□馮 寅

（浙江省湖州中學(xué)，浙江湖州 313000）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)

汲取真題營養(yǎng) 提高復(fù)習(xí)效率
——談數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中對(duì)高考真題資源的利用

□馮 寅

（浙江省湖州中學(xué)，浙江湖州 313000）

高考試題不僅是考題，也是一種對(duì)考綱的詮釋，更是我們教學(xué)的優(yōu)質(zhì)素材，所以挖掘高考真題的教學(xué)價(jià)值非常重要，它可以明確復(fù)習(xí)的方向，提高復(fù)習(xí)效率.

高考真題；復(fù)習(xí)效率；整體；問題；個(gè)體

高考試題是考綱、教綱的具體體現(xiàn)，是由命題老師精心雕琢的作品，也是數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的濃縮，更是展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思維的舞臺(tái).因此，充分挖掘高考題的內(nèi)涵，汲取它的“營養(yǎng)”，將使我們的教學(xué)和復(fù)習(xí)更有針對(duì)性，效率更高.

本文將以函數(shù)為例，從整體、問題、個(gè)體三個(gè)方面，探索高考真題的“營養(yǎng)”究竟在何處，如何汲取它的“營養(yǎng)”.

一、整體歸納 探求規(guī)律

高考試題是對(duì)考試大綱的具體演繹，研究多年的高考試題，我們可以發(fā)現(xiàn)命題的一些特點(diǎn)，找到復(fù)習(xí)的方向.

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)，從近幾年的高考函數(shù)試題中我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)問題的重要元素是參數(shù)，主要工具是導(dǎo)數(shù)，所以，我們可以按參數(shù)的不同和求導(dǎo)的特點(diǎn)把函數(shù)問題分為三大類型加以研究.

（一）含參求導(dǎo)型

問題1 已知a∈R，函數(shù) f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.

（1）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求|f(x)|的最大值.

問 題 2 已 知 a＞0，b∈R,函 數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b.

（1）證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，

①函數(shù) f(x)的最大值為 |2a-b|+a；

② f(x)+ |2a-b|+a≥0；

（2）若-1≤f(x)≤1對(duì)x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍.

感悟 這類問題主要是求函數(shù)最值、求參數(shù)范圍和證明不等式恒成立，它主要針對(duì)三次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，它的主要方法是利用極值點(diǎn)含參數(shù)的特點(diǎn)分類討論，利用端點(diǎn)函數(shù)值和極值點(diǎn)函數(shù)值的不確定性分類討論.

（二）含參非導(dǎo)型

（1）求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；

（2）①求F(x)的最小值m(a)；

②求F(x)在區(qū)間[0，6]上的最大值M(a).

問 題 4 已 知 函 數(shù) f(x)=x2+ax+b（a,b∈R），記M(a ,b)是 |f(x) |在區(qū)間[- 1,1]上的最大值．

（1）證明：當(dāng) |a|≥2時(shí)，M(a ,b)≥2；

（2）當(dāng)a,b滿足M(a ,b)≤2時(shí)，求 |a|+ |b|的最大值.

感悟 這類問題由于涉及的函數(shù)是一次、二次和絕對(duì)值居多，所以一般不需要求導(dǎo)，它主要解決的是參數(shù)范圍和函數(shù)零點(diǎn)問題，主要通過函數(shù)圖象特點(diǎn)、函數(shù)性質(zhì)分析來解決問題.當(dāng)參數(shù)較多時(shí)，我們一般會(huì)考慮是否可以減少變量或采用線性規(guī)劃的方法解決.

（三）非參求導(dǎo)型

證明：

感悟 這種類型看似簡單，其實(shí)對(duì)思維的要求比較高，首先要理解所證明不等式的特點(diǎn)，它可以構(gòu)造新的函數(shù)或把要求證明的不等式轉(zhuǎn)化為我們常見的函數(shù)最大（?。┲祮栴}來分析思考，而在求極值時(shí)往往它的極值點(diǎn)不易求出，需要我們通過不等式放縮來改變函數(shù)從而解決問題，它考查的是函數(shù)的本質(zhì)屬性.

圖1

二、問題演變 借題發(fā)揮

函數(shù)的內(nèi)容豐富多彩，問題形式多樣，函數(shù)最大（小）值問題是函數(shù)的重要性質(zhì)，也是高考中的常見問題，但最值問題的形式和要求在不斷的演變，它對(duì)我們的思維提出了新的要求.

（一）跨越思考

問題6 如圖1，在△ABC中，AB=BC =2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn) D，滿足PD=DA,PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是_____.

感悟 解決最值問題的起點(diǎn)應(yīng)該是確定函數(shù)的表達(dá)式，而像此類問題的體積很難用某個(gè)變量表示，如何計(jì)算體積成為本題的關(guān)鍵，此時(shí)如果我們不跨越常規(guī)思路，問題很難解決.

設(shè)AD=x，四面體的高為h，那么h≤x.那么，四面體 PBCD的體積：VP-BCD=

此題的解法有違于我們常規(guī)的求最大值的方法，它在很難直接找到問題的表達(dá)式時(shí)，先進(jìn)行了放縮，這在一般情況下是有風(fēng)險(xiǎn)的，它可能使等號(hào)無法取到，所以問題的難度就在于放縮的合理性，它需要滿足兩個(gè)要求，首先是放縮后能求出問題的表達(dá)式，然后再考慮后面的等號(hào)是否能成立，因此放縮的關(guān)鍵是找到一個(gè)合理的度滿足要求.

（二）概念理解

問 題 7 已 知 函 數(shù) f(x)=x2+ax+b (a,b∈R)，記M(a ,b)是 |f(x) |在區(qū)間[- 1,1]上的最大值．

（1）證明：當(dāng) |a|≥2時(shí)，M(a ,b)≥2；

（2）當(dāng)a,b滿足M(a ,b)≤2時(shí)，求 |a|+ |b|的最大值.

感悟 這題是近幾年考查函數(shù)最值問題的一個(gè)典型問題，它對(duì)最大（小）值概念的理解要求很高，從已知最大值到求最大值都需要深刻理解才能合理解決.

（2）中 由 M(a,b)≤2，得 |1+a+b|= |f(1)|≤2 ， |1-a+b|= |f(- 1)|≤2 ， 故|a+b|≤3 ， |a-b|≤3 ，而 得 |a|+ |b|≤

當(dāng) a=2，b=-1時(shí)， |a|+ |b|=3，且|x2+2x-1|在 [-1,1]上的最大值為2，即M(2,-1)=2.所以 |a|+ |b|的最大值為3.此題解決最值問題的方法，顛覆了傳統(tǒng)的求最值的思路，它省略了求函數(shù)解析式的步驟，強(qiáng)調(diào)了最大（?。┲档母拍畹睦斫?，它關(guān)注的是存在常數(shù)M，對(duì)定義域中的任意x都有 f(x)≤M成立，然后觀察等號(hào)成立.它的難點(diǎn)在于沒有常見的分類討論，沒有煩瑣的計(jì)算，要求對(duì)概念的深刻理解，要求有正確的思維方式.

（三）隱含挖掘

問題8 已知實(shí)數(shù)a,b,c,則（ ）.

感悟 本題看似和最值毫無關(guān)系，仔細(xì)分析題意，我們從每個(gè)選擇支的結(jié)構(gòu)可以看出，它的問題都是a2+b2+c2≤100，問題的核心是哪個(gè)條件能保證a2+b2+c2是有界的，有界就是最值的一種廣義表述.而要a2+b2+c2有界必須a,b,c是有界的.這樣的感悟，就將問題轉(zhuǎn)化為哪個(gè)選項(xiàng)中的a,b,c是有界的.

但細(xì)細(xì)體會(huì)它的核心還是和最值有關(guān)，它把最值問題擴(kuò)大化，讓我們?cè)诓粩⑹鲎钪档那闆r下感悟最值的意義和魅力，這樣的感悟?qū)λ季S提出新的要求.

三、個(gè)體研究 經(jīng)典深化

在近年的函數(shù)的高考題中，我們經(jīng)?？吹絤ax和min這樣的符號(hào)，而簡單介紹符號(hào)的意義并不難，難的是深刻理解它們的含義，了解它們的變化，掌握它們的聯(lián)系，如果我們僅僅停留在知道符號(hào)的意思，那么當(dāng)我們遇到和它們有關(guān)的問題時(shí)，還是會(huì)覺得難以適應(yīng).

（一）max和min的形式變化

問題9 已知 f(x)，g(x)都是偶函數(shù)，且在[0 ,+∞ )上 單 調(diào) 遞 增 ，設(shè) 函 數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)- |f(x)-g(1-x)|.若a＞0，則（ ）.

A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)

D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)

感 悟 理 解 函數(shù) F(x)=f(x)+g(1-x) -|f(x)-g(1-x)|的表達(dá)式成為問題的關(guān)鍵，其實(shí)，為了把絕對(duì)值去掉，我們可以分類討論，這樣也可以理解為一個(gè)分段函數(shù)：

從去絕對(duì)值的分類過程，我們又可以理解為：F(x)=2min{ f(x),g(1-x)}.這樣的表達(dá)，將有助于我們解決問題.

問題的本質(zhì)就轉(zhuǎn)化為比較F(a),F(-a)的大小和F(1-a),F(1+a)的大小.

很多時(shí)候max和min都直接出現(xiàn)在我們的問題中，但有時(shí)也會(huì)以另外的面貌出現(xiàn)，隱含它們的符號(hào)特征，這就需要仔細(xì)分析思考它們的含義，找出它們的表示特征來解決問題.

（二）max和min的應(yīng)用策略

問題10已知a＞0，b∈R.函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b.證明：當(dāng)0≤x≤1時(shí),函數(shù) f(x)的最大值為 |2a-b|+a.

感悟 解決函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，關(guān)鍵是比較區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值的大小.

對(duì)函數(shù) f(x)=4ax3-2bx-a+b求導(dǎo)得f'(x)=12ax2-2b.

（1）當(dāng)b≤0時(shí)，f'(x)=12ax2-2b＞0，在區(qū)間[0 ,1]上 f/(x)＞0恒成立，故函數(shù) f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x∈[0 ,1]時(shí),fmax(x)=f(1)=3a-b= |2a-b|+a；

從上述的問題我們發(fā)現(xiàn)，max{a ,b}和min{a ,b}有如下重要的等價(jià)變形.

這樣的變形把分段函數(shù)和含絕對(duì)值的函數(shù)有機(jī)地整合在一起，不同形式的轉(zhuǎn)換為我們解決問題開拓了新思路.

高考試題蘊(yùn)含著豐富的“營養(yǎng)”，是我們教學(xué)中的優(yōu)質(zhì)素材，挖掘高考試題的深刻內(nèi)涵并滲透在我們的教學(xué)中，將使高考試題發(fā)揮它最大的價(jià)值.