張鵬展

摘 要：對(duì)“探究彈簧的伸長(zhǎng)量與彈力的關(guān)系”實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)一個(gè)不符合預(yù)期規(guī)律的問(wèn)題進(jìn)行了討論和思考，探討了驗(yàn)證胡克定律實(shí)驗(yàn)時(shí)容易出現(xiàn)佯謬的一個(gè)重要原因。

關(guān)鍵詞：彈簧；胡克定律；實(shí)驗(yàn)；佯謬；思維定勢(shì)

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2017）5-0056-4

1 問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)

一天，一位同事告訴筆者他在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中出現(xiàn)的一個(gè)問(wèn)題，就是他帶學(xué)生做完“探究彈簧的伸長(zhǎng)量與彈力的關(guān)系”這個(gè)分組實(shí)驗(yàn)后，在用圖像法處理數(shù)據(jù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)根據(jù)實(shí)驗(yàn)所測(cè)的6組數(shù)據(jù)畫出的F-x圖像根本不是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，而是彎曲的非線性關(guān)系，而且這個(gè)問(wèn)題不是一兩組學(xué)生出現(xiàn)，而是大部分的學(xué)生都出現(xiàn)了這種現(xiàn)象。帶著疑惑，筆者親自去實(shí)驗(yàn)室做了這個(gè)以前做過(guò)多次的實(shí)驗(yàn)——驗(yàn)證胡克定律（Hooke's low）。

到了實(shí)驗(yàn)室，筆者發(fā)現(xiàn)彈簧幾乎都換成才購(gòu)買到的新彈簧。筆者在安裝好裝置并在彈簧下端掛第一個(gè)50克的鉤碼后，結(jié)果發(fā)現(xiàn)彈簧沒(méi)怎么伸長(zhǎng)！再掛第二個(gè)，彈簧只是伸長(zhǎng)一點(diǎn)點(diǎn)！當(dāng)筆者掛上第三個(gè)鉤碼時(shí)，這時(shí)彈簧才有較為明顯的伸長(zhǎng)！最終筆者做完實(shí)驗(yàn)，得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（如表1），用Excel表格處理數(shù)據(jù)描出數(shù)據(jù)點(diǎn)（如圖1）。顯然用這樣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出的F-x圖像肯定不是一條直線！難道是本實(shí)驗(yàn)室的彈簧的伸長(zhǎng)與彈力不再成正比？胡克定律在這里出問(wèn)題了？不可能！

帶著更深的疑惑，筆者又做了一次實(shí)驗(yàn)。這次筆者一開(kāi)始就掛一個(gè)200克的鉤碼，然后再逐個(gè)增掛50克的鉤碼，以便獲得較多的數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是剛掛上200克的鉤碼時(shí)，彈簧就有明顯的伸長(zhǎng)。接著每掛一個(gè)50克的鉤碼，彈簧都會(huì)有較明顯的伸長(zhǎng)。最終筆者得到了7組數(shù)據(jù)（如表2），并把數(shù)據(jù)輸入Excel表格來(lái)畫F-x圖像（如圖2），發(fā)現(xiàn)這7組數(shù)據(jù)很好地符合線性關(guān)系，但是畫出的直線卻明顯不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)！

最后，筆者用以前的舊彈簧重做實(shí)驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如表3，描出的F-x圖像如圖3，從圖3的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)來(lái)看，直線是近似經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的！該直線之所以會(huì)有一個(gè)小小的負(fù)截距，是因?yàn)槲覀儨y(cè)量彈簧的彈力大小時(shí)，沒(méi)有考慮彈簧自身的重力。當(dāng)然，我們?cè)谟肊xcel處理數(shù)據(jù)添加趨勢(shì)線時(shí)，如果設(shè)置截距為零，那么函數(shù)表達(dá)式為y = 0.2648x，而且R2=0.9999，而舍去不掛鉤碼時(shí)彈力為零、伸長(zhǎng)量為零這組數(shù)據(jù)，函數(shù)表達(dá)式為y= 0.2663x-0.0123，而且R2 =0.9999，證明這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)還是符合正比例函數(shù)關(guān)系的，學(xué)生比較容易得到彈簧的伸長(zhǎng)量與彈力是成正比的關(guān)系。這里的圖像從略。

2 問(wèn)題的分析與進(jìn)展

2.1 F-x圖像呈現(xiàn)非線性的原因分析

筆者把以前做實(shí)驗(yàn)的舊彈簧和現(xiàn)在的新彈簧拿來(lái)比較和分析，終于發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題之所在！以前的舊彈簧在掛鉤碼之前，做成彈簧的每一圈鋼絲之間已經(jīng)有一定的距離，也就是說(shuō)這個(gè)彈簧在一定程度上是可以壓縮的，這樣的彈簧掛一個(gè)50克的鉤碼就會(huì)有明顯的伸長(zhǎng)。而這次做實(shí)驗(yàn)用的新彈簧卻是每一圈的鋼絲緊密地靠在一起的！這樣的彈簧是不能壓縮的，只可以拉伸，而且需要一定的拉力才能拉開(kāi)。新舊彈簧對(duì)比如圖4。

因此，如果用50克的鉤碼一個(gè)一個(gè)加掛在新彈簧下端，則前2個(gè)至3個(gè)50克的鉤碼不能使彈簧有明顯伸長(zhǎng)，即彈簧還沒(méi)有正常伸長(zhǎng)，這樣得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和后面彈簧已經(jīng)正常伸長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)連在一起不可能是線性的。實(shí)驗(yàn)室里提供的大部分都是新彈簧，只有少數(shù)是舊彈簧，所以筆者的同事才會(huì)碰到班級(jí)大部分學(xué)生出現(xiàn)圖線為非線性的問(wèn)題。

新彈簧在外界拉力較小和較大時(shí)的伸長(zhǎng)情況不同，使得彈簧彈力的大小不一定等于所掛鉤碼的重力大小，這是F-x圖像呈現(xiàn)非線性的原因。

2.2 圖2中的直線明顯不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的原因分析

筆者對(duì)比表1和表2中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，排除了偶然誤差的因素，表2中直接從200克的鉤碼開(kāi)始掛得到的幾組數(shù)據(jù)，實(shí)際上就是表1中鉤碼掛到200克鉤碼之后的幾組數(shù)據(jù)。這就說(shuō)明即使是用50克的鉤碼一個(gè)一個(gè)加掛在新彈簧下端，在彈簧正常伸長(zhǎng)后的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是很好地符合線性關(guān)系，只是后面的幾組數(shù)據(jù)連起來(lái)的直線卻明顯不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，這顯然不是彈簧自身重力的影響。

筆者于是分析了一下圖2中的F-x圖像：如果從圖線與彈力F軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0 cm，F(xiàn)0）來(lái)看，意思是當(dāng)求出的形變量為零時(shí)，即彈簧還沒(méi)開(kāi)始掛鉤碼時(shí)，彈簧的彈力F0卻不是零，彈力的大小大約有1.5 N。如果把圖線延長(zhǎng)到與x軸相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0 N，-x1 cm），也就是彈簧的彈力為零時(shí)，彈簧應(yīng)該有一個(gè)負(fù)的伸長(zhǎng)量，負(fù)的伸長(zhǎng)量就是縮短量，也就是說(shuō)，這個(gè)新彈簧在不產(chǎn)生彈力時(shí)本應(yīng)該要收縮一段長(zhǎng)度，只是組成彈簧的每一圈鋼絲之間緊緊地靠在一起，不能再收縮罷了。所以，筆者認(rèn)為肉眼看到新彈簧的長(zhǎng)度應(yīng)該是它伸長(zhǎng)狀態(tài)的長(zhǎng)度，而不是原長(zhǎng)。此時(shí)，它雖然不受外界的拉力作用，卻產(chǎn)生了一個(gè)沿彈簧向內(nèi)收縮的彈力，正是這個(gè)彈力使組成彈簧的每一圈鋼絲緊緊地靠在一起，最后由于各條鋼絲之間相互擠壓產(chǎn)生微小形變，所以向內(nèi)收縮的彈力與微小形變產(chǎn)生的沿彈簧向外的彈力達(dá)到平衡，也就無(wú)法再收縮了。

因此，對(duì)于這種新彈簧在不受外部拉力時(shí)，它已經(jīng)產(chǎn)生向內(nèi)收縮的彈力了，說(shuō)明它此時(shí)的長(zhǎng)度并不是原長(zhǎng)，要把彈簧沒(méi)有產(chǎn)生彈力時(shí)的長(zhǎng)度（對(duì)新彈簧是看不到也測(cè)不到的）作為原長(zhǎng)，用掛上200克及以上的鉤碼時(shí)的彈簧長(zhǎng)度減去沒(méi)有產(chǎn)生彈力時(shí)的長(zhǎng)度（即原長(zhǎng)）來(lái)求出伸長(zhǎng)量，這樣實(shí)驗(yàn)描出的圖線才會(huì)通過(guò)原點(diǎn)。而如果把新彈簧不受外力時(shí)（即不掛鉤碼）的長(zhǎng)度想當(dāng)然地作為原長(zhǎng)，我們就犯錯(cuò)誤了。因此，在表2中筆者在實(shí)驗(yàn)中求伸長(zhǎng)量時(shí)用掛了鉤碼后的指針刻度減去最初不掛鉤碼時(shí)的指針刻度，所求的這個(gè)“伸長(zhǎng)量”不是彈簧的伸長(zhǎng)量，只能稱為彈簧兩次伸長(zhǎng)狀態(tài)下的長(zhǎng)度改變量，要加上上述分析中的x1 cm才是彈簧的伸長(zhǎng)量！如果這樣，那每組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的彈簧伸長(zhǎng)量都應(yīng)該比所求的伸長(zhǎng)量大x1 cm，這樣組成的7組數(shù)據(jù)連起來(lái)的直線就應(yīng)該和用舊彈簧做實(shí)驗(yàn)一樣幾乎經(jīng)過(guò)原點(diǎn)了。

所以，圖2中的直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的原因其實(shí)就是彈簧原長(zhǎng)的含義沒(méi)搞清楚，想當(dāng)然地以為彈簧不掛鉤碼時(shí)的長(zhǎng)度就是原長(zhǎng)，即錯(cuò)誤地把彈簧某一個(gè)伸長(zhǎng)狀態(tài)下的長(zhǎng)度作為原長(zhǎng)，然后用掛上鉤碼后的長(zhǎng)度減去不掛時(shí)的長(zhǎng)度來(lái)求彈簧的伸長(zhǎng)量，用這樣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出的直線自然是不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)了。即使是舊的彈簧，把最初某一伸長(zhǎng)狀態(tài)下的長(zhǎng)度作為“原長(zhǎng)”，用掛上鉤碼后的彈簧長(zhǎng)度減去所謂的“原長(zhǎng)”，這樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果畫出的圖像就和圖2一樣不會(huì)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)！

基于上述分析，筆者覺(jué)得要徹底解決實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的這個(gè)佯謬，以免今后教學(xué)中出現(xiàn)困惑，應(yīng)該要理清彈簧原長(zhǎng)的定義及彈簧伸長(zhǎng)量的計(jì)算方法，并且要反思一下本實(shí)驗(yàn)中彈簧彈力大小的測(cè)量方法及原點(diǎn)這組數(shù)據(jù)的合理性。

3 問(wèn)題的解決

3.1 關(guān)于彈簧原長(zhǎng)的定義及彈簧伸長(zhǎng)量的計(jì)算

胡克定律的內(nèi)容里并沒(méi)有對(duì)彈簧的原長(zhǎng)概念進(jìn)行表述，但從定律的表述可以明確知道：彈簧只要有伸長(zhǎng)，其伸長(zhǎng)量與彈簧的彈力大小成正比。這里的伸長(zhǎng)量，當(dāng)然是相對(duì)原長(zhǎng)而言的。但是，彈簧原長(zhǎng)的定義是什么？是“彈簧不受任何外力時(shí)的長(zhǎng)度”，還是“彈簧不產(chǎn)生任何彈力時(shí)的長(zhǎng)度”呢？筆者覺(jué)得彈簧原長(zhǎng)的定義應(yīng)是后者，即“彈簧不產(chǎn)生任何彈力時(shí)的長(zhǎng)度”會(huì)比較科學(xué)。

明白了原長(zhǎng)的定義，那么在計(jì)算新彈簧的伸長(zhǎng)量時(shí)，應(yīng)該是在彈簧正常伸長(zhǎng)后，記下每次掛鉤碼后的長(zhǎng)度Ln，用它來(lái)減去看不到的原長(zhǎng)L0，即彈簧伸長(zhǎng)量x=Ln-L0，用這樣的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是不會(huì)出現(xiàn)上述的佯謬。當(dāng)然，本實(shí)驗(yàn)中彈簧的原長(zhǎng)是不必測(cè)出來(lái)的。計(jì)算彈簧伸長(zhǎng)量時(shí)，我們往往是記錄不掛鉤碼時(shí)彈簧下端指針?biāo)鶎?duì)的刻度L'0，再記下掛鉤碼后彈簧下端指針?biāo)鶎?duì)的刻度L'n，然后彈簧伸長(zhǎng)量x'=L'n- L'0。只是新彈簧的原長(zhǎng)看不到也測(cè)不到，所以出現(xiàn)佯謬是無(wú)法避免的。

3.2 關(guān)于彈簧彈力的測(cè)量方法

本實(shí)驗(yàn)中測(cè)量彈簧的彈力用的是轉(zhuǎn)換法，即利用二力平衡的知識(shí)，當(dāng)鉤碼掛到彈簧下端后處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧對(duì)鉤碼的彈力和鉤碼的重力這兩個(gè)力的合力為零，可以把彈簧的彈力轉(zhuǎn)換為鉤碼的重力。我們?cè)谶@個(gè)實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常誤認(rèn)為：不計(jì)彈簧的重力，當(dāng)彈簧下端掛上鉤碼后處于靜止?fàn)顟B(tài)，這時(shí)彈簧的彈力大小就等于鉤碼的重力大小，實(shí)際上這又犯了想當(dāng)然的主觀錯(cuò)誤。本實(shí)驗(yàn)中新彈簧下端掛的50克鉤碼不超過(guò)3個(gè)時(shí)，彈簧此時(shí)內(nèi)部由于原有伸長(zhǎng)而產(chǎn)生的彈力比鉤碼的重力大，掛兩、三個(gè)50克鉤碼還不足以完全拉開(kāi)新彈簧，彈簧處于非正常伸長(zhǎng)的狀態(tài)，與鉤碼重力平衡的力并不是彈簧由于“正常伸長(zhǎng)”而產(chǎn)生的彈力。這時(shí)鉤碼的重力并不等于我們所研究的彈簧“正常伸長(zhǎng)”而產(chǎn)生的彈力。所以，在彈簧完全拉開(kāi)之前，上述用轉(zhuǎn)換法測(cè)彈簧彈力是不能適用的。要解決這個(gè)問(wèn)題，那就是在用新彈簧做實(shí)驗(yàn)時(shí)，所掛的第一個(gè)鉤碼要用200克，這樣才能在彈簧正常伸長(zhǎng)狀態(tài)下測(cè)出正確的彈力，就能避免出現(xiàn)非線性的問(wèn)題。但必定會(huì)出現(xiàn)直線不過(guò)原點(diǎn)的問(wèn)題。

3.3 關(guān)于原點(diǎn)這組數(shù)據(jù)的合理性分析

關(guān)于彈簧不掛鉤碼時(shí)彈力為零、伸長(zhǎng)量也為零的這組數(shù)據(jù)是否合理的問(wèn)題，筆者覺(jué)得，不管是新彈簧還是舊彈簧，都不能認(rèn)為第一組數(shù)據(jù)（0 cm，0 N）是理所當(dāng)然的，不能認(rèn)為實(shí)驗(yàn)中F-x圖像一定是過(guò)原點(diǎn)的，所以記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的表格中不能出現(xiàn)（0 cm，0 N），因?yàn)槲覀儫o(wú)法事先知道彈簧在不掛鉤碼時(shí)彈力是否為零、伸長(zhǎng)量是否為零，除非實(shí)驗(yàn)中能得到這組數(shù)據(jù)。因此，連線路時(shí)不能想當(dāng)然地把原點(diǎn)也連起來(lái)。

4 對(duì)問(wèn)題的反思

本次實(shí)驗(yàn)結(jié)論出現(xiàn)佯謬的根本原因是我們教師主觀上的失誤造成的，是思維定勢(shì)的負(fù)面影響使得我們師生在實(shí)驗(yàn)中出了差錯(cuò)：第一，想當(dāng)然地以為彈簧在不受任何外力時(shí)的長(zhǎng)度就是原長(zhǎng)，認(rèn)為原長(zhǎng)可以測(cè)量，并且認(rèn)為用彈簧掛上鉤碼后的長(zhǎng)度Ln減去不掛鉤碼時(shí)的長(zhǎng)度L0就是伸長(zhǎng)量x。第二，想當(dāng)然地以為測(cè)量彈簧彈力的方法就是用掛鉤碼平衡的方法，把測(cè)彈簧的彈力轉(zhuǎn)換為測(cè)鉤碼的重力，沒(méi)有注意這個(gè)方法有什么適用條件，沒(méi)有注意測(cè)量中已經(jīng)忽略彈簧的自身重力對(duì)測(cè)量彈力的影響，甚至混淆了“彈簧產(chǎn)生的拉力”與“彈簧受外界的拉力”這兩個(gè)概念，把本實(shí)驗(yàn)探究的結(jié)果寫成“彈簧所受的拉力與彈簧的伸長(zhǎng)量成正比”。第三，想當(dāng)然地以為本實(shí)驗(yàn)中第一組數(shù)據(jù)（0 cm，0 N）一定成立，所畫出的實(shí)驗(yàn)圖像一定會(huì)過(guò)原點(diǎn)，而不實(shí)事求是地根據(jù)所測(cè)得的數(shù)據(jù)來(lái)判斷。

可見(jiàn)，在教學(xué)中如果我們教師稍不留神，就容易受思維定勢(shì)的負(fù)面影響，在教學(xué)中出現(xiàn)一些“想當(dāng)然”的錯(cuò)誤做法，這是今后教學(xué)中要時(shí)刻注意避免的。

參考文獻(xiàn)：

[1]廖伯琴.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 物理 必修1[M].山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2015.

[2]張大昌.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 物理 必修1[M].北京：人民教育出版社，2011.

（欄目編輯 王柏廬）