李曉芳++路佳佳

摘 要隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，三維重建技術(shù)早已成為計(jì)算機(jī)視覺研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一，它的目標(biāo)是利用多幅二維圖像來恢復(fù)空間三維場景的幾何結(jié)構(gòu)。本文介紹了一種基于兩幅圖像的三維重建方法，即在已知攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)及對應(yīng)兩幅圖像的前提下，通過特征檢測、特征提取與匹配、本質(zhì)矩陣的分解，進(jìn)而運(yùn)用三角測量原理得到三維坐標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】三維重建 特征檢測 特征提取 特征匹配 三角化原理

計(jì)算機(jī)視覺是一門融合了數(shù)字圖像處理、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、模式識別、神經(jīng)生物學(xué)等研究成果的學(xué)科，它的研究目的就是使計(jì)算機(jī)具有通過二維圖像認(rèn)知三維環(huán)境信息的能力。隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，計(jì)算機(jī)視覺的應(yīng)用越來越受到廣泛的重視。其主要應(yīng)用領(lǐng)域有：視覺監(jiān)控；工業(yè)應(yīng)用，如視覺機(jī)器人導(dǎo)航；航空應(yīng)用，如基于視覺的遙控；虛擬現(xiàn)實(shí)中的基于視覺的建模；考古中的應(yīng)用，如古遺址的復(fù)原；通訊中的應(yīng)用，如可視電話中的建模等。

在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中，根據(jù)圖像信息對物體進(jìn)行三維重建一直是研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一。它在視頻游戲、虛擬場景漫游、物體識別等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用?；趫D像的三維重建技術(shù)所需要的成本低，具有很大的靈活性，又能達(dá)到簡單的三維建模功能。依據(jù)是否已知攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)，基于二維圖像的三維重建方法可劃分為兩類：基于標(biāo)定圖像的方法和基于未標(biāo)定圖像的方法?；谖礃?biāo)定圖像的三維重建方法只依賴圖像間的特征匹配，就可以恢復(fù)不同視圖的幾何約束關(guān)系。

本文研究的是第一類方法，在已知攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)及對應(yīng)的兩幅圖像的條件下進(jìn)行三維重建，得到一些稀疏點(diǎn)的三維坐標(biāo)。主要分為七部分：

（1）攝像機(jī)內(nèi)、外參數(shù)（即投影矩陣）；

（2）特征提取與特征匹配；

（3）基本矩陣和本質(zhì)矩陣；

（4）本質(zhì)矩陣的分解；

（5）三角化測量原理；

（6）三維重建的算法流程；

（7）總結(jié)。

1 攝像機(jī)內(nèi)、外參數(shù)

攝像機(jī)成像原理與小孔成像原理一樣，從三維空間到二維空間的映射滿足投影方程：

x=K[R|t]X （1）

其中x—圖像上的點(diǎn)的齊次坐標(biāo)；X—空間點(diǎn)的齊次坐標(biāo)；K—攝像機(jī)的內(nèi)參數(shù)矩陣； R—攝像機(jī)坐標(biāo)系相于世界坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；t—攝像機(jī)坐標(biāo)系相于世界坐標(biāo)系的平移矩陣。

1.1 攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)

攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)矩陣為

（2）

這5個參數(shù)與攝像機(jī)運(yùn)動無關(guān)，其中（x0，y0）為主點(diǎn)坐標(biāo)，s為斜性因子，αx為x軸的尺度因子，βy為y軸的尺度因子。

本文是在已知攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)的情況下進(jìn)行三維重建，故這里不討論K的求法。

1.2 攝像機(jī)外參數(shù)

（1）式中的 R和t統(tǒng)稱為攝像機(jī)的外參數(shù)，即攝像機(jī)相對于世界坐標(biāo)系的相對運(yùn)動。

1.3 攝像機(jī)矩陣

令P=K[R|t] （3）

（3）式中的P稱為投影矩陣或攝像機(jī)矩陣。三維重建的過程也就是求攝像機(jī)矩陣（或攝像機(jī)內(nèi)、外參數(shù)）的過程。

2 特征檢測與特征匹配

用同一個攝像機(jī)對同一場景從不同角度、不同位置成兩幅圖像，對這兩幅圖像進(jìn)行特征提取與匹配，得到的匹配數(shù)據(jù)將作為后續(xù)空間稀疏點(diǎn)重建的輸入，以完成三維重建。

2.1 特征檢測

特征點(diǎn)是圖像中亮度變化劇烈或圖像邊緣曲線上曲率的極大值點(diǎn)，它同周圍的鄰近點(diǎn)有著明顯差異。特征檢測的方法有很多：Harris角點(diǎn)檢測，Harris-Laplace算法，Hessian-Laplace算法，Harris-Affine算法，Hessian-Affine算法，MSER算法，SIFT算法等。

本文運(yùn)用SIFT算法進(jìn)行特征檢測，SIFT（尺度不變特征變換）是由Lowe提出的一種局部特征描述算子，具有尺度、旋轉(zhuǎn)、平移的不變性，而且對光照變化、仿射變換和三維投影變換具有一定的魯棒性。

SIFT算法的主要思想是在尺度空間尋找極值點(diǎn)，然后對極值點(diǎn)進(jìn)行過濾，找出穩(wěn)定的特征點(diǎn)。最后在每個穩(wěn)定的特征點(diǎn)周圍提取圖像的局部特性，形成局部描述子并將其用在以后的匹配中。其主要步驟有：檢測尺度空間的極值點(diǎn)；抽取穩(wěn)定的關(guān)鍵點(diǎn)；為每個關(guān)鍵點(diǎn)指定一個或者多個方向；生成特征點(diǎn)描述子。

2.2 特征匹配

一個特征在特征數(shù)據(jù)庫中匹配可以使用最近鄰的方法，而最近鄰定義為特征向量的歐氏距離。然而會有很多的錯誤匹配出現(xiàn)。所以沒有和數(shù)據(jù)庫中特征很好的匹配的特征點(diǎn)可以被忽略掉。考慮一種方法是對最近鄰的歐氏距離設(shè)定一個全局的閾值，實(shí)驗(yàn)表明這種方法的效果并不是很好，因?yàn)橛行┨卣骶哂泻軓?qiáng)的區(qū)分性，而另一些則要弱一些，所以全局的閾值不合適。另一種方法是利用最近鄰和次最近鄰的相對值。

3 基本矩陣和本質(zhì)矩陣

3.1 基本矩陣

兩幅圖像之間的基本矩陣是極幾何的代數(shù)刻畫。對于兩幅圖像上的一對匹配點(diǎn)xx'，滿足：x'T Fx=0 （4）

式中F稱為基本矩陣或基礎(chǔ)矩陣?；揪仃嘑由兩幅圖像的攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)決定，一般采用八點(diǎn)算法或改進(jìn)的RANSAC八點(diǎn)算法。

3.2 本質(zhì)矩陣

本質(zhì)矩陣E僅與攝像機(jī)的運(yùn)動有關(guān)，在相差一個非零因子的意義下可以表示為：

E=[t]×R=R[RT t]× （5）

本質(zhì)矩陣和基本矩陣之間滿足下述關(guān)系：

E=K'T FK （6）

根據(jù)給定的攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)K和已經(jīng)求出的基本矩陣F，通過式（6）即可求出本質(zhì)矩陣E。

4 本質(zhì)矩陣的分解

對前面求得的本質(zhì)矩陣E進(jìn)行SVD分解，設(shè) E=UAVT （7）

定義一個正交矩陣W和一個反對稱矩陣Z，

（8）

對E進(jìn)行因式分解，即E=TRj，其中T=UZUT，而R1=UWVT或R2=UWVT。

令t為U的第三列元素組成的向量，將世界坐標(biāo)系設(shè)在第一個攝像機(jī)坐標(biāo)系下，即設(shè)第一幅圖像的攝像機(jī)矩陣為 P=C[I|0] （10）

此時，第二個攝像機(jī)矩陣P'則有四種可能，即

P'=[R1|t] 或P'=[R1|-t] 或P'=[R2|t] 或 P'=[R2|-t] （11）

這四個P'中只有一個使得三維重建后的點(diǎn)均落在兩個攝像機(jī)前方，即滿足

x3X4>0且x'3X4>0 （12）

滿足式（12）的P'即為所求的第二個攝像機(jī)矩陣。

通過本質(zhì)矩陣E的SVD分解恢復(fù)了R和t，即兩個攝像機(jī)的相對位移和旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而恢復(fù)了兩個攝像機(jī)矩陣，即

P=K[I|0]和P'=K[R|t] （13）

5 三角化原理

根據(jù)前面求出的攝像機(jī)投影矩陣P和P'，及兩幅圖像的對應(yīng)點(diǎn)x和x'，可以計(jì)算出空間點(diǎn)X的三維坐標(biāo)。根據(jù)三角化原理，對應(yīng)點(diǎn)x和x'的反投影線與攝像機(jī)之間的基線構(gòu)成一個三角形，兩條反射線必相交于空間中一點(diǎn)，該點(diǎn)處于兩臺攝像機(jī)光心和投影點(diǎn)的延長線上，即空間點(diǎn)X。

空間點(diǎn)X的坐標(biāo)求解如下：

攝像即投影矩陣：

（14）

對應(yīng)點(diǎn)x=[x，y，1]T，x'=[x'，y'，1]T （15）

根據(jù)λx=PX，得（λx）×（PX）=0，即 xP3T X-P1T X=0 （16）

yP3T X-P2T X=0 （17）

xP2T X-yP1T X=0 （18）

這樣就得到一等式Ax=0，其中

（19）

然后通過最小二乘法即可解得三維坐標(biāo)X。

6 三維重建的算法流程

（1）給定攝像機(jī)的內(nèi)參K，并用該攝像機(jī)生成兩幅同一場景不同角度的圖像；

（2）利用SIFT方法對兩幅圖像進(jìn)行特征檢測，并對其特征匹配；

（3）利用匹配點(diǎn)，使用RANSAC的八點(diǎn)算法計(jì)算基本矩陣F；

（4）利用攝像機(jī)內(nèi)參數(shù)K和基本矩陣F求出本質(zhì)矩陣E；

（5）對E進(jìn)行SVD分解，從而恢復(fù)兩個攝像機(jī)矩陣P和P'；

（6）依據(jù)投影矩陣，用三角化法重建出三維點(diǎn)。

7 總結(jié)

本文介紹了一種基于兩幅圖像的空間稀疏點(diǎn)的三維重建的原理，總結(jié)了基于兩幅圖像的三維重建算法流程。

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作者簡介

李曉芳（1987-），女，山西省忻州市人。山西大學(xué)研究生碩士，助教。研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)視覺、圖像處理。

作者單位

山西工商學(xué)院 山西省太原市 030006