陳暉

【摘要】在深化課程改革背景之下，以提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為核心，提倡大力發(fā)展校本課程的改革，結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過對日常教學(xué)工作的反思，利用分步教學(xué)、一題多解、變式訓(xùn)練、題型整理等四個維度，對一些基本的教學(xué)方式方法、及教學(xué)策略做進(jìn)一步的反思，進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)過程，提高教學(xué)的實(shí)效性，強(qiáng)化常規(guī)教學(xué)的有效性。

【關(guān)鍵詞】新課改 新考改 日常教學(xué) 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）14-0140-03

1.命題研究的的情境及理論依據(jù)

2014年3月30日，《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)意見》頒布，其中“核心素養(yǎng)”引人關(guān)注。核心素養(yǎng)是學(xué)生接受相應(yīng)學(xué)段教育過程中逐步形成的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。課改考改的最終目的是改變目前一直被人詬病的應(yīng)試教育，促使這種唯分?jǐn)?shù)論的教育教學(xué)模式真正向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)型。若如果沒有了核心素養(yǎng)，任何的教育改革就缺了靈魂。選擇在上海、浙江試點(diǎn)的全新的高考考試方案倒逼著新一輪的課程改革不得不加快步伐，從理念、內(nèi)容到實(shí)施，都有翻天覆地的變化。

其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個方面內(nèi)容。通過數(shù)學(xué)教育使學(xué)生知道數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生和發(fā)展的淵源和過程，了解和領(lǐng)會由實(shí)際需要出發(fā)、到建立數(shù)學(xué)模型、再到解決實(shí)際問題的全過程，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理現(xiàn)實(shí)世界中各種復(fù)雜問題的意識、信念和能力。

2.日常教學(xué)中的具體反思

2.1分步教學(xué)，激發(fā)學(xué)習(xí)動力，強(qiáng)調(diào)自主發(fā)展

學(xué)生學(xué)習(xí)的源動力在于興趣，維持學(xué)生原有的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生更大的學(xué)習(xí)動力是每一個教師的首要責(zé)任。雖然數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性，很大的程度上決定了數(shù)學(xué)的“枯燥乏味”，使部分學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力和信心。但是數(shù)學(xué)的美卻恰恰在此，就在于一步接一步地分析問題，一環(huán)扣一環(huán)的解題過程，層層相扣，層層遞進(jìn)地得到最終結(jié)果，使學(xué)生的邏輯思維能力得到進(jìn)一步提升，學(xué)生個人的高素質(zhì)也淋淋盡致地得到展現(xiàn)。

學(xué)生外部的行為結(jié)構(gòu)與內(nèi)部的心理結(jié)構(gòu)之間有著直接的互化關(guān)系。學(xué)習(xí)能力薄弱的學(xué)生，勢必基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，易對于一些看似困難的題目產(chǎn)生恐懼心理，首先從思想上就將自己的能力否定，所以就造成不愿意動手，坐在那里干等著聽教師講解的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣。這樣久而久之，惡性循環(huán)，出現(xiàn)學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)主動性與上進(jìn)心，缺乏內(nèi)在驅(qū)動力的被動局面。高中數(shù)學(xué)題目伴隨著學(xué)生能力及素質(zhì)的提升而更趨向于綜合性，更傾向于選拔人才的難度與高度。在日常的教學(xué)過程中，教師更應(yīng)注重教學(xué)的有效性，例如針對綜合性較強(qiáng)的例題，設(shè)置鋪墊，實(shí)施分步教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，將難點(diǎn)分散，形成螺旋式上升。

案例：圓x2+y2-2x-4y+1=0到直線x+y-1=0的距離為■的點(diǎn)共有幾個？

評析：此例題作為新課教學(xué)后的習(xí)題，綜合性強(qiáng)，難度大，對學(xué)生能力要求較高?；A(chǔ)不扎實(shí)的學(xué)生，剛開始肯定是不會動筆的，甚至連思考的方向都找不到。

分步1：求圓x2+y2-2x-4y+1=0圓心的到直線x+y-1=0的距離。

評析：引導(dǎo)學(xué)生將未知的向已知的轉(zhuǎn)化，尋求解題方向。此時相信絕大部分的學(xué)生都應(yīng)該能夠通過點(diǎn)到直線的距離公式可求解出來。利用心理學(xué)上的系統(tǒng)脫敏法，消除學(xué)生對數(shù)學(xué)的恐懼，讓學(xué)生自覺地并有信心地動起來。

分步2：圓x2+y2-2x-4y+1=0與直線x+y-1=0是什么位置關(guān)系？

評析：逐步引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的知識內(nèi)容解題，增強(qiáng)學(xué)生的解題信心。

分步3：分別求優(yōu)弧和劣弧上點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)的距離。

評析：逐步完善解題步驟，回歸原題。

分步4：求此圓上到此直線距離為■的點(diǎn)的個數(shù)。

評析：整個解答過程中，學(xué)生不僅僅能很好地參與其中，并且使得原有的知識內(nèi)容得到鞏固，潛移默化地建構(gòu)知識框架，在探索、實(shí)踐、發(fā)現(xiàn)的過程中享受成功的喜悅，增強(qiáng)了自信心。當(dāng)然，到這里，這樣并沒有完全達(dá)到所預(yù)期的目標(biāo)，記得波利亞說他在寫《怎樣解題》時，腦子里重現(xiàn)了他過去在研究數(shù)學(xué)時解決問題的過程，實(shí)際上是他解決研究問題時的思維過程的總結(jié)。讓學(xué)生自己通過回顧總結(jié)，輔助類似的題目，進(jìn)行鞏固練習(xí)，加深印象，變記憶結(jié)果為理解推演過程，以達(dá)到一種反思升華的效果。

分步教學(xué)的整個過程中凸顯邏輯主干的階梯式學(xué)習(xí)，依托學(xué)科知識內(nèi)在邏輯聯(lián)系，化繁為簡，化難為易，運(yùn)用具體的、簡單的原型啟發(fā)，經(jīng)過逐步推進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)，積極探索的良好習(xí)慣，為后期的持續(xù)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

2.2一題多解，突出解題本質(zhì)，勇于實(shí)踐創(chuàng)新

解題過程中的一題多解，就是用不同的思維分析問題，多角度地解決問題，尋求問題的本質(zhì)，全方位的提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力。由于問題內(nèi)在規(guī)律，或思考途徑的多樣化易促成一題多解的情況，適時的一題多解可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的欲望，加深學(xué)生對所掌握的知識內(nèi)容的理解，強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用能力，鍛煉學(xué)生的思維的廣闊性和深刻性、獨(dú)立性和靈活性。一題多解對綜合素質(zhì)要求較高，要求對問題本質(zhì)性的知識深刻理解，要求充分熟悉知識模塊間的聯(lián)系性，要求思維具有較強(qiáng)的發(fā)散性和創(chuàng)造性。同時促使教師再學(xué)習(xí)再進(jìn)步，提升自身的業(yè)務(wù)水平和教學(xué)能力，提高課堂的針對性與實(shí)效性。

案例：三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，已知BC=1，BB1=2，AB=■，∠BCC1=■.

（1）試在棱CC1（不包含端點(diǎn)）上確定一點(diǎn)E的位置，使得EA⊥EB1；

（2）在（2）的條件下，求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值。

方法一：定義法

評析：回歸課本，堅(jiān)持基本概念性質(zhì)，利用二面角的平面角定義解決問題。這種解法屬于通解通法，一種較為常規(guī)的解題思路，便于學(xué)生理解接受。

方法二：三垂線法（補(bǔ)形）

評析：將不規(guī)則的圖形補(bǔ)全為規(guī)則的圖形，從直觀上更能很好的理解與掌握。要求學(xué)生對基本圖形的模型掌握比較熟練，達(dá)到靈活應(yīng)用的程度，學(xué)生的空間想象能力同時得到了進(jìn)一步的提升。

方法三：三垂線法（體積法：V■=V■）

評析：不同的方法，不同的解題思路，不同的思考方向，充分展示解題方法的多樣性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)激情，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

方法四：異面直線所成的角

評析：問題求解方向確實(shí)是尋求兩個半平面所成的角，但將面面角轉(zhuǎn)化為線線角，始終在圍繞著二面角的基本性質(zhì)，突出對概念定義的理解。

方法五：間接法（求二面角A-EB1-B的平面角）

評析：直接問題轉(zhuǎn)化為間接問題，正難則反的解題思路得到了體現(xiàn)。

一題多解是指同一道習(xí)題通過不同的角度進(jìn)行分析研究，利用不同模塊的知識內(nèi)容進(jìn)行解答，最終得到多種不同的解題方法。但一題多解的最終目的是突出解題的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維及創(chuàng)造性思維一種切實(shí)可行的行為方式，可以很大程度上激發(fā)學(xué)生的主動性，讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)知識的魅力，而不是單純向?qū)W生炫耀教師有多少好的辦法。

2.3變式訓(xùn)練，完善知識框架，注重分析推理

著名教育學(xué)者顧泠沅在《課堂視野中的教師及其指導(dǎo)》中特別指出教師必須深入學(xué)科，理解學(xué)科知識對教學(xué)的重要性，避免形成一種“缺失范式”的教學(xué)研究和教師培訓(xùn)。高中數(shù)學(xué)課程是以模塊和專題的形式呈現(xiàn)，因此，教學(xué)中應(yīng)避免知識點(diǎn)及思想方法的單一化，甚至僵硬化。教師應(yīng)積極思考，有意識地通過類比、聯(lián)想、知識的遷移和應(yīng)用等方式溝通各部分內(nèi)容之間的練習(xí)，使學(xué)生體會知識之間的有機(jī)聯(lián)系，理解各類題目解法的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，進(jìn)一步完善自身的知識結(jié)構(gòu)，提高解決問題的能力。

目前迫于高考、學(xué)考以及各類考試的壓力，高中數(shù)學(xué)課堂要求總體偏高，學(xué)生的負(fù)擔(dān)重壓力大，不少學(xué)生疲于應(yīng)付，成長空間顯得狹小。數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練，即是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對概念、性質(zhì)、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變。利用變式訓(xùn)練，依托原有的例題，可以將一個孤立的題目向各個方向進(jìn)行輻射拓展，使得各種題型、不同思想方法得到融會貫通，促使學(xué)生尋找各種題型的相同點(diǎn)與不同之處，通過比較理解問題的本質(zhì)。變式訓(xùn)練以題變題，注重思維的連貫性與比較性，避免大量的重復(fù)性地訓(xùn)練量，使得課堂教學(xué)更加緊湊高效。

案例：已知實(shí)數(shù)a，b滿足a>0，b>0，a+2b=ab。

（1）求a+2b的最小值；

（2）求ab的最小值。

評析：利用例題回顧基本不等式的性質(zhì)及應(yīng)用，為后期的變式訓(xùn)練打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

變式1：已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2+4b2+ab=1，則a+2b的最大值是________.

評析：雖然在例題的基礎(chǔ)增加了平方關(guān)系，但通過配方轉(zhuǎn)化，仍然得到基本不等式的核心—兩實(shí)數(shù)的和與積之間的關(guān)系，對學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力要求更高。

變式2：已知實(shí)數(shù)a，b滿足a>0，b>0，a+2b=ab，則a+b的最小值為_____。

評析：所求問題的變化，使得思想方法的改變，看似相同的問題變?yōu)椴煌?，將a+2b=ab轉(zhuǎn)化為■+■=1即可，從而引申出例題的第二種解法。

變式3：已知實(shí)數(shù)a，b滿足a>1，b>1，a+b+1=ab，則2a+b的最小值為_____。

評析：利用已知等量關(guān)系進(jìn)行消元，也是數(shù)學(xué)解題過程中一種常用思想方法。

變式4：已知實(shí)數(shù)a，b滿足a+b+1=ab，則2a+b的取值范圍為_____。

評析：變式3與變式4的區(qū)別就在于實(shí)數(shù)a，b的已知范圍發(fā)生改變，若仍然用變式3的消元方法勢必增加計(jì)算量。一元二次根的判別式△法的應(yīng)用恰好又可以呼應(yīng)2014年浙江省高考題：已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是______。

變式5：已知實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=2，b>0，則■+■的最小值為__________。

評析：常規(guī)的消元法是消掉參數(shù)，減少參數(shù)的個數(shù)，而此題卻是另辟蹊徑利用1=■消掉常數(shù)，從另一個角度詮釋消元法的特點(diǎn)。

變式6：已知實(shí)數(shù)a，b滿足a>1>b，且■+■=1，則a-b的最小值為____.

解析：利用換元法，令x=a-1，y=1-b，復(fù)雜問題簡單化。

變式7： 已知正實(shí)數(shù)a，b滿足2a+b=1，則4a2+b2+■的最小值為_____.

評析：函數(shù)思想的應(yīng)用，將此題難度提升到更高層面，使得不等式與函數(shù)的知識內(nèi)容得到有機(jī)結(jié)合。

變式訓(xùn)練，必須依托學(xué)生的元認(rèn)知，學(xué)生可通過教師的問題設(shè)置將已有的知識內(nèi)容、解題方法進(jìn)行串聯(lián)，完善自己的知識結(jié)構(gòu)。針對教師而言，特別強(qiáng)調(diào)不可為了聯(lián)系而人為地聯(lián)系，多注重問題的本質(zhì)性與關(guān)聯(lián)性，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，更有利于學(xué)生獨(dú)立自主發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。教師在前端分析及任務(wù)設(shè)計(jì)的時候，更應(yīng)有效整合教材，有機(jī)地將各個模塊內(nèi)容聯(lián)系起來，整合為一個具體的整體，多方面廣角度地審視自己的教學(xué)，提高教師的基本教學(xué)能力。

2.4題型整理，優(yōu)化學(xué)習(xí)能力，追求可持續(xù)發(fā)展

數(shù)學(xué)教育是一門設(shè)計(jì)科學(xué)（Lesh，R.& Sriraman，B.2005）建筑留下的不是理論，而是房子。那么數(shù)學(xué)教育給我們留下的該是什么？在目前的教育體制制度下，過多地追求分?jǐn)?shù)，學(xué)生獨(dú)立分析和探究常被窒息，實(shí)際情況是教師常常越俎代庖。學(xué)生大量的時間和精力都放在練習(xí)之上，缺少必要的反思總結(jié)。往往如此，就會形成一種誤區(qū)： 數(shù)學(xué)就是要靠練，要靠做，只有多練多做了才能熟能生巧，才能將基礎(chǔ)打得更厚實(shí)。也確實(shí)如此，數(shù)學(xué)不練不做是肯定學(xué)不好的，但僅僅多練多做卻是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只有將做的內(nèi)容真正內(nèi)化為內(nèi)在的知識體系中，這才是王道。題目有千萬個，但思想方法卻是有限個的。教是了不教，教是將學(xué)習(xí)的機(jī)會留給學(xué)生，只有將學(xué)習(xí)的主體交還給學(xué)生，才能讓學(xué)生真正感受到學(xué)習(xí)的興趣和幸福感。

題型整理的根本目的是促使學(xué)生積極反思總結(jié)，在大量的題目中發(fā)現(xiàn)題目之間的共同點(diǎn)，尋找題目之間解題方法的相似之處，理解題目的本質(zhì)特征，達(dá)到會解一道題到會解一類題的效果。題型整理充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識，鼓勵學(xué)生自己學(xué)，教會學(xué)生如何學(xué)，不教學(xué)生也能學(xué)。學(xué)生的個體差異不同，勢必對問題理解也會不同，對待問題的角度也是各式各樣，最終所呈現(xiàn)的成果必定百花齊放、豐富多彩。教師可根據(jù)每個學(xué)生的實(shí)際情況，有針對性地開展精細(xì)化教學(xué)，設(shè)置合適的幫對環(huán)境，使得每個學(xué)生的內(nèi)在需求得到滿足。

題型整理的有效開展是建立在金字塔模型之上，是一個將所學(xué)的知識內(nèi)容先由薄變厚，當(dāng)訓(xùn)練量和知識儲備達(dá)到一定的程度之后，再由厚變薄的過程。教師在日常教學(xué)過程中應(yīng)積極鼓勵學(xué)生進(jìn)行題目歸類，有目的性地設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)。

學(xué)生作品：

3.命題研究的心得

3.1重視概念，注重本質(zhì)，揭示數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)核心內(nèi)容，是所有數(shù)學(xué)知識的奠基石，缺少了概念就缺乏理論依據(jù)的支撐，那么什么問題的解決都將是偽命題。數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識。學(xué)生能力的提升，其根本在于對數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。高中核心數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸。高考試題的命題，就是緊緊圍繞著這幾個思想方法，需要學(xué)生能力認(rèn)清問題的本質(zhì)，合理運(yùn)用知識能力來解決問題。

3.2知能并重，強(qiáng)調(diào)交匯，突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

自2004年浙江自主命題以來，每年的高考試卷都在有意識地強(qiáng)調(diào)著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，傳遞著一個很重要的信息：“考生盲目的題海戰(zhàn)術(shù)，做再多的題也不能考出理想的成績。高中數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生感受到基礎(chǔ)知識和基本技能的重要性，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在“看、做、想、研”的基礎(chǔ)上做題”。

目前的高中教學(xué)模式，最終的考查方式仍然是回歸于高考試題。高考試題命題的總體原則是堅(jiān)持知識立意、問題立意和能力立意并重，注重在知識交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題。盡可能將知識、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展的數(shù)學(xué)潛能。高考試題依托情境，達(dá)到體驗(yàn)、感悟和反思數(shù)學(xué)問題，強(qiáng)調(diào)通性通法和突出對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查?；A(chǔ)知識的理解和基本技能的應(yīng)用是必須考查、重點(diǎn)考查、反復(fù)考查的重點(diǎn)，在教學(xué)過程中更應(yīng)避免題海戰(zhàn)術(shù)，而是強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)問題的理解，不必過于追求一些所謂好的妙的解題方法，重心還是在于知識點(diǎn)的落實(shí)。

3.3強(qiáng)調(diào)實(shí)踐，教學(xué)相長，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)明確了“21世紀(jì)應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生什么樣的品格與能力”，可以通過引領(lǐng)和促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展，指導(dǎo)教師在日常教學(xué)中更好地貫徹落實(shí)黨的教育方針，改變當(dāng)前存在的“學(xué)科本位”和“知識本位”現(xiàn)象。新課改考改是一次挑戰(zhàn)，同樣也是一次機(jī)遇，只有將日常教學(xué)規(guī)范化、有序化、實(shí)效化，以培養(yǎng)學(xué)生能力、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主要目標(biāo)、主要任務(wù)進(jìn)行組織教學(xué)，才能跟上時代的潮流，培養(yǎng)出真正的人才。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧泠沅，課堂視野中的教師及其指導(dǎo)者[R]，2013.5.6

[2]楊小華，核心素養(yǎng)研究進(jìn)展及其前瞻[J]，觀察， 2015.9