☉江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué) 姜震羽

一道高考復(fù)習(xí)題的多角度思考

☉江蘇省常熟市尚湖高級(jí)中學(xué) 姜震羽

縱觀近幾年的高考試題，對(duì)于同一道題，并不會(huì)局限于一種方法，往往可以通過(guò)多種方法來(lái)解決問(wèn)題.所以，在高考復(fù)習(xí)中，也應(yīng)當(dāng)對(duì)一題多解的問(wèn)題多下工夫，在復(fù)習(xí)過(guò)程中進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，在高考中才能從容不迫.

一、題目呈現(xiàn)

題目（2017年鹽城高考一模）在△ABC中，a，b，c三條邊分別對(duì)應(yīng)A，B，C三個(gè)角，且b2=ac=a2-c2+bc.

（2）證明：△ABC是等邊三角形.

二、角度選擇

對(duì)于第（2）問(wèn)的解決，可以從多角度進(jìn)行思考，通過(guò)題干中所給的條件，可以從a，b，c的關(guān)系入手，采用整體換元，從而解決問(wèn)題；也可以將已知的邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，通過(guò)證明三個(gè)角相等來(lái)解決問(wèn)題；還可以通過(guò)反證法，所謂正難則反，將直接證明無(wú)法解決的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，采用反向思考的方法進(jìn)行證明；而采用特殊與一般的思想也能夠解決問(wèn)題，通過(guò)取特殊值，巧妙證明結(jié)論.

（一）角度一——整體換元

想要證明三角形是等邊三角形，可以從三條邊的關(guān)系入手，利用a，b，c三條邊之間的關(guān)系，關(guān)鍵在于設(shè)置一個(gè)未知數(shù)，讓這個(gè)未知數(shù)成為聯(lián)系a，b，c三條邊的紐帶.采用整體換元，讓其他的未知數(shù)將三條邊聯(lián)系起來(lái)，一旦求出這個(gè)未知數(shù)，那么問(wèn)題自然迎刃而解.

1.巧設(shè)公比，曲線救國(guó)

由于b2=ac，那么a，b，c滿足等比數(shù)列的條件，可設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，則有q＞0，b=aq，c=aq2，將以上兩式代入b2=a2-c2+bc，可以得到a2q2=a2-a2q4+a2q3，化簡(jiǎn)之后可得只含有q的方程，即1-q4+q3-q2=0，q4-q3+q2-1=q3（q-1）+（q+1）（q-1）=（q-1）（q3+q+1），解得q=1，所以a=b=c，所以三角形的三邊相等，所以△ABC是等邊三角形.

此解法從式子b2=ac入手，可以發(fā)現(xiàn)a，b，c三個(gè)數(shù)滿足等比數(shù)列，通過(guò)等比數(shù)列將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求公比q的問(wèn)題，可以說(shuō)是曲線救國(guó).采用等比數(shù)列的性質(zhì)，巧妙設(shè)出公比q，進(jìn)而將b，c進(jìn)行換元，接著再采用消元法得到只含有q的方程，得到公比q，問(wèn)題自然迎刃而解.

2.直接換元，單刀直入

根據(jù)b2=ac，可設(shè)c=xq，b=x，代入b2=a2-c2+bc，可以得到關(guān)于q的方程易得q=1，所以a=b=c，所以三角形的三邊相等，所以△ABC是等邊三角形.

這種解法單刀直入，與第一種解法可以說(shuō)是如出一轍，但是本題的解法更為直接，沒(méi)有多余的套路.通過(guò)a，b，c的關(guān)系b2=ac，采用了直接換元法，將a，b，c直接用其他未知數(shù)表示，進(jìn)而得出只含有q的方程，解出q之后可以得出a，b，c的相等關(guān)系，巧妙地解決了問(wèn)題.

（二）角度二——由邊化角

1.余弦定理切入

由于b2=ac=a2-c2+bc，再根據(jù)余弦定理，可以得到ac= b2=a2+c2-2accosB，根據(jù)基本不等式，有a2+c2≥2ac，所以有a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB，即ac≥2ac-2accosB，化簡(jiǎn)之后可以得到由于∠B是三角形的一個(gè)內(nèi)角，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像可知，由（1）可知∠A=，所以，那么∠B≤∠A≤∠C，由此得到b≤a≤c，又因?yàn)閎2=ac，要想同時(shí)滿足以上條件，則必須有a=b=c，所以三角形的三邊相等，所以△ABC是等邊三角形.

本題的解法是通過(guò)對(duì)已知條件進(jìn)行分析，由余弦定理切入，將已知的a，b，c三條邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，再利用不等式的有界性，得到三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，從而證明△ABC是等邊三角形，讓問(wèn)題得到了解決.

2.基本不等式切入

根據(jù)b2=a2-c2+bc，移項(xiàng)之后得a2+bc=b2+c2，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，有b2+c2≥2bc，所以a2≥bc，再根據(jù)已知條件b2=ac，有a4≥a2bc，a2c2≥bcc2，化簡(jiǎn)之后可以得到a4≥abb2，b4≥bc3，即a3≥b3，b3≥c3，由于a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，所以a，b，c不可能為負(fù)數(shù)，所以有a≥b，b≥c，所以a≥b≥c，所以∠A≥∠B≥∠C，由（1）可知，由于三角形的內(nèi)角和為π，所以只能是，所以三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，所以△ABC是等邊三角形.

此解首先對(duì)已知式子進(jìn)行移項(xiàng)，然后直接使用基本不等式，得出a，b，c三條邊之間的大小關(guān)系，然后將邊長(zhǎng)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再結(jié)合（1）中的條件，可以證明△ABC是等邊三角形.

（三）角度三——正難則反

對(duì)于高中數(shù)學(xué)中的證明題，有時(shí)候直接證明往往有不小的難度，此時(shí)不妨采用反證法，將所要證明的結(jié)論作為已知條件，然后進(jìn)行反推，尋找所假設(shè)的條件與已知條件之間的矛盾.本題中可以假設(shè)，此時(shí)三角形就不是等邊三角形，以此來(lái)尋找與已知條件互相矛盾的地方.

（四）角度四——由特殊到一般

由特殊到一般是高中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，采用這種方法既能不失一般性，易于學(xué)生理解掌握，又能事半功倍地解決問(wèn)題.在本題中根據(jù)所給的相等關(guān)系，可以采用取特殊值的方法進(jìn)行證明，由一般到特殊，事半功倍地解決問(wèn)題.

由于b2=a2-c2+bc，b2=ac，可以取特殊值而又不失一般性，設(shè)c=1，那么b2=a2-c2+bc可化簡(jiǎn)為b2=a2-1+b，b2=ac可化簡(jiǎn)為b2=a，由化簡(jiǎn)后的兩式，消去a之后可得b2=b4+ b-1，即（b-1）（b3+b2+1）=0，解得b=1，那么a=1，所以a=b= c=1，所以三角形的三邊相等，所以△ABC是等邊三角形.

三、過(guò)程反思

分析以上的幾個(gè)角度可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一道普通的高考復(fù)習(xí)題，可以采用如此多的數(shù)學(xué)方法來(lái)解決.通過(guò)此題，可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)許多重要的知識(shí)點(diǎn)及一些重要的數(shù)學(xué)思想，并且可以引導(dǎo)學(xué)生形成自己的知識(shí)體系，在以后遇到難以解決的問(wèn)題時(shí)，可以從容地從自己的腦海中尋找解決問(wèn)題的方法，按部就班地解決問(wèn)題.

通過(guò)對(duì)普通問(wèn)題采用一題多解研究，不但可以幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，還能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使得學(xué)習(xí)的過(guò)程中充滿趣味.在學(xué)生個(gè)人能力培養(yǎng)層面，一題多解的研究可以讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行更加深入的思考，從而鍛煉學(xué)生的發(fā)散性思維，提高學(xué)生的綜合解題能力，對(duì)高考復(fù)習(xí)是大有裨益的.

1.高羽.例談高三試卷講評(píng)課中的一題多解［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2013（33）.

2.徐丹.一題多解一例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（3）.

3.陳美英.遠(yuǎn)近高低各不同——品賞高考一題多解［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（3）.

4.何永峰.注重一題多解提升解題能力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（9）.F