羅海林, 尹 鳳, 黃光鑫

(1.成都理工大學 管理科學學院，成都 610059；2.四川理工學院 理學院，四川 自貢 643000)

具有不完全測量數(shù)據(jù)和無溢出現(xiàn)象的實二次模型修正問題的解

羅海林1, 尹 鳳2, 黃光鑫1

(1.成都理工大學 管理科學學院，成都 610059；2.四川理工學院 理學院，四川 自貢 643000)

二次模型修正問題來自于振動工程，本文旨在解決具有不完全測量數(shù)據(jù)和無溢出現(xiàn)象的實二次模型修正問題。利用矩陣分塊和矩陣列向量的方法，分別給出了實二次模型修正問題的可解條件和解的參數(shù)表達式，并給出了該問題的一個求解算法，最后給出了一個數(shù)值實例。數(shù)值實例說明所提出的方法的有效性，即利用測量到的部分譜信息修正一個實二次模型，使未被觀測到的譜信息保持不變。

二次模型；模型修正；無溢出現(xiàn)象

本文研究具有不完全測量數(shù)據(jù)和無溢出現(xiàn)象的實二次有限元模型修正問題。二次有限元模型修正問題常出現(xiàn)在振動工程中，該問題修正如下振動結(jié)構(gòu)形式的有限元生成模型

(1)

其中：M0,C0和K0分別是質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，這些矩陣滿足如下二次束

Q0(λ)=λ2M0+λC0+K0

(2)

其中：特征值λ與自然頻率相關(guān)，特征向量是系統(tǒng)(1)的模態(tài)振型。通常情況下，M0,C0和K0是實對稱的。系數(shù)矩陣M0,C0和K0滿足線性代數(shù)系統(tǒng)

M0XΛ2+C0XΛ+K0X=0

(3)

數(shù)學上，具有不完全測量數(shù)據(jù)和無溢出現(xiàn)象的實二次有限元模型修正問題可以描述如下。

問題Ⅰ(實二次模型修正問題) 給定原始二次模型(M0,C0,K0)和少量特征對(Λ1,X1)，在這里Λ1∈Rp×p和X1∈Rn×p,p?n且p為偶數(shù)。設(shè)新測得的特征對為(Σ,Y),在這里Σ∈Rp×p和Y∈Rp×p。修正二次模型(M0,C0,K0)到一個新的二次模型(M,C,K),使得

(2)(M,C,K)中其余的2n-p個特征對與原始模型(M0,C0,K0)中的特征對保持一致。

在問題Ⅰ中，(1)為部分測得的特征對數(shù)據(jù)，(2)為無溢出條件。修正后模型(M,C,K)滿足(1)和(2)兩個條件，故稱問題Ⅰ為具有不完全測量譜數(shù)據(jù)和無溢出現(xiàn)象的實二次模型修正問題。

在過去這些年里有大量關(guān)于無溢出的二次模型修正問題的成果。在文獻[1]中，采用了一種全新的方法——近似逼近來求解二次模型修正問題；文獻[2]用了迭代算法解決無阻尼系統(tǒng)下的二次模型修正問題；文獻[3]用到迭代算法解決了二次模型修正問題；文獻[4]求解了模型λ2M0+K0中的對稱矩陣K的參數(shù)表達式，并且滿足無溢出條件；在文獻[5]中，發(fā)現(xiàn)了一個低階二次模型修正問題的算法，僅僅測得特征向量數(shù)據(jù)，使修正后的模型保持對稱性和無溢出條件；文獻[6]提出了無溢出現(xiàn)象一套完整理論；文獻[7]給出了一種直接求解有限元模型修正問題的新方法。通過構(gòu)造低階二次數(shù)，使得修正后的模型保持無溢出與M和K正定(或半正定)。文獻[8]采用最佳逼近方法求解無阻尼系統(tǒng)下的二次模型修正問題，使得修正后的模型保持物理連接性和滿足無溢出條件。文獻[9]研究的是阻尼陀螺系統(tǒng)下的二次模型修正問題，給定矩陣M,C和K都是對稱的(其中M和K是正定矩陣)，矩陣G和N是反對稱的，使得修正后的模型保持原有結(jié)構(gòu)(即對稱性或反對稱性和正定性)。文獻[10]考慮的是質(zhì)量矩陣M0確定和無阻尼的二次模型修正問題，采用矩陣線性變分不等式的方法修正剛度矩陣，使得修正后的剛度矩陣K改變最少，并且保持對稱性、正定性和稀疏性。

1 問題Ⅰ的可解條件

在這一節(jié)中，我們首先給出了2個引理；然后，我們給出了問題Ⅰ的可解條件。

引理1[11]給定測量特征對(Σ,Y)∈Rp×p，無溢出的二次有限元模型更新問題可解，當且僅當存在一個可逆矩陣T∈Rp×p和矩陣DΣ，使得

Y=X1T

(4)

和

(5)

引理2[11]如果(M,C,K)是無溢出的二次有限元模型修正問題的解，那么

(6)

(7)

(8)

其中Φ=ΦT∈Rp×p滿足西爾維斯特方程

=(Λ1-Θ)TM1+M1(Λ1-Θ)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

使得引理1成立。

證明 設(shè)Y=Yij(i=1,2,3,4;j=1,2)。將X1和T分塊為

(14)

因為Y12,Y21,Y31,Y32被測得，由(14)式有

Y12=X11T12+X12T22

Y21=X21T11+X22T21

Y31=X31T11+X32T21

Y32=X31T12+X32T22

由以上4個等式得

(15)

ATτ=Yτ

(16)

因此，解方程(16)也等于求解方程(15)，那么就有

(17)

(18)

由(18)式得

(19)

由(19)得

(20)

又因為

(21)

由(20)和(21)我們得到

(22)

又因為引理1在文獻[11]中已證得，所以我們得到存在可逆矩陣T使得引理1成立。證畢。

2 問題Ⅰ的解

在這一節(jié)中，我們首先給出vec(Φ)的參數(shù)解；然后,給出vec(M)、vec(C)和vec(K)的參數(shù)解的表達式；最后給出了問題Ⅰ的一種求解算法。

vec(Φ)=[(Ip?B)+(B?Ip)]-1vec(D)

(23)

(24)

BΦ+ΦBT=D

(25)

其中：B∈Rp×p,D∈Rp×p且D=DT。

由克羅內(nèi)克積得

vec(BΦ)=(Ip?B)vec(Φ)

(26)

vec(ΦBT)=(B?Ip)vec(Φ)

(27)

由(25)式得

vec(BΦ)+vec(ΦBT)=vec(D)

(28)

結(jié)合(26)、(27)和(28)式有

vec(D)=(Ip?B)vec(Φ)+(B?Ip)vec(Φ)

當Ip?B+B?Ip可逆時,那么(23)式成立。

下面，我們利用矩陣列向量的方法，將引理2列向量化得出vec(M)，vec(C)和vec(K)的解。

定理3 如果(M,C,K)是問題Ⅰ的解,那么

(29)

(30)

(31)

其中vec(Φ)由定理1確定。

下面我們將找出一種算法去求解問題Ⅰ。

算法1 問題Ⅰ的求解算法

(1)輸入：①對稱有限元模型(M0,C0,K0)； ②被測量的實驗數(shù)據(jù)Σ∈Rp×p和Y∈Rn×p；③相應(yīng)的特征對Λ1∈Rp×p和X1∈Rn×p。

(2)計算過程：

①如果定理1成立,那么我們由(10)、(11)、(12)和(13)式計算可逆矩陣T11,T12,T21,T22；否則問題Ⅰ不可解，運行結(jié)束。

③將vec(Φ)的解代入(29)、(30)和(31)式，求得vec(M)、vec(C)和vec(K)的解，運行結(jié)束。

(3)輸出：無解或向量vec(M)、vec(C)和vec(K)的解。

3 數(shù)值實例

已知模型Q0(λ)=λ2M0+λC0+K0。其中：矩陣M0,C0,K0(M0和K0正定)分別為

因為M0正定，二次模型Q0(λ)有10個特征值。首先，我們要計算10個特征對(Λc,Xc)。計算得到需要更新部分的特征對為

(Λ1,X1)是由Q0(λ)的10個特征對中選出的2個。被測量的頻率和陣型的對應(yīng)矩陣表示為

由算法1求得矩陣T11，T12，T21，T22和列向量vec(Φ)

T11=-0.73543，T12=-0.56673，

T21=-0.16357，T22=-0.53524

驗證：計算(Σ,Y)和(Λ,X)的相對殘差為

=1.22×10-13

和

=5.964×10-14

4 總 結(jié)

本文研究了具有不完全測量數(shù)據(jù)和無溢出的實二次模型修正問題，分別給出了該問題的可解條件和參數(shù)表達式。

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Solution to real quadratic model updating problems with incompletely measured data and no spillover

LUO Hailin1, YIN Feng2, HUANG Guangxin1

1.CollegeofManagementScience,ChengduUniversityofTechnology,Chengdu610059,China; 2.SchoolofScience,SichuanUniversityofScienceandTechnology,Zigong643000,China

This paper aims to solve the real quadratic model updating problems with incompletely measured data and no spillover which usually appears in vibration engineering. By using the method of partitioned matrix and the columns of the matrix, the solvable conditions and parameter expression of the solution for the real quadratic model updating problem are proposed and an algorithm is constructed for the solutions of the problem. Finally a numerical example is given to illustrate the effectiveness of the proposed method. It shows that the real quadratic model updating problems can be updated by part of the spectral information measured, at the same time, remains the rest spectrum information unchanged.

real quadratic model; model updating; no spillover

10.3969/j.issn.1671-9727.2017.03.10

1671-9727(2017)03-0368-05

2016-06-06。

國家自然科學基金項目(11501392); 四川省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)項目(2016JY0249); 四川省高校重點實驗室開放基金項目(2015QZJ02)。

羅海林(1989-)，男，碩士研究生，研究方向：計算數(shù)學, E-mail:18781946224@163.com。

O321

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