，宋衛(wèi)成.摭探數(shù)列前n項(xiàng)和的適當(dāng)放縮［J］，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2010，10.

3.金明，賀育林.要短效高分，還是長(zhǎng)效能力［J］.數(shù)學(xué)通訊，2015，5.

4.金明，葉東芳.研一題悟一法通一類［J］.中學(xué)教研，2015，10.

（1）2016廣州市教育規(guī)劃課題《數(shù)學(xué)課堂探究式教學(xué)的實(shí)踐研究》課題編號(hào)1201574155.（2）廣東省“十二五”規(guī)劃課題《提升高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)能力的研究》課題編號(hào)2013YQJK080