廣西欽州市第一中學(xué)(535000)

勞德耀●

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構(gòu)造函數(shù)在數(shù)列解題中的幾例妙用

廣西欽州市第一中學(xué)(535000)

勞德耀●

函數(shù)思想在解決諸多數(shù)學(xué)問(wèn)題中起著重要作用，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題可以考慮構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決.本文略舉幾例，供高中師生參考．

構(gòu)造函數(shù);數(shù)列解題;應(yīng)用

一、解決數(shù)列求和問(wèn)題

分析 如若直接從條件an+2=an+1-an入手，化簡(jiǎn)變形，過(guò)程復(fù)雜繁瑣，因此可以考慮構(gòu)造抽象函數(shù)f(x+2)=f(x+1)-f(x)．

解 設(shè)f(n)=an，則f(n+2)=f(n+1)-f(n).

若函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x+1)-f(x)，則f(x+3)=f(x+2)-f(x+1).

兩式相加得f(x+3)=-f(x)，則f(x+6)=-f(x+3)，因此f(x+6)=f(x)，

即函數(shù)的周期是6，且易求得

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，

而2012=335×6+2,

所以S2012=a1+a2+…+a2012=a1+a2=3．

評(píng)析 數(shù)列給出遞推公式，要求求前n項(xiàng)和的一種情況就是數(shù)列是周期數(shù)列，當(dāng)然直接探究其周期性亦簡(jiǎn)便，然而構(gòu)造函數(shù)更能了解其實(shí)質(zhì)規(guī)律，再運(yùn)用抽象函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行探究，得出周期，最后得解．

二、解決數(shù)列最值問(wèn)題

分析 易得出nSn是關(guān)于n的一個(gè)三次函數(shù)，解決最值問(wèn)題可以聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)，所以構(gòu)造函數(shù)思想簡(jiǎn)單直接．

評(píng)析 數(shù)列中的最值問(wèn)題，其實(shí)大多數(shù)可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行化解，可以構(gòu)建二次函數(shù)，三角函數(shù)等，從而就可以采用導(dǎo)數(shù)的方法解決，這樣的轉(zhuǎn)化大大提高了解題效率．

三、證明與數(shù)列有關(guān)的不等式

證明 (Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0

①當(dāng)n=1時(shí)，由已知，結(jié)論成立.

因?yàn)?0，

所以f(x)在(0，1)上是增函數(shù).又f(x)在[0，1]上連續(xù)，

從而f(0)

故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.

由①、②可知，0

又因?yàn)?

綜上所述,0

由(Ⅰ)知，當(dāng)0

所以g(x)在(0，1)上是增函數(shù).

又g(x)在[0，1]上連續(xù)，且g(0)=0，

所以當(dāng)00成立.

評(píng)析 從以上兩例可看出,對(duì)于一階或二階遞推數(shù)列與不等式結(jié)合的題目,有時(shí)采用構(gòu)造函數(shù),并利用函數(shù)的單調(diào)性加以解決,能起到出奇制勝的效果.

[1]楊瑞強(qiáng).構(gòu)建函數(shù)巧解數(shù)列問(wèn)題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2012(6).

[2]于志洪.構(gòu)造三次函數(shù)解最值問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2015(12).

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