張煥君　王光臣

摘要

隨著倒向隨機(jī)微分方程理論的不斷發(fā)展和完善，其在數(shù)理金融中的應(yīng)用越來越廣泛，隨機(jī)控制也逐漸成為研究投資組合風(fēng)險管理問題的重要方法.本文側(cè)重于展示基于不完備信息的隨機(jī)控制方法在研究期權(quán)定價、均值方差、期望效用最大化這三類投資組合問題中的簡單應(yīng)用.關(guān)鍵詞不完備信息；倒向隨機(jī)微分方程；隨機(jī)控制；期權(quán)定價；均值方差；效用函數(shù)

中圖分類號O2313

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

0引言

近些年來，金融危機(jī)頻發(fā)，導(dǎo)致了全球性的經(jīng)濟(jì)大蕭條，我國也深受其害，發(fā)生了“中航油”、“中儲棉”等一系列金融風(fēng)險暴露事件，造成了巨大的盡量經(jīng)濟(jì)損失.有效的金融風(fēng)險管理可以減少金融風(fēng)險可能造成的損失，盡量保證生產(chǎn)經(jīng)營活動免受風(fēng)險因素的干擾，因此，金融風(fēng)險管理歷來受到各國政府和學(xué)界的高度重視，并成為重要研究課題.

19世紀(jì)的偉人馬克思認(rèn)為，一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到真正完善的地步.用數(shù)學(xué)工具研究金融問題的最早嘗試可追溯到1900年法國數(shù)學(xué)家巴施利葉（Louis Bachelier）撰寫的博士學(xué)位論文《投機(jī)理論》，它試圖用布朗運(yùn)動預(yù)測巴黎股票交易所股票價格的上漲和下跌.1964年，這篇60多頁的博士論文由麻省理工學(xué)院翻譯出版，后被視為用數(shù)學(xué)工具研究金融問題的開山之作.在我國，金融數(shù)學(xué)的發(fā)展相對較晚.20世紀(jì)90年代初，山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院彭實戈院士領(lǐng)導(dǎo)的科研小組研究了境外衍生產(chǎn)品的交易規(guī)則，發(fā)現(xiàn)了我國境外期貨交易存在巨大金融風(fēng)險.出于學(xué)者的社會責(zé)任感，彭院士奮筆疾書寫了兩封信，一封經(jīng)山東大學(xué)潘承洞校長轉(zhuǎn)呈山東省副省長；另一封經(jīng)國家自然科學(xué)基金委轉(zhuǎn)呈中央財經(jīng)領(lǐng)導(dǎo)小組.彭院士在信中匯報了自己的最新研究發(fā)現(xiàn)，建議立即開展對衍生產(chǎn)品市場的風(fēng)險管理研究工作.后來，山東省立即停止了境外期貨交易，避免了大量國有資產(chǎn)的流失.國家自然科學(xué)基金委也高度重視，1996年，以彭實戈院士擔(dān)任首席科學(xué)家的“九五”重大科技公關(guān)項目“金融數(shù)學(xué)、金融工程和金融管理”正式通過了國家自然科學(xué)基金委答辯，開啟了我國用數(shù)學(xué)工具研究金融問題的新篇章.

金融數(shù)學(xué)主要是運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論和方法（如隨機(jī)分析、隨機(jī)最優(yōu)控制、數(shù)學(xué)規(guī)劃、現(xiàn)代計算方法等）對金融（投資、債券、基金、股票、期貨、期權(quán)等金融工具）的理論和實踐進(jìn)行數(shù)量的分析研究.本文側(cè)重于展示基于不完備信息的隨機(jī)控制方法在期權(quán)定價、均值方差、期望效用最大化等投資組合風(fēng)險管理問題中的簡單應(yīng)用.

期權(quán)定價是期權(quán)合約中唯一隨市場供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權(quán)交易的核心問題.1973年，Black和Scholes在其論文《期權(quán)定價及公司債務(wù)》[1]中首次提出期權(quán)的一般定價公式，同年，Black、Scholes和Merton成功求解了

偏微分方程，得到了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價的顯

式解.此后，BlackScholes公式被逐漸應(yīng)用到包括期權(quán)在內(nèi)的各類衍生產(chǎn)品定價中，并最終成為金融機(jī)構(gòu)設(shè)計金融新產(chǎn)品的重要依據(jù).為此，Scholes和Merton于1997年10月獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎（注：Black已故，無緣獲得諾貝爾獎）.1976年，Cox和Ross[2]給出了風(fēng)險中性定價方法.1981年，Harrison和Pliska[3]通過了等價鞅測度理論建立了無套利定價與風(fēng)險中性定價的聯(lián)系，這便是資產(chǎn)定價的基本定理.Delbaen和Schachermayer[45]、Jacod 和 Shiryaev[6]在更一般的隨機(jī)模型下發(fā)展了資產(chǎn)定價的基本定理.為了更好地解釋市場特性，人們進(jìn)一步推廣了幾何布朗運(yùn)動模型.主要分為兩類，一類是隨機(jī)波動率模型[710]，另一類是帶跳的隨機(jī)擴(kuò)散模型，包括泊松跳過程（Merton[11]）和一般的Levy過程（Geman等[12]、Duffie等[13]）.2007年，吳臻和王光臣[14]研究了不完備信息下股票付息且存貸款利率不同的期權(quán)定價問題，給出了BlackScholes期權(quán)定價公式.

投資組合選擇的基本問題是如何將財富分配到不同的資產(chǎn)中以達(dá)到分散風(fēng)險、確保收益之目的.均值方差理論以及效用函數(shù)是處理投資組合問題的兩個不同工具，由效用函數(shù)決定的投資組合，一般情況下不是均值方差有效的，但二次效用函數(shù)除外[15].關(guān)于均值方差與效用函數(shù)的具體比較，可參見文獻(xiàn)[1620].這一領(lǐng)域的開創(chuàng)工作可追溯到1952年Markowtiz[21]提出的均值方差分析方法，這種方法被普遍認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)、分析金融學(xué)的開端，Markowtiz也因此獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎.值得注意的是，絕大多數(shù)關(guān)于投資組合的研究均假設(shè)投資者準(zhǔn)確地知道金融市場上的所有信息，例如，資產(chǎn)收益率的期望和方差等，這種假設(shè)與現(xiàn)實不符，其產(chǎn)生的偏差往往會給投資組合的選擇帶來風(fēng)險.效用函數(shù)是建立在公理體系上的一套決策理論[22]，在不確定性決策中被廣泛使用.Merton在20世紀(jì)60年代使用效用函數(shù)來刻畫投資者的風(fēng)險態(tài)度，利用隨機(jī)控制方法，給出了在此條件下的最優(yōu)投資消費(fèi)選擇策略.Berkelaar等[23]使用鞅方法研究了Kahnerman提出的帶有分片指數(shù)型效用函數(shù)的動態(tài)投資組合問題.Jin和Zhou[24]研究了帶有概率扭曲的分片效用函數(shù)的投資組合問題.近半個世紀(jì)以來，Merton模型被眾多學(xué)者不斷改進(jìn)使其更貼近現(xiàn)實.例如，Gennote[25]充分考慮了股票收益率、波動率的不完全可知性，將Kalman最優(yōu)濾波和隨機(jī)最優(yōu)控制相結(jié)合，研究了不完備信息下的最優(yōu)投資組合問題.Xiong和Zhou[26]進(jìn)一步證明了最優(yōu)估計與最優(yōu)投資策略的可分離性.但在通常情況下這種分離性并不成立.最近，Wang和Wu[27]提出了倒向分離方法，克服了傳統(tǒng)分離方法的應(yīng)用局限，適用于研究一大類復(fù)雜的隨機(jī)控制系統(tǒng)問題.相關(guān)內(nèi)容可參見文獻(xiàn)[2830].

本文安排如下：首先給出幾個記號并介紹一些預(yù)備知識；然后分別介紹隨機(jī)控制方法在期權(quán)定價、均值方差和基于效用函數(shù)的最優(yōu)投資組合問題中的簡單應(yīng)用；最后概括全文，并展望未來.

1預(yù)備知識

相對于經(jīng)典的（正向）隨機(jī)微分方程（以下簡稱SDE）而言，BSDE的研究起步很晚，究其原因是SDE與BSDE在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上存在本質(zhì)差別，這使得BSDE不能由SDE經(jīng)時間逆轉(zhuǎn)變換得到.1994年，法國著名金融數(shù)學(xué)家EI Karoui教授用BSDE研究了證券市場中許多重要的衍生產(chǎn)品定價問題，發(fā)現(xiàn)BlackScholes公式僅為線性BSDE的特殊形式.此后，BSDE相關(guān)理論及在隨機(jī)控制、隨機(jī)微分對策、隨機(jī)偏微分方程中的應(yīng)用，特別是在金融工程、保險精算中的應(yīng)用，已成為一個研究熱點(diǎn).

13隨機(jī)濾波

濾波是將信號中特定波段頻率濾除的操作，是抑制和防止干擾的一項重要措施.濾波問題的研究對象是信號過程和觀測過程，最優(yōu)濾波就是根據(jù)能觀測到且可利用的信息對信號過程進(jìn)行的最佳估計.20世紀(jì)60年代初，Kalman和Bucy發(fā)表了一篇題為《線性濾波和預(yù)測理論的新成果》的論文，提出了一種新的線性濾波理論，這就是所謂的Kalman濾波，它是一種從受噪聲干擾的量測中估計線性動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)的有效遞歸算法.

當(dāng)信號過程滿足非線性動態(tài)系統(tǒng)時，相應(yīng)的狀態(tài)估計問題就稱之為非線性濾波.連續(xù)時間情形下非線性濾波問題的經(jīng)典構(gòu)造是假設(shè)狀態(tài)方程為一擴(kuò)散過程，觀測過程為由另一布朗運(yùn)動驅(qū)動的擴(kuò)散過程.對于這種非線性濾波問題，20世紀(jì)60年代涌現(xiàn)出許多重要結(jié)果，例如Stratonovich最優(yōu)濾波、Kushner方程、DuncanMortensenZakai方程等.關(guān)于非線性濾波的最新進(jìn)展，請參見文獻(xiàn)[32].

2期權(quán)定價問題

21期權(quán)定價的相關(guān)知識

期權(quán)是指一種在未來某特定時間以特定價格買入或者賣出一定數(shù)量的某種特定商品的權(quán)利.期權(quán)有投機(jī)、保值和對沖風(fēng)險等作用，投資者可以通過一個定價模型來限定買權(quán)的價格范圍.合理的定價能有效地規(guī)避風(fēng)險.因此，期權(quán)定價是期權(quán)交易中的核心問題.

1973年，Black和Scholes提出了著名的BlackScholes[1]期權(quán)定價公式，它是期權(quán)定價理論中的里程碑式結(jié)果.BlackScholes公式的推導(dǎo)及運(yùn)用受到一系列條件的約束，例如標(biāo)的資產(chǎn)價格S（t）服從對數(shù)正態(tài)分布、無風(fēng)險利率r為常數(shù)、不支付交易費(fèi)和稅收等，這些過于嚴(yán)格的假設(shè)與現(xiàn)實存在較大差距，使其在理論和應(yīng)用上存在缺陷.例如BlackScholes公式無法求解美式期權(quán)定價問題.繼BlackScholes公式之后，各種不同的期權(quán)定價模型紛紛被提出，Harrison和Kreps[33]提出了一種鞅定價方法，在風(fēng)險中性條件下，通過對該產(chǎn)品的未來現(xiàn)金流進(jìn)行折現(xiàn)得到期權(quán)的價格.此外，也有一些學(xué)者對BlackScholes公式進(jìn)行不同程度的修正，提出了許多推廣模型，例如跳躍擴(kuò)散模型、Levy過程模型、指數(shù)Levy過程模型、隨機(jī)波動率模型等.這些模型的推導(dǎo)大多沒有用到BSDE，接下來將介紹幾個基于BSDE方法的期權(quán)定價模型.這些結(jié)果主要取自文獻(xiàn)[14，34].

22基于BSDE的期權(quán)定價模型

BSDE具有良好的動態(tài)性，可以用來研究投資組合以及期權(quán)定價問題.下面給出一種利用BSDE對歐式期權(quán)進(jìn)行定價的方法.

3均值方差問題

Markowitz[21]使用方差來刻畫風(fēng)險，提出了著名的均值方差模型，開啟了投資組合研究的大門.均值方差問題主要包括離散時間和連續(xù)時間兩種情形，本節(jié)主要介紹隨機(jī)控制方法在連續(xù)時間均值方差投資組合問題中的簡單應(yīng)用.

31基于完備信息、連續(xù)時間情形的均值方差問題

由于方差在動態(tài)規(guī)劃意義下不可分離，如何將Markowitz最早提出的均值方差模型推廣到動態(tài)投資的框架下一直是個難題.2000年，Li和Ng[36]、Zhou和Li[37]將嵌入法引入該問題的研究，終于解決了方差不可分離這一難題.在此基礎(chǔ)上，后續(xù)的連續(xù)時間均值方差模型的研究致力于解決更復(fù)雜的情形.例如隨機(jī)機(jī)會集合的問題[38]、局域跳變的問題、不允許賣空的問題[39]等.需要注意的是，Zhou和Li[37]提出的動態(tài)均值方差投資策略并不滿足時間一致性，即投資策略在任意時間點(diǎn)上并非最優(yōu).最近，Bjrok等[40]利用隨機(jī)博弈思想提出了不同方法解決了動態(tài)均值方差問題的時間一致性問題.

32基于不完備信息的均值方差問題

研究不完備信息下的均值方差問題更符合實際情況.最近，Wang和Wu[41]研究了不完備信息和非Markov控制系統(tǒng)下的均值方差問題，推出了線性二次問題的最優(yōu)控制，得到了正倒向隨機(jī)微分濾波方程，并求解了一些隨機(jī)控制與金融投資例子.現(xiàn)概述如下：

基本假設(shè)如11節(jié)所述，市場上有1只債券和m只股票，其價格滿足方程（1），投資者的財富過程Xπ（t）滿足方程（3）.若假定初始財富為Xπ（0）=X0>0，則Xπ（t）滿足

dXπ （t）=r（t）Xπ （t）+∑mi=1（μi（t）-r（t））πi（t）dt+

∑mi=1σi（t）πi（t）dWi（t），Xπ（0）=X0. （14）

一般而言，投資者不可能獲知市場上的所有信息，不失一般性，令Gt表示投資者在t時刻所能觀測的所有信息，顯然GtFt.對于投資者來說，他只能根據(jù)Gt選擇一個最優(yōu)的投資組合.

4基于效用函數(shù)的最優(yōu)投資組合問題

自Merton在20世紀(jì)60年代末提出投資消費(fèi)模型至今，最大化期望效用問題已有比較系統(tǒng)的研究，但大多假定風(fēng)險資產(chǎn)價格動態(tài)方程中的布朗運(yùn)動W以及漂移系數(shù)可直接觀測，這顯然不符合實際，因為投資者掌握的信息不可能是布朗運(yùn)動W生成的σ域Ft，而是其中的一部分.同第23節(jié)一樣，假定投資者僅能觀測到股票價格，其生成的信息流仍記為Gt，顯然只有Gt-適應(yīng)的過程才是可觀測的.基于信息流Gt，Alster和Belanger[43]、Lakner[44]運(yùn)用鞅方法研究了最優(yōu)投資問題，但他沒有給出投資策略的顯式解.楊招軍和黃立宏[45]、吳臻和王光臣[14]在一些特殊條件下獲得了解析的最優(yōu)投資策略.關(guān)于其他進(jìn)展，請參見文獻(xiàn)[46].現(xiàn)重點(diǎn)闡述文獻(xiàn)[14]取得的部分結(jié)果.

定義3若一個函數(shù)f（x）在（0，∞）上連續(xù)可微、嚴(yán)格增、嚴(yán)格凹，且滿足Inada條件

df（x）dxx=0=limx↓0df（x）dx=+∞，df（x）dxx=+∞=limx→+∞df（x）dx=0，

則稱f（x）為效用函數(shù).

定義4若對任意的0≤t≤T都有Xπ （t）≥0且E∫T0π2 （t）dt<∞成立，則稱投資策略π（t）關(guān)于初始財富X0是容許的. 我們把所有容許投資策略組成的集合記為Uad.

基本假設(shè)同11節(jié)，股票與債券的價格動態(tài)滿足方程（1），假設(shè)投資者具有初始財富X0，在任意時刻t，投資者的財富Xπ（t）滿足方程（5）.考慮到部分信息的特點(diǎn)，股票收益率μ（t）必須Gt適應(yīng).

5小結(jié)

本文側(cè)重于展示隨機(jī)控制方法在期權(quán)定價、均值方差、基于效用函數(shù)的投資組合風(fēng)險管理問題中的簡單應(yīng)用.隨著金融衍生產(chǎn)品的不斷開發(fā)，大量的隨機(jī)控制新問題涌現(xiàn)出來.例如完全耦合正倒向隨機(jī)系統(tǒng)濾波與控制問題，時間不一致的隨機(jī)最優(yōu)控制問題等，這些問題都非常值得深入研究，其研究反過來將為管理投資組合風(fēng)險提供有效方法.

致謝：非常感謝肖華副教授給予本文的指導(dǎo)性修改建議與意見.

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AbstractThe backward stochastic differential equation theory has been developed and improved in recent years，and then it is widely used in mathematical finance.Meanwhile，the stochastic control has become an important method to study the portfolio risk management problem.In this paper，we focus on how to study option pricing，meanvariance and expected utility maximization problems by using the stochastic control method with incomplete information.

Key wordsincomplete information；backward stochastic differential equations；stochastic control；option pricing；meanvariance；utility function