□楊麗娟

（昆山市葛江中學(xué)，江蘇昆山 215300）

打破數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“講練結(jié)合”的沉悶
——以“反比例函數(shù)復(fù)習(xí)”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

□楊麗娟

（昆山市葛江中學(xué)，江蘇昆山 215300）

初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)是將所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化，讓學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題.初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，可以借題梳理基礎(chǔ)知識(shí)，歸納本質(zhì)問(wèn)題的解法；提煉基本圖形，詮釋“數(shù)形結(jié)合”思想；層層推進(jìn)問(wèn)題設(shè)計(jì)，融合多重知識(shí)；解決實(shí)際問(wèn)題，在完整結(jié)構(gòu)中體現(xiàn)函數(shù)味，以此打破數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“講練結(jié)合”的沉悶.

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課；梳理知識(shí)；數(shù)形結(jié)合；融合知識(shí)；解決問(wèn)題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)，充分考慮本階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考；充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì).”[1]初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的主要任務(wù)是將所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化，讓學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題.

2016年12月8日江蘇省中小學(xué)“師陶杯”教科研論文頒獎(jiǎng)綜合學(xué)術(shù)活動(dòng)在南通市舉行，筆者進(jìn)行“反比例函數(shù)復(fù)習(xí)”的課堂教學(xué)展示，這是人教版八年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，此前學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，本節(jié)課體會(huì)反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和關(guān)系式 y=（k為常數(shù)，k≠0）加深理解其性質(zhì)，能與正比例函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系與區(qū)別；經(jīng)歷“問(wèn)題情境——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的過(guò)程，感受數(shù)形結(jié)合的思想方法.結(jié)合“反比例函數(shù)復(fù)習(xí)”的課堂教學(xué)，對(duì)如何優(yōu)化數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)，打破復(fù)習(xí)課“講練結(jié)合”的沉悶有以下感悟.

一、借題梳理基礎(chǔ)知識(shí) 歸納本質(zhì)問(wèn)題的解法

復(fù)習(xí)課覆蓋的“基礎(chǔ)知識(shí)”，教師往往都是通過(guò)歸納成條文或畫(huà)圖表概括來(lái)梳理，這種做法教師津津樂(lè)道，學(xué)生卻感覺(jué)枯燥乏味，難以激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.所以精選系列簡(jiǎn)單的典型練習(xí)，通過(guò)問(wèn)題呈現(xiàn)反比例函數(shù)的定義和一般形式以及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，并通過(guò)針對(duì)性的講解，歸納本質(zhì)問(wèn)題的解法，以增強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間的融會(huì)貫通與理解.

知識(shí)點(diǎn)1反比例函數(shù)的定義和一般形式

練習(xí)1下列函數(shù)中哪些是反比例函數(shù)？

①y=3x ② y=2x2③ xy=-2

練習(xí)2若函數(shù)y=(n-1)xn2-2是反比例函數(shù)，則n=_____.

設(shè)計(jì)意圖 教材上反比例函數(shù)是這樣定義的：一般地，形如 y=（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù).其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù).練習(xí)1，判斷一個(gè)函數(shù)是不是反比例函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生將反比例函數(shù)的一般形式進(jìn)行適當(dāng)變形，得到反比例函數(shù)三種常用的表達(dá)形式：y=→y=kx-1→xy=k（k為常數(shù)，k≠0），對(duì)照這三種形式，判斷哪些函數(shù)是反比例函數(shù)就易如反掌.練習(xí)2，根據(jù)反比例函數(shù)的表達(dá)形式y(tǒng)=kx-1（k為常數(shù)，k≠0），需要滿足條件——n2-2=-1且n-1≠0.

知識(shí)點(diǎn)2反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

練習(xí)5已知點(diǎn)A（-2，y1），B（-1，y2），C（4，y3）都在反比例函數(shù)y=k＞0）的圖象上，則y1、y2與y3的大小關(guān)系（從大到小）為_(kāi)____.

設(shè)計(jì)意圖 教材上反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)是這樣敘述的：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線.當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線的兩支分別在第一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩支分別在第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.練習(xí)3，∵函數(shù)的圖象在第二、四象限內(nèi)，∴m-2＜0.練習(xí)4，常規(guī)解法——先求正比例函數(shù)y=kx的解析式，再借助方程組求兩圖象交點(diǎn).因?yàn)檎壤瘮?shù)y=kx與反比例函數(shù)y=的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，1），那么另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是（-3，-1），這里融入了正比例函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，增強(qiáng)知識(shí)點(diǎn)之間的融會(huì)貫通與理解.練習(xí)5，點(diǎn)A（-2，y1），B（-1，y2），C（4，y3）不在同一象限內(nèi)，單純利用反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)難以比較三個(gè)函數(shù)值y1、y2與y3的大小，根據(jù)三點(diǎn)在圖象上的大致位置（如圖1），很直觀地就可以比較y1、y2與y3的大小.

圖1

通過(guò)三個(gè)練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生從概念、圖象、性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)性這幾個(gè)視角研究反比例函數(shù)，以表格形式進(jìn)行歸納（見(jiàn)表1），比教材上單純的文字?jǐn)⑹鰜?lái)得直觀.

表1

二、提煉基本圖形 詮釋“數(shù)形結(jié)合”思想知識(shí)點(diǎn)3 k的幾何意義

圖2

圖3

設(shè)計(jì)意圖 反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，教材上沒(méi)有任何說(shuō)明，但在平時(shí)的練習(xí)中出現(xiàn)較多，幫助學(xué)生歸納總結(jié)，做題時(shí)可以事半功倍.

圖4

練習(xí)6，結(jié)合圖4，利用第一張圖說(shuō)明，點(diǎn)P（m，n）是反比例函數(shù)y=(k≠0）圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為A，則

△OAP二張圖，改變點(diǎn)P位置，形成不同的三角形，這些三角形面積都等于|k|.

圖5

練習(xí)7，結(jié)合圖5，利用第一張圖說(shuō)明，點(diǎn)P（m，n）是反比例函數(shù)y=(k≠0）圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x、y軸的垂線，垂足為A、B，則S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|k|，利用第二張圖，改變點(diǎn)P位置，形成不同的矩形，這些矩形面積都等于 |k|.通過(guò)兩個(gè)練習(xí)，讓學(xué)生感受“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”實(shí)現(xiàn)抽象思維與形象思維相結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而優(yōu)化解題途徑.

圖6

分析 將矩形OABC從圖形中分離出來(lái)，經(jīng)過(guò)分割提取基本圖形Rt△AOF，發(fā)現(xiàn)SRt△AOF=

S矩形OABC，因?yàn)閗＞0，SRt△AOF=k，所以S矩形OABC= 2k，由S△AOF+S四邊形OEBF+S△COE=S矩形OABC，得到關(guān)于k的方程k+2+k=2k，從而解得k=2．

圖7

練習(xí)8如圖7，過(guò)y軸上任意一點(diǎn)P，作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù) y=-和y=的圖象交于A點(diǎn)和B點(diǎn)，若C為x軸上任意一點(diǎn)，連接AC，BC，則△ABC的面積為_(kāi)__.

分析 連接OA，OB，得到△AOB，因?yàn)锳B∥x軸，△AOB與△ACB同底等高，所以面積相等，而S△AOB=S△AOP+S△POB=3，因此S△ACB=3.

設(shè)計(jì)意圖 函數(shù)問(wèn)題中幾何圖形求面積，在數(shù)形結(jié)合的過(guò)程中，學(xué)生通常覺(jué)得條件難以應(yīng)用．例1，通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，提取基本圖形，在組合新圖形的探究過(guò)程中發(fā)展學(xué)生觀察分析、構(gòu)造圖形的能力；練習(xí)8，在求三角形面積的過(guò)程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.由此引導(dǎo)學(xué)生歸納得到函數(shù)問(wèn)題中幾何圖形求面積常用的方法：直接計(jì)算、割補(bǔ)、轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)解題方法的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

三、層層推進(jìn)問(wèn)題設(shè)計(jì) 融合多重知識(shí)

圖8

（1）試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△AOB的面積；

設(shè)計(jì)意圖《史記》認(rèn)為由易及難是善問(wèn)的標(biāo)志.開(kāi)始就高難度的問(wèn)題會(huì)把學(xué)生難倒、喪失信心；若先設(shè)置一些簡(jiǎn)單問(wèn)題做鋪墊，讓學(xué)生嘗到解決問(wèn)題的樂(lè)趣，再逐漸加大難度，學(xué)生比較容易適應(yīng).在教學(xué)過(guò)程中精心設(shè)計(jì)一組有聯(lián)系的、層層推進(jìn)的問(wèn)題，是激發(fā)學(xué)生積極思考、深入探究、系統(tǒng)掌握知識(shí)、培養(yǎng)思維能力的重要手段，學(xué)生通過(guò)這樣的課堂教學(xué)，能更好地建立知識(shí)體系，靈活解決問(wèn)題.

交點(diǎn)坐標(biāo)，這題利用“數(shù)形結(jié)合”讓學(xué)生感受“以形助數(shù)”的優(yōu)越性；問(wèn)題（4），將不等式kx+b-＜0進(jìn)行簡(jiǎn)單變形為kx+b＜，結(jié)合圖形輕松解決，學(xué)生對(duì)這種解題方法平時(shí)接觸不多，教學(xué)中應(yīng)盡量設(shè)計(jì)一些，活躍學(xué)生思維.

通過(guò)層層推進(jìn)問(wèn)題設(shè)計(jì)，用精心設(shè)計(jì)的一系列問(wèn)題，融合多重知識(shí)，通過(guò)縱向挖掘、橫向加強(qiáng)不同知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

四、解決實(shí)際問(wèn)題 在完整結(jié)構(gòu)中體現(xiàn)函數(shù)味

例3制作一種產(chǎn)品，需先將材料加熱到60℃后再進(jìn)行操作．設(shè)該材料溫度為y（℃），從加熱開(kāi)始時(shí)間計(jì)為x（分鐘）．據(jù)了解，加熱時(shí)，溫度y與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，溫度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系（如圖9）．已知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達(dá)到60℃．

圖9

（1）分別求出將材料加熱和停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)要求，當(dāng)材料的溫度低于15℃時(shí)，須停止操作，那么從開(kāi)始加熱到停止操作，共經(jīng)歷了多少時(shí)間？

設(shè)計(jì)意圖 章建躍博士在《數(shù)學(xué)概念的理解與教學(xué)》中說(shuō)：“現(xiàn)在的數(shù)學(xué)概念教學(xué)很不盡如人意，一是只在代數(shù)的形式化變形及工具運(yùn)算上下功夫，二是與平面幾何知識(shí)點(diǎn)拼湊、疊加，成為一種數(shù)學(xué)游戲，使得很多函數(shù)題目的函數(shù)味道很淡.”[2]函數(shù)味就是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，關(guān)注函數(shù)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在運(yùn)動(dòng)變化的核心內(nèi)涵上做文章，不糾纏于煩瑣的代數(shù)式變形和計(jì)算.

本節(jié)復(fù)習(xí)課，最后用函數(shù)解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，既培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，又能在完整課堂結(jié)構(gòu)中體現(xiàn)函數(shù)味.例3，第（1）小題結(jié)合圖象，材料加熱時(shí)，溫度y與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系，即當(dāng)0≤x≤5時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b（k≠0），觀察圖象，利用點(diǎn)（0，15）和點(diǎn)（5，60）求得此函數(shù)關(guān)系式.停止加熱進(jìn)行操作時(shí)，溫度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系，即當(dāng)x＞5時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=（m≠0），觀察圖象，利用點(diǎn)（5，60）求得此函數(shù)關(guān)系式.第（2）小題，利用第（1）小題求得的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式，分別令y=15，得到兩個(gè)對(duì)應(yīng)的x值，進(jìn)而求得從開(kāi)始加熱到停止操作共經(jīng)歷了多少時(shí)間.

用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題必須結(jié)合函數(shù)圖象，充分挖掘已知條件并將已知條件體現(xiàn)在函數(shù)圖象中，利用函數(shù)圖象讓學(xué)生感受到對(duì)應(yīng)、感受到變化、感受到直觀，從而加深對(duì)函數(shù)的理解.

［1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011：3-4.

［2］朱玉祥.要把解題教學(xué)這盤(pán)菜做得更好吃［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（7）：38-41.