王 旭, 伍 星, 肖正明, 曹永立， 劉 韜

(1.昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，昆明 650500； 2.昆明云內(nèi)動力股份有限公司，昆明 650500)

含裂紋故障的齒輪系統(tǒng)動力學(xué)特性研究及其故障特征分析

王 旭1, 伍 星1, 肖正明1, 曹永立2， 劉 韜1

(1.昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，昆明 650500； 2.昆明云內(nèi)動力股份有限公司，昆明 650500)

考慮齒輪的時(shí)變嚙合剛度、傳動誤差和軸承支撐剛度的影響，建立含齒根裂紋故障的齒輪系統(tǒng)多自由度力學(xué)模型，基于動力學(xué)方法對其故障機(jī)理進(jìn)行研究。通過材料力學(xué)的方法計(jì)算齒輪在正常和含裂紋兩種情況下的嚙合剛度，對比兩種剛度曲線的變化趨勢，便于進(jìn)行精確的動力學(xué)特性分析;對建立的模型求解系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，結(jié)果表明當(dāng)齒根存在裂紋時(shí)，其時(shí)域波形中會出現(xiàn)周期性的沖擊現(xiàn)象，頻譜中在嚙合頻率的基頻及其倍頻等地方形成一系列等間隔的邊頻譜線，其間隔大小等于故障齒輪的轉(zhuǎn)頻;這些邊頻成分幅值較低，能量分散且分布不均勻，在不同頻帶的幅值大小存在差異。針對上述特點(diǎn)，通過正交小波包方法對信號的頻帶進(jìn)行分解，應(yīng)用倒頻譜分析各子頻帶信號的邊頻成分;結(jié)果表明，該方法能夠有效的提高信號的信噪比，有助于識別和提取信號中由裂紋故障引起的邊頻成分。

齒輪系統(tǒng);裂紋故障;嚙合剛度;邊頻譜線;正交小波包;倒頻譜

隨著工業(yè)領(lǐng)域中生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步和自動化程度的提高，針對設(shè)備的在線監(jiān)測和故障診斷技術(shù)正在受到更多的重視。齒輪傳動系統(tǒng)作為機(jī)械設(shè)備中重要的運(yùn)動和動力傳遞部件在高速和重載等惡劣的工作環(huán)境中容易發(fā)生故障而影響到設(shè)備的可靠運(yùn)行，安全生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)效益[1]。因此，針對齒輪傳動裝置的設(shè)備監(jiān)測和故障診斷技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用也顯得越來越重要。在實(shí)際的振動監(jiān)測過程中齒輪的故障特征信號多具有信號微弱，噪聲干擾強(qiáng)，故障種類復(fù)雜和不易識別等特點(diǎn)，目前針對齒輪傳動裝置的故障診斷技術(shù)還不夠成熟，有待進(jìn)一步研究和完善。

針對齒輪故障的研究，國內(nèi)外學(xué)者分別從齒輪的動力學(xué)機(jī)理研究和信號特征提取等方面做了大量的工作。Wu等[2]基于齒輪系統(tǒng)的6自由度動力學(xué)模型分析了齒輪剛度隨裂紋擴(kuò)展的變化趨勢。Ding等[3]研究了齒輪磨損故障的動力學(xué)行為。馬銳等[4]建立了單級齒輪的扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，對齒輪在含裂紋情況下的非線性動力學(xué)特性進(jìn)行研究。Mohammed等[5]使用短時(shí)傅里葉變換方法對齒輪裂紋故障進(jìn)行了特診提取。萬志國等[6]提出了齒輪嚙合剛度的一種修正計(jì)算方法，并采用小波方法對含裂紋故障的齒輪振動信號進(jìn)行特征提取。李云等[7]提出一種基于包絡(luò)角域同步平均的齒輪故障診斷方法。

本文在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上結(jié)合動力學(xué)仿真和故障特征分析方法開展齒根裂紋故障的研究。首先通過動力學(xué)的方法揭示仿真信號的邊頻特征，然后采用正交小波包和倒頻譜相結(jié)合的方法對齒輪裂紋故障特征進(jìn)行分析。

1 齒輪的嚙合剛度計(jì)算

1.1 正常齒輪的嚙合剛度計(jì)算

根據(jù)材料力學(xué)方法可將輪齒簡化為變截面的懸臂梁(見圖1)，此時(shí)嚙合輪齒的綜合彈性剛度由懸臂梁的彎曲剛度kb，剪切剛度ks和徑向壓縮剛度kc三部分組成，對應(yīng)的公式表達(dá)如下

圖1 輪齒受力示意圖

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Ai=2Whi

(7)

(8)

式中:E為彈性模量;W為齒寬；Hp為節(jié)圓齒厚;v為泊松比。

實(shí)際輪齒的根部是彈性的輪緣，因此需要考慮齒輪基體的柔性變形，齒輪基體柔性變形所對應(yīng)的剛度可表示為

(9)

式中,各參數(shù)詳見文獻(xiàn)[8]。

輪齒嚙合中的赫茲剛度表示為

(10)

綜上所述，一對齒輪副總的嚙合剛度可表示為

(11)

1.2 含裂紋齒輪的嚙合剛度計(jì)算

圖2為輪齒裂紋的擴(kuò)展模型，圖2中裂紋存在于齒根處，假設(shè)裂紋和齒輪中心線的夾角為αc，裂紋深度為q。

圖2 裂紋的擴(kuò)展模型

當(dāng)齒根產(chǎn)生裂紋時(shí)，輪齒的受力區(qū)域?qū)l(fā)生變化，剛度計(jì)算中的截面模量Ii別和截面面積Ai將變?yōu)?/p>

(12)

(13)

將式(12)和式(13)代入齒輪剛度計(jì)算公式中可得到對應(yīng)的含裂紋情況下的輪齒嚙合剛度。齒輪參數(shù)如表1所示，假設(shè)在從動輪的齒根處產(chǎn)生裂紋，剛度計(jì)算結(jié)果如圖3所示，圖中分別包含了正常齒輪，裂紋深度為1 mm和裂紋深度為2 mm的嚙合剛度曲線。

表1 齒輪參數(shù)

圖3 嚙合剛度曲線

為進(jìn)一步揭示嚙合剛度的頻域特征，本文擬對剛度曲線進(jìn)行階次譜分析。值得強(qiáng)調(diào)的是，在轉(zhuǎn)速恒定且未知的情況下，采用階次譜比頻譜更為方便，階次譜不需要考慮時(shí)間信息，而得到的譜線結(jié)構(gòu)與頻譜一致，只是橫坐標(biāo)的表示有所區(qū)別。如圖4所示，圖4(a)為正常齒輪嚙合剛度曲線對應(yīng)的階次譜，齒輪的1階代表轉(zhuǎn)頻，圖4中的譜線成分包括75階(代表齒輪的嚙合頻率)及其倍階次成分；圖4(b)為齒根裂紋為2 mm時(shí)對應(yīng)嚙合剛度曲線的階次譜，對比兩圖可以發(fā)現(xiàn)，齒根產(chǎn)生裂紋時(shí)會在低階部分出現(xiàn)一系列間隔為1階的譜線，這些譜線占據(jù)的譜帶較寬，說明其在對應(yīng)的頻譜中的頻帶也較寬。這些低頻譜線在動力學(xué)響應(yīng)中與嚙合頻率及其倍頻成分形成頻率耦合而出現(xiàn)一系列的組合頻率，這些組合頻率圍繞在嚙合頻率及其倍頻附近，構(gòu)成其邊頻成分。具體內(nèi)容將在第3節(jié)(動力學(xué)仿真)作進(jìn)一步說明。

2 齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型

根據(jù)考慮的因素的不同，齒輪動力學(xué)模型的建立包括多種方法，為了精確的描述齒輪系統(tǒng)的動態(tài)行為，本文考慮了軸承的支撐剛度，建立齒輪傳動系統(tǒng)的6自由度動力學(xué)模型，如圖5所示。圖5中，Gear 1和Gear 2分別代表主動齒輪和從動齒輪。

(a) 正常齒輪嚙合階次譜

(b) 齒根裂紋2 mm的嚙合階次譜

圖5 齒輪6自由度動力學(xué)模型

根據(jù)牛頓力學(xué)的方法建立方程組如下

(14)

其中，

式中:p12(t)為主動輪相對于從動輪在輪齒接觸點(diǎn)公法線方向上的相對位移；m1、m2為主動輪和從動輪的質(zhì)量；r1、r2為主動輪和被動輪的基圓半徑；J1、J2為主動輪和被動輪的轉(zhuǎn)動慣量；k12(t) 、c12(t)為齒輪的嚙合剛度和阻尼；k1bx、k1by、k2bx、k2by和c1bx、c1by、c2bx、c2by分別為主動輪和從動輪的軸承剛度和阻尼；e12(t)為齒輪副的嚙合誤差，其公式為

e12(t)=Afcos(wft+φf)

(15)

式中，wf為動輪的嚙合頻率。

方程組中存在剛體位移，消除剛體位移后方程組可表示為

(16)

3 動力學(xué)仿真

相較于正常齒輪，輪齒裂紋的存在會導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)在運(yùn)動過程中產(chǎn)生周期性的沖擊響應(yīng)。在齒輪傳動過程中，當(dāng)含有齒根裂紋的輪齒參與嚙合時(shí)，其嚙合剛度減小，對應(yīng)的剛度激勵改變，進(jìn)而引起系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)。這種沖擊具有周期性，沖擊頻率為從動輪的轉(zhuǎn)頻。由于裂紋的存在，齒輪嚙合剛度的頻譜會在低頻處形成一系列等間隔的譜線，這些譜線占據(jù)的頻帶較寬(如圖4所示)，在齒輪系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)中這些低頻成分會與齒輪的嚙合頻率及其倍頻成分等進(jìn)行頻率耦合而形成組合頻率，在圖譜上表現(xiàn)為齒輪的嚙合頻率及其倍頻等附近的邊頻成分，對應(yīng)的邊頻范圍較寬，邊頻間隔等于從動輪的轉(zhuǎn)頻。

(a) 時(shí)域波形

(b) 幅值譜

Fig.6 Time domain waveforms and amplitude spectrum(normal)

正常齒輪的頻譜主要包含嚙合頻率及其倍頻信息，其基頻為1 125 Hz，等于齒輪的嚙合頻率,如圖6所示。而在圖7～圖8中還出現(xiàn)了明顯的邊頻帶，邊頻的間隔為15 Hz，等于從動輪的轉(zhuǎn)頻。隨著裂紋的擴(kuò)展，時(shí)域信號的沖擊會不斷增強(qiáng)，相較于圖7，圖8中的時(shí)域波形的沖擊明顯增強(qiáng)，邊頻幅值明顯增大，從幅值譜圖的放大顯示(見圖8(c))可以看到，當(dāng)齒根裂紋為1 mm時(shí)，頻譜中出現(xiàn)的邊頻幅值最高為0.21，而齒根裂紋為2 mm時(shí)，頻譜中出現(xiàn)的邊頻幅值最高為0.52，邊頻成分明顯增強(qiáng)。在實(shí)際的齒輪故障診斷中，當(dāng)齒輪產(chǎn)生齒根裂紋時(shí)，其振動信號會在時(shí)域波形中出現(xiàn)周期性的沖擊，沖擊頻率為裂紋齒輪所在軸的轉(zhuǎn)頻，對應(yīng)的頻譜在其嚙合頻率及倍頻等位置附近出現(xiàn)邊頻帶，邊頻間隔等于沖擊頻率。對比試驗(yàn)分析結(jié)果可知，該仿真信號符合齒輪箱故障診斷中實(shí)測信號的規(guī)律，驗(yàn)證了該仿真模型的可靠性，同時(shí)能夠?yàn)楣こ虒?shí)際信號的邊頻現(xiàn)象提供一種基于動力學(xué)原理的解釋。

這些由齒根裂紋故障所形成的邊頻成分具有幅值較低，能量分散且分布不均勻的特點(diǎn)，在不同頻帶的幅值大小存在差異，如圖7(c)和圖8(c)所示。在嚙合頻率的基頻或不同倍頻附近出現(xiàn)的邊頻譜線的幅值具有明顯的差異，其中在嚙合頻率的5倍頻附近的邊頻幅值最高。在實(shí)際的測試中，振動信號包含有復(fù)雜的噪聲，由裂紋故障引起的邊頻分量往往會被噪聲信息淹沒而難以分析。因此，針對邊頻能量在不同頻帶分布不均勻的特點(diǎn)，可以通過帶通濾波將頻帶分解為多個(gè)子頻段，然后對每個(gè)子頻段進(jìn)行分析。該方法一方面可以有效濾除寬頻噪聲的干擾，另一方面能夠篩選出邊頻幅值較高的頻段，突出邊頻信息，提高信噪比，能夠更為有效的發(fā)現(xiàn)和提取信號的邊頻特征。

(a) 時(shí)域波形

(b) 幅值譜

(c) 幅值譜放大圖

Fig.7 The time domain waveforms and amplitude spectrums(with crack fault:1 mm)

(a) 時(shí)域波形

(b) 幅值譜

(c) 幅值譜放大圖

Fig.8 The time domain waveforms and amplitude spectrums(with crack fault:2 mm)

4 故障特征分析

根據(jù)上節(jié)對信號特征的分析，本節(jié)采用正交小波包與倒頻譜相結(jié)合的方法來對信號的邊頻譜線進(jìn)行分析與討論。正交小波包能夠?yàn)樾盘柼峁└泳?xì)的分析方法，可以同時(shí)對信號的低頻和高頻進(jìn)行多級分解，這種分解既無冗余，也無疏漏，便于實(shí)現(xiàn)信號的時(shí)頻局部化分析[9]。而且，分解后的子頻帶有效消除了齒輪嚙合頻率及其倍頻成分的干擾，便于利用倒頻譜對邊頻成分進(jìn)行分析。正交小波包分解過程可以形象的表示為一個(gè)二進(jìn)制樹結(jié)構(gòu)圖，如圖9所示為小波包的3層分解過程。

在Daubechies小波系中濾波器長度系數(shù)為5的“db5”小波對突變信號比較靈敏且階數(shù)比較低，本文選用“db5”小波函數(shù)作小波包分解，并選取小波包的第3層分解結(jié)果進(jìn)行討論。圖9中(0,0)表示原始信號，dij表示在節(jié)點(diǎn)(i,j)處的小波包系數(shù)。對小波包進(jìn)行重構(gòu)后，用sij表示dij的重構(gòu)信號，則小波包第3層分解重構(gòu)后的信號依次為s30～s37，表2表示了這8個(gè)信號所代表的原信號的頻率范圍，表中fc代表原信號的截止頻率。

圖9 二進(jìn)制樹結(jié)構(gòu)圖

表2 8個(gè)信號所代表的原信號的頻率范圍

Tab.2 The frequency range represented by the 8 signals

信號頻帶范圍信號頻帶范圍s30[0,fc/8]s34[7fc/8,fc]s31[fc/8,2fc/8]s35[6fc/8,7fc/8]s32[3fc/8,4fc/8]s36[4fc/8,5fc/8]s33[2fc/8,3fc/8]s37[5fc/8,6fc/8]

圖10～圖11為s30～s37信號的時(shí)域波形，在進(jìn)行分析時(shí)將分別對各個(gè)信號單獨(dú)進(jìn)行分析，以便于更為有效的分析邊頻成分。

通過正交小波包方法將信號分解為多個(gè)子頻段的信號后，可以對各個(gè)信號單獨(dú)進(jìn)行分析，針對信號在嚙合頻率及其倍頻等地方出現(xiàn)的邊頻譜線具有數(shù)量較多，幅值較小，而且具有明顯的周期性，適宜采用倒頻譜進(jìn)行故障特征的提取，倒頻譜分析方法能將圖譜上同一系列的邊頻譜線簡化為倒頻譜上的單根或幾根譜線，譜線的位置是原譜圖上邊頻的頻率間隔的倒數(shù)，譜線的高度反應(yīng)了這一系列邊頻成分的強(qiáng)度[10]。

(a) s30信號

(b) s31信號

(c) s32信號

(d) s33信號

(a) s34信號

(b) s35信號

(c) s36信號

(d) s37信號

圖12～圖13為s30～s37信號對應(yīng)的倒頻譜，圖譜中主要譜線的間隔在0.066～0.067，對應(yīng)的頻率近似為15 Hz，等于從動輪的轉(zhuǎn)頻。各個(gè)倒頻率對應(yīng)的幅值大小不同，其中s36中的倒頻率幅值最高，第一條譜線的值約為0.115 8，反映出的信號的邊頻特征最為明顯。

5 結(jié) 論

本文通過材料力學(xué)的方法計(jì)算含裂紋齒輪的嚙合剛度，將其代入齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)方程組中求解系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，從時(shí)域中可以發(fā)現(xiàn)波形中存在周期性的沖擊成分，在頻譜嚙合頻率的基頻及其倍頻等地方形成一系列等間隔的邊頻譜線，其間隔大小等于故障齒輪的轉(zhuǎn)頻。這些邊頻成分幅值較低，能量分散且分布不均勻，而且在不同頻帶的幅值大小存在差異。在實(shí)際的測試中，振動信號包含有復(fù)雜的噪聲，由裂紋故障引起的邊頻分量往往會被噪聲信息淹沒而難以分析?；谏鲜鎏卣?，本文首先通過正交小波包方法對信號的頻帶進(jìn)行分解，然后將獲得的各個(gè)子頻帶信號應(yīng)用倒頻譜進(jìn)行分析，提取信號的邊頻成分。結(jié)果表明，采用正交小波包與倒頻譜相結(jié)合的方法更加有助于發(fā)現(xiàn)和提取信號中由裂紋故障引起的邊頻成分。

(a) s30信號

(b) s31信號

(c) s32信號

(d) s33信號

(a) s34信號

(b) s35信號

(c) s36信號

(d) s37信號

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Dynamic characteristics of a gear system with crack fault and its fault feature analysis

WANG Xu1, WU Xing1, XIAO Zhengming1, CAO Yongli2, LIU Tao1

(1. Faculty of Mechanical and Electrical Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500, China; 2. Kunming Yunnei Power Co., Ltd., Kunming 650500, China)

A multi-DOF mechanical model of a gear system with crack fault was established to study its failure mechanism based on the dynamic method, considering effects of time-varying mesh stiffness, transmission error and bearing support stiffness. First of all, meshing stiffnesses of gears in two cases including normal condition and the one with crack fault were calculated for the accurate dynamic characteristics analysis. The results of the system’s dynamic responses solved with the built dynamical model showed that there are some periodic impulses in time domain waveform, and there are some side frequencies equally spaced near the mesh fundamental frequency and its harmonic components, the interval between two side-frequencies is equal to the rotating frequency of the faulty gear; the amplitudes of side frequencies are lower and their energy is dispersive and not uniform, these amplitudes within different frequency bands are different. Aiming at the above mentioned features, the signal frequency band was decomposed with the orthogonal wavelet packet method and each sub-frequency band signal was analyzed using the cepstrum analysis method. The results showed that the proposed method can effectively improve the signal-to-noise ratio of signals, and make it easier to identify and extract side frequency components caused due to crack fault in signals to be detected.

gear system; crack fault; mesh stiffness; side frequencies; orthogonal wavelet packet； cepstrum

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51465021)；云南省教育廳科學(xué)研究基金重大專項(xiàng)項(xiàng)目(ZD2013004)；云南省自然科學(xué)基金(2013FB014)

2015-11-18 修改稿收到日期：2016-03-10

王旭 男，博士生，1987年生

伍星 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1973年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.012