王 宇

(成都理工大學 信息科學與技術學院，成都 610059)

一個緊湊的素數(shù)分布規(guī)律

王 宇

(成都理工大學 信息科學與技術學院，成都 610059)

素數(shù)規(guī)律不能精確地描述，但可以用閾值的方式對素數(shù)規(guī)律進行描述。本文介紹了一個迄今最緊湊的素數(shù)分布定律：在連續(xù)奇素數(shù)序列中，假定p、q是2個臨近的奇素數(shù),p

素數(shù)；分布；連續(xù)奇合數(shù)；緊湊

1 概 述

如果說數(shù)論是數(shù)學的皇冠，則素數(shù)理論為皇冠上的珠寶。諸如哥德巴赫猜想、孿生素數(shù)分布這樣的數(shù)論猜想極大地豐富了數(shù)論領域。數(shù)論領域的一個重要研究方向為素數(shù)的分布[1-3]。

素數(shù)分布的研究思路主要有2類，一類是平均分布，代表是素數(shù)定理，以漸進公式表示；另外一類是素數(shù)間隔上限，等價于最大連續(xù)奇合數(shù)個數(shù)，代表為伯特蘭-契比雪夫定理，還有3個猜想，為Legendre猜想[4]、Oppermann猜想[5]、Andrica猜想[6]。

伯特蘭-切比雪夫定理是指1845年約瑟·伯特蘭提出的猜想。1850年切比雪夫證明了這個猜想。拉馬努金給出較簡單的證明，而保羅·艾狄胥則借二項式系數(shù)給出了另一個簡單的證明。 伯特蘭-切比雪夫定理的描述是：給定整數(shù)n> 3，則至少存在一個質(zhì)數(shù)p，符合n1，存在一個質(zhì)數(shù)p，符合n

Legendre猜想[4]就是，對于自然數(shù)n，在區(qū)間[n2, (n+1)2]必定存在一個素數(shù)。 它是Landau數(shù)論難題中的第三個。

Oppermann猜想[5]則是，對于n>1的整數(shù)，在下列2個區(qū)間各存在至少1個素數(shù)：[n(n-1),n2]和[n2,n(n+1)]。

本文屬于第二類情況，即考慮素數(shù)分布上限值，所給出的范圍，將比上面提到的定理和猜想把素數(shù)的密度限制在更窄的范圍內(nèi)。

本文提到的素數(shù)定理和伯特蘭-切比雪夫定理是經(jīng)過證明為正確的，為定理；而Legendre猜想，Oppermann猜想，Andrica猜想以及本文提出的定律，還有哥德巴赫猜想，是從客觀大量實例總結(jié)出來的結(jié)論，目前難以證明；它們中的某個定律一旦被證明，則一系列相關問題將得到解決，在該領域帶來重大影響。

本文中符號的含義如下：g ——奇數(shù); p, q ——相鄰的2個奇素數(shù), p

2 最大連續(xù)奇合數(shù)個數(shù)

除2外，所有的素數(shù)都是奇數(shù)。我們關注的問題是：間隔多少個奇數(shù)后必定有一個奇素數(shù)呢？這個問題，換個角度就是，間隔多少個奇合數(shù)后，必定存在一個奇素數(shù)？為方便描述該問題，我們先給出幾個定義。

定義1 奇數(shù)序列指1, 3, 5, 7, 9, 11, …。但是1既不是素數(shù)，也不是合數(shù)，所以本文只研究大于等于3的奇數(shù)序列。定義不小于3的奇數(shù)序列X為不小于3的奇數(shù)組成：3, 5, 7, 9, 11, …; 該序列上奇數(shù)g對應的位置號w(g)，其值分別為1, 2, 3, 4, 5, …; 即w(3)=1, w(5)=2, w(7)=3, w(9)=4, …, w(g)=(g-1)/2。w(g)數(shù)值的含義為不小于3且不大于g的奇數(shù)個數(shù)。

可得

(A)

所有的奇素數(shù)都大于等于3，所有的奇合數(shù)都大于等于3。所以重點關注不小于3的奇數(shù)，為區(qū)別，記不小于3的奇數(shù)序列為大寫字母X。

定義2 素數(shù)序列為2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …。其中只有2是偶數(shù)，其余所有的素數(shù)都是奇數(shù)。奇素數(shù)序列為素數(shù)序列中大于2從小到大排列的素數(shù)，即3, 5, 7, 11, 13, 17, …。該序列上奇素數(shù)p對應的位置號V(p)的值分別為1, 2, 3, 4, 5, …； 即V(3)=1,V(5)=2,V(7)=3,V(11)=4, …。V(p)數(shù)值的含義為不大于p的奇素數(shù)個數(shù)。

若p和q是奇素數(shù)序列中2個相鄰奇素數(shù)，且q>p，則有V(q)=V(p)+1。例如V(11)=V(7)+1。

定義3 假設p為一個奇素數(shù)，則稱所有的p×a(表示p乘以a,a為大于1的奇數(shù))為p所產(chǎn)生的奇合數(shù)。

根據(jù)定義,p所產(chǎn)生的奇合數(shù)有3p, 5p, 7p, 11p, …即為奇數(shù)序列X中各個奇數(shù)與p的乘積，包含了p的大于1的奇數(shù)倍數(shù)。

根據(jù)上面的性質(zhì)，馬上又可以得到：

性質(zhì)2 奇素數(shù)序列3, 5, 7, 11, …, p, q；即p和q是奇素數(shù)序列中2個相鄰奇素數(shù)， p≤q-2。不小于3的奇數(shù)序列X在區(qū)間[p2,q2)之間的任何一個奇合數(shù)g都能被一個不大于p的奇素數(shù)整除，即[p2,q2)內(nèi)任何一個奇合數(shù)g除以不大于p的各個奇素數(shù)，至少一個余數(shù)是0。

根據(jù)性質(zhì)2，我們可以把奇數(shù)序列X中不小于9的奇數(shù)劃分成若干段來考慮，即

[32,52)∪[52,72)∪[72,112)∪[112,132)∪…∪[p2,q2)∪…

下面我們給出一個素數(shù)分布的更小范圍，稱之為WY定律。

WY定律 奇素數(shù)序列3, 5, 7, 11, …, p, q, … ( p和q是2個相鄰奇素數(shù)， p≤q-2)。除了2個變異奇數(shù)區(qū)間[115, 125]和[1 329, 1 359](連續(xù)奇合數(shù)個數(shù)分別為6和16)，不小于3的奇數(shù)序列X在區(qū)間[3,q2)中的連續(xù)奇合數(shù)的個數(shù)不大于V(p)；即在區(qū)間[3,q2)，每V(p)+1個奇數(shù)中至少存在一個素數(shù)。

已驗證1億以內(nèi)的情況，定律在1億以內(nèi)是成立的。

定律中的2個特殊區(qū)間，一個是[115, 125]，另外一個是 [1 329, 1 359]，2個奇數(shù)區(qū)間的連續(xù)奇合數(shù)個數(shù)分別為6和16，所對應的V(p)分別是V(7)=3, V(31)=10。

由WY定律，可以得到一個WY定律的性質(zhì)。

WY定律的性質(zhì) 奇素數(shù)序列3, 5, 7, 11, …, p, q, … ( p和q是其中2個相鄰奇素數(shù)，且p≤q-2)，則有

(B)

其次，一般情況下，在奇素數(shù)序列中，令p和q是其中的相鄰奇素數(shù)，p

2w(p)

因存在合數(shù)，知道奇素數(shù)p在奇素數(shù)序列中的位置數(shù)值V(p)總是小于等于p在奇數(shù)序列中的位置數(shù)值w(p)，即

V(p)≤w(p)

假設奇素數(shù)序列中2個相鄰的奇素數(shù)為p′,q′，且p′

q>q′2/2

再次由伯特蘭-切比雪夫定理，在區(qū)間[q′2/2,q′2/4]必定存在一個奇素數(shù)，則

p>q′2/4

該式子是p的下限值，p完全可以大于q′2/2，即p不必位于區(qū)間[q′2/2,q′2/4]。從這步也可以看出，WY定律對素數(shù)間隔的限定比該性質(zhì)嚴格得多，尤其是當q′更大時的情況。

根據(jù)WY定律，在奇數(shù)區(qū)間[3,q′2)內(nèi)，連續(xù)奇合數(shù)個數(shù)不大于V(p′)，即2個相鄰奇素數(shù)之差小于等于2×V(p′)，則有

q-p≤2V(p′)

≤2w(p′)

即得

3 總 結(jié)

本節(jié)討論基于如下題設：素數(shù)序列3, 5, 7, 11, …,p,q, … (p和q是其中2個相鄰奇素數(shù)，p≤q-2)。

伯特蘭-切比雪夫定理已經(jīng)被用不同的方法證明。給定奇數(shù)g∈[p2,q2)，知g≥p2。由伯特蘭-切比雪夫定理，在g和2g之間存在一個素數(shù)，此時的間隔大小限制在g≥p2。而根據(jù)WY定律，間隔大小限制在2V(p)

(p2-p)/p2=(p-1)/p。

隨著素數(shù)的增大，WY定律越優(yōu)秀。所以，我們的定律描述了更強的素數(shù)密度，性能遠比伯特蘭-切比雪夫定理優(yōu)秀。

根據(jù)我們的定律，在區(qū)間[p2,q2)中的連續(xù)奇合數(shù)的個數(shù)≤V(p)，則對于正整數(shù)n(p≤n2V(p)，該區(qū)間內(nèi)必定存在一個奇素數(shù)，亦即n2和(n+1)2之間必定存在一個奇素數(shù)， 亦即2個完全平方數(shù)之間必存在一個奇素數(shù)。這就是Legendre猜想[4]。

根據(jù)我們的定律，對于正整數(shù)n(p≤n

根據(jù)WY定律的性質(zhì)(B)及該性質(zhì)的推導過程，我們的定律比Andrica猜想更強[6]。

[1] 張貴文，張崇軍，王瑞貞.素數(shù)的規(guī)律性和判定法[J].工程數(shù)學學報,1986,3(2)：107-114. Zhang G W, Zhang C J, Wang R Z. The representation and distinguish method of prime numbers[J]. Journal of Engineering Mathematics, 1986, 3(2): 107-114. (in Chinese)

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[5] Maier H. Primes in short intervals[J]. Michigan Mathematical Journal, 1985, 32(2):193-205.

[6] Andrica D. Note on a conjecture in prime number theory[J]. Studia Univ Babes-Bolyai Math, 1986, 31(4): 44-48.

A compact distribution law of prime numbers

WANG Yu

CollegeofInformationScience&Technology,ChengduUniversityofTechnology,Chengdu610059,China

Although the distribution of prime numbers can not be described accurately, the law of prime number distribution can be described by threshold values. In the article, the most compact prime distribution law is presented to cope with the problem. Letp,qbe two serial ones among the odd prime number serial,p

prime number; distribution; consecutive odd composite numbers; compact

10.3969/j.issn.1671-9727.2017.03.11

1671-9727(2017)03-0373-04

2016-10-09。 [作者簡介] 王宇(1973-)，男，博士，副教授，研究方向：Qos選路算法、軟件工程、初等數(shù)論, E-mail:wangyu@cdut.edu.cn。

O156.1

A